Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Biểu thức nào dưới đây không phải là tam thức bậc hai?
f(x) = 2x2 + 5x – 3;
f(x) = x2 – 9;
f(x) = 32x2 + 3x + 4;
f(x) = x4 – 2x2 + 5.
Đáp án: D
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) và ∆ = b2 – 4ac. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu ∆ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;
Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;
Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ \ \(\left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\);
Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi x ∈ ℝ.
Đáp án: C
Tam thức bậc hai nào sau đây có biệt thức ∆ = 1 và có hai nghiệm là \({x_1} = \frac{3}{2}\) và \({x_2} = \frac{7}{4}\)?
8x2 – 26x + 21;
4x2 – 13x + \(\frac{{21}}{2}\);
4x2 + 4x – 15;
2x2 – 7x + 6.
Đáp án: B
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
f(x) < 0 khi và chỉ khi x ∈ (1; 3);
f(x) ≤ 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; 1] ∪ [3; + ∞);
f(x) > 0 khi và chỉ khi x ∈ (1; 3);
f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi x ∈ [1; 3].
Đáp án: A
Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?
x2 – 10x + 2;
x2 – 2x – 10;
x2 – 2x + 10;
– x2 + 2x + 10.
Đáp án: C
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
3x2 – 5x + 5 > 3x2 + 4x;
(x2)2 + 2x – 7 ≤ 0;
x4 + 2x2 – 9 > 0;
x2 + 2x – 3 ≥ 2x2 + x.
Đáp án: D
x = 0 là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
2x2 + 3x + 1 < 0;
x2 + x – 3 > 0;
x2 + 2x + 4 < 0;
x2 – 3x – 1 < 0.
Đáp án: D
Giá trị nào dưới đây không là một nghiệm của bất phương trình – 2x2 + x + 1 ≥ 0?
x = 0;
x = – 1;
x = 1;
x = – 2.
Đáp án: C
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2 – 8x + 7 ≥ 0. Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?
(– ∞; 0];
[6; + ∞);
[8; + ∞];
(– ∞; – 1].
Đáp án đúng là: B
Ta có: x2 – 8x + 7 ≥ 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.\).
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; 1]∪ [7; + ∞].
Do đó, [6; + ∞)⊄ S.
Giá trị của m để phương trình – x2 + 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là
(– 1 ; 2);
(– ∞; – 1) ∪ (2; + ∞);
[– 1; 2];
(– ∞; – 1] ∪ [2; + ∞).
Đáp án đúng là: B
Phương trình – x2 + 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0
⇔ (m – 1)2 – (– 1) . (m – 3) > 0 ⇔ m2 – m – 2 > 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\).
Vậy m ∈ (– ∞; – 1) ∪ (2; + ∞).
Phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] có số nghiệm là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] ta được
– x2 + 4x = 4x2 – 8x + 4.
Sau khi thu gọn ta được 5x2 – 12x + 4 = 0. Từ đó tìm được x = 2 hoặc \(x = \frac{2}{5}\).
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.
Giá trị nào sau đây là một nghiệm của phương trình\(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3} \)?
2;
4;
12;
20.
Đáp án đúng là: A
Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.
Cách 2. Giải phương trình
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3} \) ta được
3x2 – 6x + 1 = x2 – 3.
Rút gọn ta được x2 – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.
Cho phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì m ∈ [a; b]. Giá trị a2 + b2 bằng
2;
4;
1;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⇔ – 1 ≤ m ≤ 0 ⇒ m ∈ [– 1; 0].
Suy ra a = – 1, b = 0, do đó a2 + b2 = 1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
(– 2; – 3);
(2; – 3);
(– 2; 3);
(2; 3).
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 7) và B(– 2; 8). Độ dài đoạn thẳng AB là
5;
\(\sqrt {37} \);
\(\sqrt {17} \);
25.
Đáp án: C
Cho hai vectơ \(\overrightarrow x = \left( {3;\, - 4} \right)\), \(\overrightarrow y = \left( { - 6;\,\,8} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) bằng nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) cùng phương cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) cùng phương ngược hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) đối nhau.
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3; – 6) và N(5; 2). Tọa độ trung điểm I của MN là
(4; – 2);
(1; 4);
(2; – 8);
(2; – 2).
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {4;\,\, - m} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2m + 6;\,\,1} \right)\). Tập giá trị của m để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương là
{– 1; 1};
{– 1; 2};
{– 2; – 1};
{– 2; 1}.
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k\left( {2m + 6} \right)\\ - m = k\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\).
Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(– 1; 1), C(5; – 1). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
7;
– 5;
5;
– 7.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 + 3 = - 5\).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: – x + 2y + 7 = 0. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là
\(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;\,\,2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,1} \right)\).
Đáp án: B
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 4; 2) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 4t\\y = - 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 5 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.\).
Đáp án: B
Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A(1; – 3) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,7} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là
2x – 7y + 23 = 0;
– 2x + 7y – 23 = 0;
2x – 7y – 23 = 0;
– 2x – 7y + 23 = 0.
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; – 1) và B(– 6; 2). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng AB?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3t\\y = t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Cách 1. Thay tọa độ các điểm A, B lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.
Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chủ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.
Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến đường thẳng d: 3x + 2y + 13 = 0 là
\(2\sqrt {13} \);
\(\frac{{28}}{{\sqrt {13} }}\);
26;
\(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến d: 3x + 2y + 13 = 0 là
\(d\left( {M,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 2\sqrt {13} \).
Góc giữa hai đường thẳng a: 6x – 5y + 15 = 0 và b: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) bằng
30°;
90°;
60°;
45°.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)\);
Đường thẳng b có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,6} \right)\).
Ta thấy: \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 6 \cdot 5 + \left( { - 5} \right) \cdot 6 = 0\).
Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
x2 + 2y2 – 4x – 8y + 1 = 0;
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0;
x2 + y2 – 2x – 8y + 20 = 0;
4x2 + y2 – 10x – 6y – 2 = 0.
Đáp án: B
Đường tròn (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16 có tâm là
I(3; 4);
I(3; – 4);
I(– 3; 4);
I(– 3; – 4).
Đáp án: C
Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm I(1; 2), bán kính bằng 5?
x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0;
x2 + y2 + 2x + 4 + 20 = 0;
x2 + y2 + 2x + 4y – 20 = 0;
x2 + y2 – 2x – 4y + 20 = 0.
Đáp án: A
Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 3) và B(5; – 1) là
(x + 3)2 + (y – 1)2 = 8;
(x + 3)2 + (y + 1)2 = 8;
(x – 3)2 + (y + 1)2 = 8;
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 8.
Đáp án đúng là: D
Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính bằng nửa độ dài đoạn AB.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 4} \right)\), suy ra \(AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 \).
Suy ra bán kính đường tròn là \(R = \frac{{AB}}{2} = 2\sqrt 2 \).
Tọa độ tâm là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\). Suy ra I(3; 1).
Phương trình đường tròn cần lập là: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 8.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(1; 5). Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A có phương trình là
y – 5 = 0;
y + 5 = 0;
x + y – 5 = 0;
x – y – 5 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: 12 + 52 – 2 . 1 – 4 . 5 – 4 = 0, do đó A thuộc đường tròn (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại A(1; 5) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AI} = \left( {0;\, - 3} \right)\), nên có phương trình
0(x – 1) – 3(y – 5) = 0 hay y – 5 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)?
;
;
;
.
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\);
\({x^2} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{3} = - 1\);
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{5} = - 1\).
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol ?
y2 = 4x;
y2 = – 2x;
x2 = – 4y;
x2 = 2y.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): 16x2 + 25y2 = 400. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sai?
(E) có trục nhỏ bằng 8;
(E) có tiêu cự bằng 3;
(E) có trục lớn bằng 10;
(E) có các tiêu điểm F1(– 3; 0) và F2(3; 0).
Đáp án đúng là: B
Ta có: 16x2 + 25y2 = 400 \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Do đó, elip (E) có a = 5, b = 4, nên c = 3.
Vậy (E) có trục nhỏ bằng 2b = 8, có trục lớn bằng 2a = 10, có tiêu cự bằng 2c = 6 và có các tiêu điểm F1(– 3; 0) và F2(3; 0). Do đó, đáp án B sai.
Đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tiêu cự bằng
1;
2;
3;
6.
Đáp án đúng là: D
Ta có: a2 = 5 và b2 = 4 nên c2 = a2 + b2 = 9, suy ra c = 3.
Vậy tiêu cự của hypebol là 2c = 6.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
a) đi qua M(– 1; – 4) và song song với đường thẳng 3x + 5y – 2 = 0;
b) đi qua N(1; 1) và vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0.
Đáp án:
a) Gọi đường thẳng cần lập là d.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x + 5y – 2 = 0 cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nên phương trình đường thẳng d có dạng 3x + 5y + c = 0 (c ≠ – 2).
Vì d đi qua điểm M(– 1; – 4) nên 3 . (– 1) + 5 . (– 4) + c = 0. Suy ra c = 23 (t/m).
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là 3x + 5y + 23 = 0.
b) Gọi đường thẳng cần lập là a.
Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 nên lấy vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\) của đường thẳng 2x + 3y + 7 là vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {3;\,\, - 2} \right)\).
Đường thẳng a đi qua điểm N(1; 1) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {3;\,\, - 2} \right)\) nên có phương trình là 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 hay 3x – 2y – 1 = 0.
Hình dưới đây mô tả mặt cắt ngang của một chiếc đèn có dạng parabol trong mặt phẳng tọa độ Oxy (x và y tính bằng xen-ti-mét). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Đáp án:
Parabol có phương trình chính tắc là: y2 = 2px (p > 0).
Vì AB = 40 cm và h = 30 cm nên A(30; 20).
Do A(30; 20) thuộc parabol nên ta có: 202 = 2p . 30 \( \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}\).
Vậy parabol có phương trình chính tắc là: y2 = \(\frac{{40}}{3}x\).
Hà dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 7 cm × 13 cm, độ rộng viền xung quanh là x cm (như hình vẽ). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 44 cm2. Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xen-ti-mét?
Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm2).
Vì độ rộng viền xung quanh là x cm nên x > 0 và kích thước của khung ảnh là (7 + 2x) cm × (13 + 2x) cm.
Diện tích viền khung ảnh là: (7 + 2x)(13 + 2x) – 91 = 4x2 + 40x (cm2).
Theo bài ra ta có: 4x2 + 40x ≤ 44.
Giải bất phương trình trên ta được x ∈ [– 11; 1]. Do x > 0 nên x ∈ (0; 1].
Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.
