Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
28 câu hỏi
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề ?
Mặt Trời xoay quanh Trái Đất;
Với \(x = 2\) thì \[x - 2 < 5\];
Trái Đất xoay quanh Mặt Trời;
\(x > 6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Câu “\(x > 6\)” không là mệnh đề vì nó không thể xác định được tính đúng hay sai.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6} \right\}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[\emptyset \in A\];
\[\left\{ 1 \right\} \in A\];
\[2 \subset A\];
\[\left\{ {1;\,\,6} \right\} \subset A\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
+) \[\emptyset \subset A\]. Do đó A sai.
+) \(1 \in A\) nên \[\left\{ 1 \right\} \subset A\]. Do đó B sai.
+) \(2\) là một phần tử của tập hợp \(A\) nên ta viết \[2 \in A\]. Do đó C sai
+) \(1\) và \(6\) là các phần tử thuộc tập hợp \(A\) nên \[\left\{ {1;\,\,6} \right\} \subset A\]. Do đó D đúng.
Cho hai tập hợp \[A = \left( { - \frac{9}{2};1} \right)\] và \[B = \left[ {\frac{3}{2};\, + \infty } \right)\]. Câu nào sau đây đúng?
\[A \cap B = \left( { - \frac{9}{2}; + \infty } \right)\];
\[A \cap B = \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\];
\[A \cap B = \emptyset \];
\[A \cap B = \left( {1;\frac{3}{2}} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Biểu diễn các tập hợp trên trục số ta có:
Vì vậy \[A \cap B = \emptyset \].
Tập nghiệm \[S\] của bất phương trình \[2x - 1 \ge \frac{{2x}}{5} + 3y\] được biểu diễn bởi hình vẽ nào đưới đây?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[2x - 3 \ge \frac{{7x}}{5} + 3y \Leftrightarrow 10x - 15 \ge 7x + 15y \Leftrightarrow 3x - 15y \ge 15 \Leftrightarrow x - 5y \ge 5\].
+) Vẽ đường thẳng \(d:x - 5y = 5\)
+) Lấy điểm \(O\left( {0;\,0} \right) \notin d\) có \(0 - 5.0 = 0 < 5\)nên điểm \(O\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d\) và không chứa điểm \(O\) (kể cả đường thẳng \(d\)):
Cho các cặp số: \(\left( {1;\,\,2} \right),\,\,\left( { - 5;\,\,0} \right),\,\,\left( {11;\,\, - 9} \right),\,\,\left( { - 7;\,\,1} \right)\). Có bao nhiêu cặp số thỏa mãn hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < x + 3\\y \le 3\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\]?
\[0\];
\[1\];
\[2\];
\[3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < x + 3\\y \le 3\left( {x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2 < x + 3\\y \le 3x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\ - 3x + y \le 3\end{array} \right.\]
+) Thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào từng bất phương trình của hệ ta được:
\(1 < 5\) là mệnh đề đúng;
\( - 3.1 + 2 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le 3\) là mệnh đề đúng.
Do đó cặp số \(\left( {1;2} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 5\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ ta được:
\( - 5 < 5\) là mệnh đề đúng;
\( - 3.\left( { - 5} \right) + 0 \le 3 \Leftrightarrow 15 \le 3\) là mệnh đề sai.
Do đó cặp số \(\left( { - 5;0} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 11\) và \(y = - 9\) vào từng bất phương trình của hệ ta được:
\(11 < 5\) là mệnh đề sai;
\( - 3.11 + \left( { - 9} \right) \le 3 \Leftrightarrow - 42 \le 3\) là mệnh đề đúng.
Do đó cặp số \(\left( {11; - 9} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 7\) và \(y = 1\) vào từng bất phương trình của hệ ta được:
\( - 7 < 5\) là mệnh đề đúng;
\( - 3.\left( { - 7} \right) + 1 \le 3 \Leftrightarrow 22 \le 3\) là mệnh đề sai.
Do đó cặp số \(\left( { - 7;1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Vậy có 1 cặp số duy nhất thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho.
Tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 3} \] là:
\[D = \left[ { - 3;\, + \infty } \right)\];
\[D = \left[ { - 2;\, + \infty } \right)\];
\[D = \left[ {2;\, + \infty } \right)\];
\[D = \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ge - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 2\].
Vậy tập xác định của hàm số là: \[D = \left[ { - 2;\, + \infty } \right)\].
Cho đồ thị hàm số \[y = {x^3}\] như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;\,0} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\, + \infty } \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\];
Hàm số đồng biến tại gốc tọa độ \[O\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Do đó các đáp án A, B, C đúng.
Vì không có khái niệm hàm số đồng biến tại một điểm nên đáp án D sai.
Trục đối xứng của parabol \[y = 2{x^2} + 6x + 3\] là:
\[x = \frac{{ - 3}}{2}\];
\[y = \frac{{ - 3}}{2}\];
\[x = - 3\];
\[y = - 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], đồ thị hàm số bậc hai \[y = 2{x^2} + 6x + 3\,\] là một parabol \[(P)\] có trục đối xứng là đường thẳng: \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.2}} = \frac{{ - 3}}{2}\].
Cho hàm số \[\left( P \right):\,y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình sau:
\[a > 0,\,b < 0,\,c < 0\];
\[a > 0,\,b < 0,\,c > 0\];
\[a > 0,\,b > 0,\,c > 0\];
\[a < 0,\,b < 0,\,c > 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đồ thị \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên trên nên \[a > 0\].
Hoành độ đỉnh parabol \[x = - \frac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow b < 0\].
\[\left( P \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \[c > 0\].
Do đó đáp án A đúng.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], góc \[\widehat B = 30^\circ \] . Khẳng định nào sau đây là sai?
\[\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\];
\[\sin B = \frac{1}{2}\];
\[\cos C = \frac{1}{2}\];
\[\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[\widehat B = 30^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \].
Theo bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:
\[\sin B = \cos C = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\];
\[\sin C = \cos B = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Vậy đáp án A sai. Do đó chọn A.
Cho \[\sin \alpha = \frac{1}{3}\] . Tính giá trị biểu thức \[P = 3{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \]?
\[P = \frac{{25}}{9}\];
\[P = \frac{9}{{25}}\];
\[P = \frac{{11}}{9}\];
\[P = \frac{9}{{11}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[P = 3{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 3{\sin ^2}\alpha + \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = 2{\sin ^2}\alpha + 1\]
\[ \Rightarrow P = 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + 1 = \frac{{11}}{9}\].
Cho hình vẽ bên, giả sử \[CD = h\] là chiều cao của tháp, trong đó \[C\] là chân tháp. Chọn hai điểm \[A,\,B\] trên mặt đất sao cho ba điểm \[A,\,B,\,C\] thẳng hàng. Ta đo được \[AB = 24m,\,\widehat {CAD} = 63^\circ ,\,\widehat {CBD} = 48^\circ \].
Chiều cao \[h\] của tháp gần nhất với giá trị nào sau đây?
\[68m\];
\[19m\];
\[17m\];
\[61m\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\widehat {CAD} = \widehat D + \widehat B \Rightarrow \widehat D = 63^\circ - 48^\circ = 15^\circ \] (định lí góc ngoài tam giác \(ADB\)).
Áp dụng định lý sin vào tam giác \[ABD\], có:
\[\frac{{AD}}{{\sin \beta }} = \frac{{AB}}{{\sin D}}\]
\[ \Rightarrow AD = \frac{{AB.\sin \beta }}{{\sin D}} = \frac{{24.\sin 48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} \approx 68,91\left( m \right)\].
Xét tam giác vuông \[ACD\], có:
\[h = CD = AD.\sin \alpha = 68,91.\sin 63^\circ \approx 61,4\left( m \right)\].
Vậy chiều cao của tháp khoảng \(61\).
Cho tam giác \[ABC\]. Có thể xác định bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm cuối là đỉnh \[A,\,B\]?
\[2\];
\[3\];
\[6\];
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \[4\] vectơ có thể xác định được là \[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {CA} \].
Cho vectơ \[\overrightarrow a \], mệnh đề nào sau đây đúng?
Không có vectơ \[\overrightarrow u \] nào mà \[\overrightarrow a = \overrightarrow u \];
Có duy nhất một vectơ \[\overrightarrow u \] mà \[\overrightarrow a = \overrightarrow u \];
Có duy nhất một vectơ \[\overrightarrow u \] mà \[\overrightarrow a = - \overrightarrow u \];
Có vô số vectơ \[\overrightarrow u \] mà \[\overrightarrow a = \overrightarrow u \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có vô số vectơ \[\overrightarrow u \] mà \[\overrightarrow a = \overrightarrow u \], tương tự cũng có vô số vectơ \[\overrightarrow u \] mà \[\overrightarrow a = - \overrightarrow u \].
Hai vectơ có giá song song thì
hai vectơ đó cùng phương;
hai vectơ đó cùng hướng;
hai vectơ đó ngược hướng;
hai vectơ đó trùng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo định nghĩa, hai vectơ có giá song song thì hai vectơ đó cùng phương.
Cho tam giác \[ABC\] có \[M,\,N,\,P\] là trung điểm của các cạnh \[AB,\,AC,\,BC\]. Hệ thức nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MP} - \overrightarrow {MN} \];
\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MN} \];
\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} \];
\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {PN} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\overrightarrow {NP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB} \) (tính chất đường trung bình). Do đó D sai.
\[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} \ne \overrightarrow {AM} \]. Do đó B sai
\[\overrightarrow {MP} - \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AM} \]. Do đó A đúng.
\[\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} = - \overrightarrow {AM} \]. Do đó C sai.
Cho ba điểm bất kì \[A,\,B,\,C\]. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \];
\[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {BA} \];
\[\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AB} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \]. Do đó A đúng.
+) \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \]. Do đó B sai.
+) \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} \]. Do đó C sai.
+) \[\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \]. Do đó D sai.
Cho đoạn thẳng \[AB\]. Gọi \[M\] là một điểm thuộc đoạn thẳng \[AB\] sao cho \[AM = \frac{1}{4}AB\]. Khẳng định nào sau đây sai?
\[\overrightarrow {MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \];
\[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \];
\[\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hình vẽ sau:
Dựa vào hình vẽ ta có:
Hai vectơ \[\overrightarrow {AM} \] và \[\overrightarrow {AB} \] cùng hướng và \[AM = \frac{1}{4}AB\] nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \]. Do đó B đúng.
Hai vectơ \[\overrightarrow {MA} \] và \[\overrightarrow {MB} \] ngược hướng và \[MA = \frac{1}{3}MB\] nên \[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \]. Do đó A sai.
Hai vectơ \[\overrightarrow {BM} \] và \[\overrightarrow {BA} \] cùng hướng và \[BM = \frac{3}{4}BA\] nên \[\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \]. Do đó C đúng.
Hai vectơ \[\overrightarrow {MA} \] và \[\overrightarrow {MB} \] ngược hướng và \[MB = 3MA\] nên \[\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \]. Do đó D đúng.
Cho tam giác \[ABC\] có trọng tâm \[G\] và \[I\] là trung điểm \[BC\]. Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
\[2\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AI} \];
\[3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AI} \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AI} \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {GI} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \[ABC\] có \[G\] là trọng tâm:
\[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AI} \]. Do đó A đúng, B sai.
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \ne \frac{3}{2}\overrightarrow {AI} \]. Do đó C sai.
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 6\overrightarrow {GI} \ne 2\overrightarrow {GI} \]. Do đó D sai.
Cho hai vectơ \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] thỏa mãn \[\overrightarrow {\left| a \right|} = 4;\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5;\,\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \]. Giá trị tích vô hướng của \[\overrightarrow a .\overrightarrow b \] là:
\[ - 10\sqrt 3 \];
\[ - 10\];
\[10\];
\[10\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 4.5.\cos 120^\circ = 4.5.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 10\].
Trong một cuộc điều tra dân số, người ta báo cáo số dân của tỉnh A là: \[\overline {\rm{a}} = 1\,\,718\,\,462 \pm 150\] người. Số quy tròn của số \[a = 1\,\,718\,\,462\] là
\[1\,\,718\,\,000\];
\[1\,\,718\,\,400\];
\[1\,\,718\,\,500\];
\[1\,\,719\,\,000\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàng lớn nhất của độ chính xác \[\left( {d = 150} \right)\] là hàng trăm nên ta làm tròn số đến hàng nghìn khi đó số quy tròn của \[a\] là \[1\,\,718\,\,000\].
Thực hiện đo chiều dài của bốn cây cầu, kết quả đo đạc nào trong các kết quả sau đây là chính xác nhất?
\[15,34m \pm 0,01m\];
\[127,4m \pm 0,2m\];
\[2135,8m \pm 0,5m\];
63,47m ± 0,15m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Sai số tương đối của kết quả các phép đo lần lượt là:
+) \[{\delta _1} = \frac{{0,01}}{{15,34}} = 0,00065189...\];
+) \[{\delta _2} = \frac{{0,2}}{{127,4}} = 0,00156985...\];
+) \[{\delta _3} = \frac{{0,5}}{{2135,8}} = 0,00023410...\];
+) \[{\delta _4} = \frac{{0,15}}{{63,47}} = 0,00236332...\];
Ta thấy \[{\delta _3}\] là số nhỏ nhất vậy nên phép đo thứ ba có kết quả chính xác nhất. Do đó C là đáp án đúng.
Một đội gồm \[30\] thợ hồ được chia đều làm \[5\] tổ. Trong một ngày, mỗi thợ hồ quét sơn được từ \[36{m^2}\] đến \[40{m^2}\]. Cuối ngày, đội trưởng thống kê lại số mét vuông tường mà mỗi tổ đã quét sơn như bảng sau:
Tổ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Số mét vuông đã quét sơn | 220 | 242 | 240 | 225 | 234 |
Hỏi đội trưởng thống kê đúng chưa? Nếu sai thì sai ở tổ nào?
Đội trưởng đã thống kê đúng;
Đội trưởng đã thống kê sai ở tổ \[2\];
Đội trưởng đã thống kê sai ở tổ \[3\];
Đội trưởng đã thống kê sai ở tổ \[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mỗi tổ gồm: \[30:5 = 6\] (thợ hồ).
Trong một ngày, mỗi thợ hồ quét sơn được \[36{m^2}\] đến \[40{m^2}\] nên mỗi tổ quét sơn được khoảng từ \[6.36 = 216\left( {{m^2}} \right)\] đến \[6.40 = 240\left( {{m^2}} \right)\].
Do đó, bảng trên ghi tổ \[2\] quét sơn được \[242{m^2}\;\] là không chính xác.
Vậy nên đáp án B đúng.
Trong kết quả thống kê điểm môn Tiếng Anh của một lớp có \[40\] học sinh, điểm thấp nhất là \[2\] điểm và cao nhất là \[10\] điểm. Vậy:
Điểm trung bình là \[6\];
Trung vị là \[6\];
Cả A và B đều đúng;
Chưa thể kết luận về điểm trung bình và trung vị.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khi thực hiện tính điểm trung bình hay trung vị còn phụ thuộc vào tần số của mỗi điểm. Nếu chỉ có khoảng điểm thì không thể kết luận về điểm trung bình môn Tiếng Anh của lớp đó và trung vị.
Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán của 20 học sinh:
Điểm | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Số học sinh | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 1 |
Trung vị của mẫu số liệu trên là
\[8\];
\[7,5\];
\[6,5\];
\[7\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta thấy bảng số liệu trên có \[20\] giá trị nên trung vị là số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí \[10\] và \[11\].
Theo bảng số liệu trên:
Giá trị ở vị trí thứ \[10\] là: \[7\]
Giá trị ở vị trí thứ \[11\] là: \[8\]
Vậy trung vị \[{M_e}\; = \;\frac{{7 + 8}}{2} = 7,5\].
II. TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm) Biết khi một viên đạn được bắn ra, nó sẽ bay theo quỹ đạo trong mặt phẳng hệ tọa độ \[Ots\] là một parabol có phương trình là \[h\left( t \right) = - {\left( {t - 2} \right)^2} + 16\] trong đó \[t\] là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi viên đạn được bắn ra, \[h\] là độ cao (tính bằng \(km\)) của viên đạn.
a) Tính độ cao của viên đạn khi bắn được \[3\] giây.
b) Hỏi khi nào viên đạn đạt độ cao \[12km\]?
c) Khi nào viên đạn chạm mặt đất?
Hướng dẫn giải
a) Khi \[t = 3\] giây thì \[h\left( 3 \right) = - {\left( {3 - 2} \right)^2} + 16 = 15\left( {km} \right)\].
Vậy độ cao của viên đạn khi bắn được \(3\) giây là \(15\,\,km\).
b) Viên đạn đạt độ cao \[12km\] khi \[h\left( t \right) = 12 \Leftrightarrow - {\left( {t - 2} \right)^2} + 16 = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\left( {tmdk} \right)\\t = 0\end{array} \right.\]
Vậy khi bắn được \[4\] giây thì viên đạn đạt độ cao \[12km\].
c) Viên đạn chạm mặt đất khi độ cao đạt \[0\,\,km\] nên ta có:
\[ - {\left( {t - 2} \right)^2} + 16 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\left( {tmdk} \right)\\t = - 2\end{array} \right.\].
Vậy sau khi bắn được \(6\) giây viên đạn chạm mặt đất.
(1,0 điểm)
a) Cho tứ giác lồi \[ABCD\]. Xác định điểm \[O\] sao cho: \[\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OD} \].
b) Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(25N\) và góc \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tính cường độ lực của \(\overrightarrow {{F_3}} \).
Hướng dẫn giải
Xét tứ giác \[ABCD\], gọi \[I\] là trung điểm \[BD\], có:
\[\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OD} \;\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 4\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BC} } \right)\; = 2\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BD} } \right)\]
\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {BD} - 4\overrightarrow {BC} \]
\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} } \right) - 2\overrightarrow {BC} \]
\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {CB} \]
\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {CI} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{4}{3}\overrightarrow {CI} \].
Vậy \[O\] là đỉnh của hình bình hành \[IBON\] với \[\overrightarrow {IN} = \frac{4}{3}\overrightarrow {IC} \].
b)
Gọi \(D\) là điểm thỏa mãn \(MADB\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \)
Tứ giác \(MADB\) là hình bình hành và \(MA = MB\) nên \(MADB\) là hình thoi.
\( \Rightarrow \,\widehat {MAD} = 120^\circ \)
Xét tam giác \(MAB\), có:
\(MD = \sqrt {{{25}^2} + {{25}^2} - 2.25.25.{\rm{cos120}}^\circ } = 25\sqrt 3 \) (định lí cosin)
Vì vật đứng yên nên: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right) = - \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) = - \overrightarrow {MD} \).
\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MD} } \right| = MD = 25\sqrt 3 \).
Vậy cường độ lực của \(\overrightarrow {{F_3}} \) là \(25\sqrt 3 \).
(1,0 điểm) Điểm trung bình một số môn học của hai bạn An và Bình trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau:
Môn | Điểm của An | Điểm của Bình |
Toán | 8,0 | 8,5 |
Vật lí | 7,5 | 9,5 |
Hóa học | 7,8 | 9,5 |
Sinh học | 8,3 | 8,5 |
Ngữ văn | 7,0 | 5,0 |
Lịch sử | 8,0 | 5,5 |
Địa lí | 8,2 | 6,0 |
Giáo dục thể chất | 9,0 | 9,0 |
Hỏi bạn nào học đều các môn hơn?
Hướng dẫn giải
Điểm trung bình của An là:
\[\overline x = \frac{{8,0 + 7,5 + 7,8 + 8,3 + 7,0 + 8,0 + 8,2 + 9,0}}{8} = 7,975\].
Phương sai mẫu điểm của An là:
\[{S_1}^2 = \frac{1}{8}\left( {{{\left( {8,0 - 7,975} \right)}^2} + {{\left( {7,5 - 7,975} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {9,0 - 7,975} \right)}^2}} \right) = 0,302\].
Điểm trung bình của Bình là:
\[\overline x = \frac{{8,5 + 9,5 + 9,5 + 8,5 + 5,0 + 5,5 + 6,0 + 9,0}}{8} = 7,6875\].
Phương sai mẫu điểm của Bình là:
\[{S_2}^2 = \frac{1}{8}\left( {{{\left( {8,5 - 7,6875} \right)}^2} + {{\left( {9,5 - 7,6875} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {9,0 - 7,6875} \right)}^2}} \right) = 3,059\].
Vì \[3,059 > 0,302\]nên Bình học lệch hơn An hay An học đều tất cả các môn hơn Bình.
