Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 6
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Phủ định của mệnh đề “Mọi loại thực vật đều đứng yên” là
Mọi loài thực vật đều không đứng yên;
Mọi loài thực vật đều di chuyển;
Không tồn tại loài thực vật di chuyển;
Tồn tại ít nhất một loài thực vật không đứng yên.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phủ định của mệnh đề “Mọi loại thực vật đều đứng yên” là “Tồn tại ít nhất một loài thực vật không đứng yên”.
Cho tập hợp \(A = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\) và \(B = \left( {1; + \infty } \right)\). Tập hợp \(A\backslash B\) là
\(\left[ { - 2;\,\,1} \right]\);
\(\left[ { - 2;1} \right)\);
\(\left( {1;\,3} \right]\);
\(\left[ { - 2; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hình vẽ:
Khi đó \(A\backslash B = \left[ { - 2;1} \right]\).
Tập hợp \(C\) là tập con của tập hợp \(D\) khi
\(\exists x \in C,x \in D\);
\(\forall x \in D,x \in C\);
\(\exists x \in D,x \in C\);
\(\forall x \in C,x \in D\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Cho hai tập hợp \(C\) và \(D\), nếu mọi phần tử của tập hợp \(C\) đều thuộc tập \(D\) thì \(C\) là tập con của tập hợp \(D\) hay \(C \subset D \Leftrightarrow \forall x \in C,x \in D\).
Miền nghiệm của bất phương trình \[ax + by > c\] được định nghĩa là
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \[a{x_0} + b{y_0} > c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], đường thẳng có phương trình \[ax + by = c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tập hợp điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \[a{x_0} + b{y_0} > c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
Cả A, B và C đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tập hợp điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \[a{x_0} + b{y_0} > c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y < - 9\\2x - m > 3y\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số. Với giá trị nào của \(m\) thì cặp số \(\left( { - 1; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình?
\(m = - 2\);
\(m = 5\);
\(m = 3\);
\(m = 7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = - 1\) và \(y = - 3\) vào hệ bất phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}m\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 3} \right) < - 9\\2\left( { - 1} \right) - m > 3.\left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m < - 3\\ - m > - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 7\).
Vậy \(m = 5\) thỏa mãn điều kiện.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{x}\)là
\(\mathbb{R}\);
\({\mathbb{R}^*}\);
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\);
\({\mathbb{N}^*}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của hàm số là: \(x \ne 0\)
Khi đó tập xác định của hàm số \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\), \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\);
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right)\), \({x_1} > {x_2}\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\);
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right)\), \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\);
\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\), \({x_1} > {x_2}\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right)\), \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Hàm số bậc hai nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\)
\(y = {x^2} - 9x\);
\(y = - 2{x^2} + 3x - 1\);
\(y = {x^2} - 4x + 3\);
\(y = - 3{x^2} - 3x + 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Hàm số \(y = {x^2} - 9x\) có tọa độ điểm đỉnh là \({x_I} = - \frac{{ - 9}}{{2.1}} = \frac{9}{2};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 9} \right)}^2} - 4.1.0}}{{4.1}} = - \frac{{81}}{4}\).
Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{9}{2}; + \infty } \right)\). Do đó hàm số này không đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).
+) Hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x - 1\) có tọa độ điểm đỉnh là
\({x_I} = - \frac{3}{{2.\left( { - 2} \right)}} = \frac{3}{4};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)}}{{4.\left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{8}\).
Hàm số có \(a = - 2 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{4}} \right)\). Do đó hàm số này không đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).
+) Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) có tọa độ điểm đỉnh là
\({x_I} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2;{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4.1.3}}{{4.1}} = - 1\).
Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Do đó hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).
+) Hàm số \(y = - 3{x^2} - 3x + 5\) có tọa độ điểm đỉnh là
\({x_I} = - \frac{{ - 3}}{{2.\left( { - 3} \right)}} = - \frac{1}{2};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4.\left( { - 3} \right).5}}{{4.\left( { - 3} \right)}} = \frac{{23}}{4}\).
Hàm số có \(a = - 3 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\). Do đó hàm số này không đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).
Viết hàm số mô tả diện tích của hình chữ nhật biết chiều dài hơn chiều rộng \(2\,\,cm\).
\({x^2} + 2x\);
\(2x + 2\);
\(2x + 2{x^2}\);
\({x^2} - 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là: \(x\,\,\left( {cm} \right)\)\(\left( {x\,\, > 0} \right)\)
Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(x\, + 2\,\,\,\left( {cm} \right)\)
Diện tích của hình chữ nhật: \(x\left( {x + 2} \right) = {x^2} + 2x\).
Vậy hàm số mô tả diện tích của hình chữ nhật là \({x^2} + 2x\).
Cho hàm số bậc hai \(y = - {x^2} + 2x\) có bảng biến thiên là:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;1} \right)\);
\(\left( {0;2} \right)\);
\(\left( { - 1;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
\(y = {x^2} + \frac{1}{x}\);
\(y = {y^2} + {x^2}\);
\(y = x\);
\(y = 2 - x + {x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số bậc hai là hàm số \(y = 2 - x + {x^2}\).
Đồ thị hàm số bậc hai \(y = 3{x^2} - 4x + 1\) được biểu diễn bởi hình vẽ
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = 3{x^2} - 4x + 1\) có tọa độ đỉnh là:
\({x_I} = - \frac{{ - 4}}{{2.3}} = \frac{2}{3};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4.3.1}}{{4.3}} = - \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Trục đối xứng của hàm số là: \(x = \frac{2}{3}\).
Hàm số cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{3};0} \right)\).
Hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;1} \right)\).
Điểm đối xứng với điểm \(\left( {0;1} \right)\) qua trục đối xứng là \(\left( {\frac{4}{3};1} \right)\).
Parabol \(y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,\,17} \right)\) tổng hệ số \(a + b\) bằng
\(6\);
\( - 4\);
\( - \frac{{14}}{3}\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có parabol đi qua điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) nên thay \(x = 1\), \(y = - 1\) vào hàm số ta được:
\( - 1 = a{.1^2} + b.1 + 3 \Leftrightarrow a + b = - 4\)\(\left( 1 \right)\)
Ta có parabol đi qua điểm \(B\left( { - 2;\,\,17} \right)\) nên thay \(x = - 2\), \(y = 17\) vào hàm số ta được:
\(17 = a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + 3 \Leftrightarrow 4a - 2b = 14\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 4\\4a - 2b = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 5\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow a + b = 1 - 5 = - 4\).
Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{\tan x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{{\rm{cot}}\,x}}\) với \(x \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\).
\(\sin x\);
\(\frac{1}{{\sin x}}\);
\(\frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\);
\[{\rm{cos}}x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[M = \frac{{\tan x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{{\rm{cot}}\,x}} = \frac{{\tan x.{\rm{cot}}\,x}}{{\sin x.{\rm{cot}}\,x}} - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{\rm{cot}}\,x.\sin \,x}} = \frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{\rm{cot}}\,x.\sin \,x}} = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\,x}}{{\frac{{{\rm{cos}}\,x}}{{\sin \,x}}.\sin \,x}} = {\rm{cos}}\,x\].
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = c,AC = b,BC = a\). Nhận xét nào dưới đây là đúng?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.{\rm{cosA}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\rm{cosA}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.{\rm{sinA}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\rm{sinA}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\rm{cosA}}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 3,b = 2\sqrt 2 ,c = 1\). \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = 1\). Độ dài đoạn thẳng \(AM\) bằng
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\);
\(\sqrt 2 \);
\(\frac{{\sqrt {15} }}{3}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:\[{\rm{cos}}B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{3^2} + {1^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.3.1}} = \frac{1}{3}\].
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABM\), ta được:
\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.{\rm{cos}}B\)
\( = {1^2} + {1^2} - 2.1.1.\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
\( \Leftrightarrow AM = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Từ một điểm \(C\) cách hai đầu một hồ nước lần lượt là \(500\,\,m\) và \(600\,\,m\), người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc \(82^\circ \).
Khoảng cách (làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai điểm ở hai đầu của hồ nước là
\(726\);
\(833\);
\(781\);
\(126\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi hai điểm đầu của hồ nước là \(A\) và \(B\).
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.AC.BC.{\rm{cos}}\,C\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = {600^2} + {500^2} - 2.500.600.{\rm{cos}}\,82^\circ \)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = 526\,\,496\)
\( \Leftrightarrow AB = 726\).
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đối nhau nếu
hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương;
hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và cùng độ dài;
hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và cùng độ dài;
hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng và không cùng độ dài.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài;
Cho hình thang \(ABCD\). Vectơ không có điểm đầu là \(D\) thì có điểm cuối là
điểm \(A\);
điểm \(B\);
điểm \(C\);
điểm \(D\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vectơ không có điểm đầu là \(D\) thì có điểm cuối là điểm \(D\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \);
\(AC = BD\);
\(AB\parallel CD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \), bởi vì
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AD\parallel BC\) và \(AD = BC\) nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \)cùng hướng \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Nếu \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) thì \(AD\parallel BC\) và \(AD = BC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \);
\(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {MI} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc ba điểm ta được: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \); \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {MI} \). Do đó A và D là mệnh đề đúng.
Áp dụng quy tắc hiệu: \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \). Do đó B là mệnh đề đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {MP} \). Do đó C là mệnh đề sai.
Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(MN\). Khi đó
\(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {NI} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {NI} = 0\);
\(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(MN\) nên \(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \);
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \) (quy tắc hiệu hai vectơ)
Mà \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \) (tính chất hình bình hành)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} \). Do đó đẳng thức A đúng.
+) Ta có: \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} \), \(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hiệu hai vectơ)
Mà \(\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \) (tính chất hình bình hành)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \). Do đó đẳng thức B sai.
+) Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \) (quy tắc hiệu hai vectơ). Do đó đẳng thức C đúng.
+) Ta có: \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} \)(quy tắc hiệu hai vectơ). Do đó đẳng thức D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|.\)
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\);
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\);
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {a^2}} = \frac{1}{2}.\sqrt 2 a = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AG} \);
\(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {MG} \);
\(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \);
\(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).
\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \)
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(MABC\) là hình bình hành;
AM→+AB→=AC→
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} \);
\(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = - \overrightarrow {BA} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \).
Điểm \(M\)thỏa mãn \(AMCB\) là hình bình hành.
Khi đó \(\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {BC} \) . Do đó D sai.
Cho bốn điểm \(M,N,P,Q\) như hình vẽ:
Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {QM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {QP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MN} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào hình vẽ ta có:
+) \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) là hai vectơ cùng hướng và \(MN = 4MP\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MP} \). Do đó A sai.
+) Vì \(\overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MP} \) nên \(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MN} \). Do đó B đúng.
+) \(\overrightarrow {QM} \) và \(\overrightarrow {MN} \) là hai vectơ ngược hướng và \(MN = 2MQ\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {QM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} \). Do đó C sai.
+) \(\overrightarrow {QP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) là hai vec tơ ngược hướng và \(MN = \frac{1}{4}QP\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {QP} \). Do đó D sai.
Cho tam giác \(ABC\). Giá trị của biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) bằng
\(AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\);
\(AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\);
\( - AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\);
\(AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {BAC}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - BA.BC.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ không. Nếu \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) thì
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\);
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\);
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
Viết số quy tròn của số gần đúng \(b\) biết \(\overline b = 12409,12 \pm 0,5\).
\(12\,\,410\);
\(12\,\,409,1\);
\(12\,\,000\);
\(12\,\,409\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàng của chữ số khác \(0\) đầu tiên bên trái của \(d = 0,5\) là hàng phần mười, nên quy tròn \(b\) đến hàng đơn vị ta được: \(12\,\,409\).
Cho giá trị gần đúng của \(\sqrt 3 \) là 1,73 . Sai số tuyệt đối của số gần đúng 1,73 là
\(0,003\);
\(0,03\);
\(0,002\);
\(0,02\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Sai số tuyệt đối của số gần đúng là
\(\Delta = \left| {\sqrt 3 - 1,73} \right| \approx 0,002\).
Bảng thống kê số lớp và số học sinh theo từng khối ở một trường Trung học phổ thông.
Khối | 10 | 11 | 12 |
Số lớp | 12 | 9 | 10 |
Số học sinh | 530 | 312 | 358 |
Hiệu trưởng trường đó cho biết sĩ số mỗi lớp trong trường đều không vượt quá 40 học sinh. Khối lớp bị thống kê sai là
Khối lớp 10;
Khối lớp 11;
Khối lớp 12;
Cả ba khối lớp đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Khối lớp 10 có 12 lớp, nếu mỗi lớp có tối đa 40 người thì tổng cả khối có: 480 học sinh nghĩa là tổng số học sinh của khối lớp 10 sẽ không thể vượt quá 480 học sinh mà theo bảng thống kê ta có 530 > 480 nên khối lớp 10 đang bị thống kê sai.
+) Khối lớp 11 có 9 lớp, nếu mỗi lớp có tối đa 40 người thì tổng cả khối có: 360 học sinh nghĩa là tổng số học sinh của khối lớp 11 sẽ không thể vượt quá 360 học sinh mà theo bảng thống kê ta có 312 < 360 nên khối lớp 11 thống kê đúng.
+) Khối lớp 12 có 10 lớp, nếu mỗi lớp có tối đa 40 người thì tổng cả khối có: 400 học sinh nghĩa là tổng số học sinh của khối lớp 12 sẽ không thể vượt quá 400 học sinh mà theo bảng thống kê ta có 358 < 400 nên khối lớp 12 thống kê đúng.
Cho dãy số liệu về điểm thi giữa kì 1 môn Toán của các bạn học sinh tổ 1: 9; 9,5; 6; 8; 7; 8,5; 9; 7. Điểm thi trung bình giữa kì 1 môn Toán của tổ 1 là
7,5;
8;
8,5;
9.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điểm trung bình giữa kì 1 môn Toán của tổ 1 là:
\(\frac{{9 + 9,5 + 6 + 8 + 7 + 8,5 + 9 + 7}}{8} = 8\).
Mốt được định nghĩa là
giá trị lớn nhất trong dãy số liệu;
tần số lớn nhất;
giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu;
giá trị có tần suất lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Một là giá trị có tần suất lớn nhất.
Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; \({Q_1} = 36;\,{Q_2} = 60;\,\,{Q_3} = 100\); giá trị lớn nhất bằng 205.
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
\(24\).
\(64\).
\(202,5\).
\(40\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 100 - 36 = 64\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm). Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên Mặt Trăng, trước hết nó bay vòng quanh Trái Đất. Sau đó, đến một thời điểm thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabol lên Mặt Trăng (trong hệ tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ, \(x\) và \(y\) tính bằng nghìn kilômét). Biết rằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi \(x = 0\) thì \(y = - 7\). Sau đó, \(y = - 4\) khi \(x = 10\) và \(y = 5\) khi \(x = 20\).
Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên.
Hướng dẫn giải
Gọi hàm số cần tìm là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Thay \(x = 0\) và \(y = - 7\) vào hàm số ta được: \( - 7 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = - 7\).
Khi đó ta có hàm số \(y = a{x^2} + bx - 7\).
Thay \(x = 10\) và \(y = - 4\) vào hàm số ta được: \( - 4 = a{.10^2} + b.10 - 7 \Leftrightarrow 100a + 10b = 3\) \(\left( 1 \right)\).
Thay \(x = 20\) và \(y = 5\) vào hàm số ta được: \(5 = a{.20^2} + b.20 - 7 \Leftrightarrow 400a + 20b = 12\)
\( \Leftrightarrow 100a + 5b = 3\)\(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 3\\100a + 5b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{100}}\\b = 0\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\)
Vậy hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên là \(y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\).
(1,0 điểm).
a) Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \[a\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[G\] là trọng tâm tam giác \(ADM\). Phân tích \(\overrightarrow {MG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).
b) Cho đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng \[a\]. Một điểm \(M\)di động sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\). Tính độ dài lớn nhất của \(MH\)?
Hướng dẫn giải
Gọi \(N\) là trung điểm của \[AD\]
Xet tam giác \(ADM\) có: \(\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
b)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI,\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = AB\)
\( \Rightarrow 2MI = AB\) hay \(MI = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
Suy ra tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\)và nội tiếp đường tròn tâm \(I\) bán kính \(\frac{{AB}}{2}\).
Khi đó \(MH \le MI\)
\( \Rightarrow MH \le \frac{a}{2}\)
Vậy độ dài lớn nhất của \(MH\) là bằng \(\frac{a}{2}\) khi \(H\) trùng với với \(I\).
(1,0 điểm). Biểu đồ đoạn thẳng ở hình vẽ bên thể hiện tốc độ trăng trưởng GDP qua các năm từ 2012 đến 2019.
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Tốc độ tăng trưởng trung bình là:
\(\overline x = \frac{{5,25 + 5,42 + 5,98 + 6,68 + 6,21 + 6,81 + 7,08 + 7,02}}{8} \approx 6,3\).
Phương sai của mẫu số liệu trên là:
\({S_x} = \frac{{{{\left( {5,25 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {5,42 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {5,98 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {6,68 - 6,3} \right)}^2}}}{8}\)
\(\frac{{{{\left( {6,21 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {6,81 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {7,08 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {7,02 - 6,3} \right)}^2}}}{8} \approx 0,44\).
\({s_x} = \sqrt {{S_x}} \approx \sqrt {0,44} \approx 0,66\).
Vậy phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(0,44\) và \(0,66\).
