Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Cho hai mệnh đề \(P\): “\(x\) là số chẵn” và \(Q\): “\(x\) chia hết cho \(2\)”. Phát biểu mệnh đề \(P\) kéo theo \(Q\).
Hoặc \(x\) là số chẵn hoặc \(x\) chia hết cho \(2\);
Nếu \(x\) là số chẵn thì \(x\) chia hết cho \(2\);
Nếu \(x\) chia hết cho \(2\) thì \(x\) là số chẵn;
\(x\) là số chẵn và \(x\) chia hết cho \(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì mệnh đề kéo theo được phát biểu dưới dạng là “Nếu \(P\) thì \(Q\)”.
Nên mệnh đề \(P\) kéo theo \(Q\) là “Nếu \(x\) là số chẵn thì \(x\) chia hết cho \(2\)”.
Cho tập hợp \(E\) = {\[x \in \mathbb{N}\]| \(x\) là ước chung của \(20\) và \(40\)}.
Tập hợp \(E\) có bao nhiêu phần tử?
\[4\];
\[5\];
\[3\];
\[2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là B
Ta có:
+ Các ước là số tự nhiên của \(20\) là: \[1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20\].
+ Các ước là số tự nhiên của \(40\) là: \[1;{\rm{ }}2;{\rm{ 4}};{\rm{ }}5;{\rm{ 8}};{\rm{ }}10;\,\,20;\,\,40\].
Do đó các ước chung là số tự nhiên của \(20\) và \(40\) là \[1;{\rm{ }}2;{\rm{ 4;}}\,\,\,5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20\].
\[ \Rightarrow E{\rm{ = }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ 4;}}\,\,\,5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20} \right\}\].
Vì vậy tập hợp \(E\) gồm có \(6\) phần tử.
\[ \Rightarrow n\left( E \right) = 6\].
Cho tập hợp X={x∈ℤ|x2–34x2–10x+6=0}
Tập hợp \(X\) có bao nhiêu phần tử?
\[1\];
\[2\];
\[3\];
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là A
Ta có:
x2–34x2–10x+6=0⇔x2– 3=04x2– 10x + 6=0⇔x=3x=−3x=1x=32
Vì \[x \in \mathbb{Z}\] nên ta chỉ nhận một giá trị là \[x = 1\].
Do đó tập hợp \(X\) có \[1\] phần tử.
\[ \Rightarrow n\left( X \right) = 1\].
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất \(2\) ẩn?
\[2x--5y + 3z < 1\];
\[2x + y < 1\];
\[2{x^2} + y < 3\];
\[4{x^2} + 2y < 5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta thấy chỉ có bất đẳng thức \[2x + y < 1\] có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với \[a = 2,{\rm{ }}b = 1,{\rm{ }}c = - 1\].
Câu nào sau đây đúng?
Miền nghiệm của bất phương trình 3x–1+4y–2<5x−3 là nửa mặt phẳng chứa điểm
\[\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\];
\[\left( { - 4;{\rm{ }}2} \right)\];
\[\left( { - 2;{\rm{ }}2} \right)\];
\[\left( { - 5;{\rm{ }}3} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Hướng dẫn giải
Xét bất phương trình: 3x–1+4y–2<5x−3
⇔ 3x–3+4y–8<5x–3
⇔ 2x–4y+8>0
⇔ x–2y+4>0
Tại điểm \[\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\] ta có 0–2.0+4=4>0. Do đó \[\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\] thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Tại điểm \[\left( { - 4;{\rm{ }}2} \right)\] ta có −4–2.2+4=−4<0. Do đó \[\left( { - 4;{\rm{ }}2} \right)\] không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Tại điểm \[\left( { - 2;{\rm{ }}2} \right)\] ta có −2–2.2+4=−2<0. Do đó \[\left( { - 2;{\rm{ }}2} \right)\] không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Tại điểm \[\left( { - 5;{\rm{ }}3} \right)\] ta có −5–2.3+4=−7<0. Do đó \[\left( { - 5;{\rm{ }}3} \right)\]không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Cho đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
\(( - \infty ;\,\,3\,)\);
\((1;\,3)\);
\(( - \infty ;\,\,2)\);
\((1;\,4)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;\,\,2)\) vì trên khoảng này đồ thị hàm số đi lên.
Bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
\(( - \infty ;\,\,3)\);
\((1;\,3)\);
\(\left( { - \infty ;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{4}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhìn vào BBT ta thấy:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\) .
Cho hàm số \[y = \left( {a - 1} \right)x + a\,\,\left( {a \ne 1} \right)\].Tìm giá trị của \[a\] để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[2\].
\[a = 2\];
\[a = 1\];
\[a = 3\];
\[a = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[y = \left( {a - 1} \right)x + a\,\,\left( {a \ne 1} \right)\]là hàm số bậc nhất có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[y = 2\;\]thì hoành độ \(x = 0\). Khi đó thay \(x = 0\) và \[y = 2\;\]vào hàm số ta được \[2 = \left( {a - 1} \right).0 + a\,\, \Leftrightarrow a = 2\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy \[a = 2\].
Cho đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như sau:
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] được xác định bởi công thức nào?
y=3x–1;
y=3x–5;
\[y = 3x + 1\];
y=3x–2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ nên hàm số đó là hàm số bậc nhất \[y = f\left( x \right) = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\].
Giao điểm của đồ thị đó với trục Oy là điểm có tọa độ \[\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\] nên \[b = - 2\].
Suy ra y=fx=ax–2 (*)
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \[\left( {1;{\rm{ }}1} \right)\] nên ta thay \[x = 1;\,\,y = 1\] vào phương trình (*), ta được \[a = 3\].
Vậy y=fx=3x–2.
Hàm số \(y = 2{x^2} + 4x - 1\) là hàm số
đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\);
nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\);
đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\);
nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a > 0\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến
trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).
Hàm số \(y = 2{x^2} + 4x - 1\) có \(a = 2 > 0\) và \( - \frac{b}{{2a}} = - 1\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = \left( { - m + 2} \right){x^2} + 4mx + 1\). Điều kiện của \(m\) để hàm số là hàm số bậc hai là
\(m > 2\);
\(m < - 2\);
\(m \ne 2\);
\(m < 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có hàm số \(y = \left( { - m + 2} \right){x^2} + 4mx + 1\) là hàm số bậc hai khi \( - m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).
Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^2} - 3x\] trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
\(M = 0;{\rm{ }}m = - \frac{9}{4}\);
\(M = \frac{9}{4};{\rm{ }}m = 0\);
\(M = - 2;{\rm{ }}m = - \frac{9}{4}\);
\(M = 2;{\rm{ }}m = - \frac{9}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[y = {x^2} - 3x\] có \[a = 1 > 0\] nên bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh \[x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2} \in \left[ {0;2} \right]\].
Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}m = \min y = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{4}\\M = \max y = \max \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 2 \right)} \right\} = \max \left\{ {0, - 2} \right\} = 0\end{array} \right.\] .
Tìm giá trị thực của tham số \(m \ne 0\) để hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}\).
\(m = 1\);
\(m = 2\);
\(m = - 2\);
\(m = - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có \(m \ne 0\) là hàm số bậc hai.
Tọa độ đỉnh: \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), \(y = m{.1^2} - 2m.1 - 3m - 2 = - 4m - 2\).
TH1: Nếu \(m > 0\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}\) thì \( - 4m - 2 = - 10 \Leftrightarrow m = 2\) (thỏa mãn điều kiện).
TH2: Nếu \(m < 0\) thì hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) và không có giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\).
Giá trị biểu thức sau: \[A = {\sin ^2}3^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ \] là:
\(1\);
\(2\);
\(4\);
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[A = {\sin ^2}3^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ \]
\[ = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}87^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}75^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ \]
\[ = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}87^\circ + {{\sin }^2}87^\circ } \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}75^\circ + {{\sin }^2}75^\circ } \right)\]
\[ = 1 + 1 = 2\].
Cho tam giác \[ABC\] có \(\widehat A = 60^\circ \), \[AB = 6\], \[AC = 8\]. Độ dài \[BC\] là
\(BC = 2\sqrt {12} \);
\(BC = 2\sqrt {13} \);
\(BC = 2\sqrt {10} \);
\(BC = 2\sqrt {17} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \[ABC\] ta có:
BC2=AB2+AC2–2AB.AC.cosA
⇔BC2=62+82–2.6.8.cos60°
⇔BC2=36+64–48=52
\( \Leftrightarrow BC = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \)
Vậy \(BC = 2\sqrt {13} \).
Cho tam giác \[ABC\] có \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, \(r\) bán kính đường tròn nội tiếp. Tích \(R.r\) bằng
\(\frac{{abc}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\);
\(\frac{{a + b + c}}{{2abc}}\);
\(\frac{{abc}}{{4\left( {a + b + c} \right)}}\);
\(\frac{{a + b + c}}{{2abc}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(S\) và \(p\) lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) và \(S = pr = \frac{{a + b + c}}{2}.r\)
Mặt khác \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)
\( \Rightarrow \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{a + b + c}}{2}.r\)
\( \Leftrightarrow Rr = \frac{{abc}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\).
Một cây cột điện cao \[20{\rm{ }}m\] được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang một góc \[17^\circ \]. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc.
Chiều dài của dây cáp bằng bao nhiêu? (Biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng \[72{\rm{ }}m\]).
\[AD = 83,4\,\,m\];
\[AD = 81,4\,\,m\];
\[AD = 80,4\,\,m\];
\[AD = 82,4\,\,m\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Chiều dài của dây cáp là đoạn \[AD\].
Theo bài ra ta có: \[CD = 20\,m\],\[AB = 72\,\,m\], \(\widehat {CAB} = 17^\circ \), \(\widehat {ABD} = 90^\circ \).
\[\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ACB} - \widehat {ACD} = {\rm{ }}180^\circ - 17^\circ - 90^\circ {\rm{ }} = 73^\circ \](tổng ba góc một tam giác bằng 180°).
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] , có :
\(AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {CAB}}} = \frac{{72}}{{\cos 17^\circ }} \approx 75,3\,\,m\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \[ACD\], ta có:
AD2=AC2+CD2–2AC.CD.cosACD^
=75,32+202–2.75,3.20.cos107°≈6950,7\[AD = 83,4\,\,m\]
Vậy chiều dài của dây cáp là \[83,4\,\,m\].
Cho lục giác đều \[ABCDEF\] tâm \[O\].
Có bao nhiêu vectơ khác không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm có trên hình vẽ?
\(2\);
\(9\);
\(1\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vecto \(\overrightarrow {OB} \) mà có điểm đầu và điểm cuối là các điểm có trên hình vẽ là các vectơ: \(\overrightarrow {BE} \), \(\overrightarrow {EB} \), \(\overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {DC} \), \[\overrightarrow {AF} \], \(\overrightarrow {FA} \), \(\overrightarrow {OE} \), \(\overrightarrow {EO} \), \(\overrightarrow {BO} \).
Vậy có \[9\] vectơ thỏa mãn điều kiện.
Nhận xét nào sau đây sai về vectơ không?
Vectơ không là vectơ cùng hướng với mọi vectơ;
Vectơ không không có độ dài;
Mọi vectơ không đều bằng nhau;
Vectơ đối của vectơ không là bằng chính nó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vectơ không là vectơ cùng hướng với mọi vectơ. Do đó A đúng.
Vectơ không có độ dài bằng \(0\). Do đó B sai.
Mọi vectơ không đều bằng nhau. Do đó C đúng.
Vectơ đối của vectơ không là bằng chính nó. Do đó D đúng.
Trên hình vẽ sau cho các đoạn thẳng \[AB = 9,\,\,CD = 7,\,\,MN = 9,\,\,\,PQ = 7,\,\,HK = 7\]. Có bao nhiêu cặp vectơ bằng nhau?
\(2\);
\(3\);
\(1\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
- Vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {MN} \)có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {MN} \)cùng hướng, đồng thời \[AB = MN = 9\] nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MN} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {HK} \) có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {HK} \) cùng hướng, mà \[HK = CD = 7\] nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {HK} \) .
Do đó có \(2\)cặp vectơ bằng nhau.
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \[O\].Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC} \) bằng
\(\overrightarrow {OD} \);
\(\overrightarrow {OB} \);
\(\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {OC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AB{\rm{ // }}CD\] và \[AB = CD\].
⇒\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).
⇒\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} \).
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \[O\] có chiều dài bằng 6 và chiều rộng bằng 4. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) là
\(0\);
\(2\);
\(3\);
\(2\sqrt {13} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OA} \) đối nhau nên \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow 0 \).
Vì vậy \(\left| {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} } \right| = 0\).
Cho \[5\] điểm tùy ý \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E\]. Tổng \(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} \) bằng
\(\overrightarrow {ED} \);
\(\overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {BA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} \)
= \[\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC} \] (áp dụng tính chất giao hoán)
= \(\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC} } \right)\) (áp dụng tính chất kết hợp)
= \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} \) (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
= \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \) (áp dụng tính chất giao hoán)
= \(\overrightarrow {BA} \) (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
Vậy \(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {BA} \).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right|\).
\(3a\);
\(\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a\);
\(a\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 2 a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có : \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \)
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} \)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} \)
\( = 2\overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AC} } \right| = 2AC = 2a\sqrt 2 \)
Cho tam giác \(MNP\), gọi \(K\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(NP\) sao cho \(NK = \frac{1}{4}NP\) và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MK\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(3\overrightarrow {IM} + 4\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {IM} + 3\overrightarrow {IN} + 4\overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \);
\(4\overrightarrow {IM} + 3\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \);
\(4\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} + 3\overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {NK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {NP} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {NK} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {NI} + 4\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {NI} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {NI} + 4\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {IN} - 4\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IN} + 4\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \).
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) bất kì. Khi đó \(4\left( {2\overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \) bằng
\(\overrightarrow {AC} \);
\(5\overrightarrow {AC} \);
\(5\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {BA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(4\left( {2\overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \)
= \((4.2)\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \)
= \(8\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \)
= \(8\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \)
= \(\left( {8--3} \right)\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {BC} \)
= \(5\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {BC} \)
= \(5\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
= \(5\overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác \[ABC\] với trung tuyến \[AM\] và có trọng tâm \(G\). Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \);
\(2\overrightarrow {AG} + 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \);
\(3\overrightarrow {AG} + 2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \);
\(3\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \[ABC\] có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} - 2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \). Do đó C sai.
\(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \). Do đó A đúng và B sai.
\(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GM} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \). Do đó D sai.
Cho tam giác vuông cân \[ABC\] có \[AB = AC = a\]. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
\(\overrightarrow {AC} \);
\(5\overrightarrow {AC} \);
\(1\);
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+ Vì tam giác \[ABC\] vuông cân, mà \[AB = AC\]
\( \Rightarrow \)Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\].
\[ \Rightarrow AB \bot AC\]
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 90^\circ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.0 = 0\)
Cho \[4\] điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] bất kì. Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \) bằng
\(0\);
\(5\);
\(1\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
AB→.CD→=AB→.CA→+AD→=AB→.CA→+AB→.AD→ (tính chất phân phối)
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (tính chất phân phối)
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (tính chất phân phối)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \]
\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \]
= \(\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\) (tính chất giao hoán và kết hợp)
= \[0\]
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0\).
Đo chiều dài của một cây thước ta được kết quả \[\overline a = 45 \pm 0,2\]. Khi đó sai số tuyệt đối của phép đo được ước lượng là
\({\Delta _{45}} = 0,2\);
\({\Delta _{45}} \le 0,2\);
\({\Delta _{45}} \le - 0,2\)
\({\Delta _{45}} \le - 0,2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là B
Ta có độ dài gần đúng của cây thước là \(a = 45\) với độ chính xác \(d = 0,2\) nên sai số tuyệt đối \({\Delta _{45}} \le 0,2\)
Chiều cao của một cái cây là \[\overline l = 1745,25 \pm 0,01{\rm{ }}cm\]. Hãy cho biết số quy tròn của số gần đúng \[1745,25\].
\[1745\];
\[1745,2\];
\[1700\];
\[1745,3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[l = 1745,25 \pm 0,01{\rm{ }}cm\]
Vì độ chính xác \[d = 0,01\] đến hàng phần trăm nên ta quy tròn đến hàng phần chục.
Vậy số quy tròn của \[l\] là \[1745,3\].
Số dân thành thị và nông thôn nước ta (đơn vị: triệu người) giai đoạn 2005 – 2016 được biểu diễn ở biểu đồ sau:
Căn cứ vào biểu đồ, hãy chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau đây về tình hình dân số nước ta giai đoạn 2005 – 2016.
Số dân thành thị tăng, số dân nông thôn giảm;
Số dân thành thị tăng, số dân nông thôn tăng;
Số dân thành thị giảm, số dân nông thôn giảm;
Số dân thành thị giảm, số dân nông thôn tăng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Quan sát biểu đồ ta thấy:
Số dân thành thị tăng qua các năm (vì \[22,4 < 26,5 < 28,3 < 31,1 < 31,9\]).
Số dân nông thôn tăng qua các năm (vì \[60,1 < 60,4 < 60,5 < 60,6 < 60,8\]).
Do đó ta chọn đáp án B.
Số trung bình của mẫu số liệu sau: \[2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}8;{\rm{ }}7;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20;{\rm{ }}11\]
\[8\];
\[9\];
\[10\];
\[11\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là \[n = 7\].
Số trung bình của mẫu số liệu là:
\(\overline x = \frac{{2 + 5 + 8 + 7 + 10 + 20 + 11}}{7} = 9\).
Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng (đơn vị \(kg\)) của các học sinh Tổ 1 lớp 10A: \[45;{\rm{ 46}};{\rm{ 42}};{\rm{ 5}}0;{\rm{ 38}};{\rm{ 42}};{\rm{ 44;}}\,\,{\rm{42;}}\,\,{\rm{40;}}\,\,{\rm{60}}\]. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là
\[22\];
\[42\];
\[38\];
\[20\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu là: \[38\].
+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \[60\].
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \[R = 60 - 38 = 22\].
Cho mẫu số liệu sau: \[5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}12;{\rm{ }}2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}17;{\rm{ }}23;{\rm{ }}15;{\rm{ }}10\]. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
\[8\];
\[9\];
\[10\];
\[11\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:
\[2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}10;{\rm{ }}12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}17;{\rm{ }}23\]
+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \[2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6\].
Do đó \({Q_1} = \frac{{5 + 5}}{2} = 5\).
+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \[12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}17;{\rm{ }}23\].
Do đó \({Q_3} = \frac{{15 + 17}}{2} = 16\).
⟹ \[{\Delta _Q} = {Q_3}--{Q_1} = 16 - 5 = 11\].
Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \[11\].
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth\), trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả sử rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\). Sau đó \(1\) giây, nó đạt độ cao \(8,5m\) và \(2\)giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \(6\,\,m\). Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?
Hướng dẫn giải
Gọi hàm quỹ đạo parabol của quả bóng là \(h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)\).
Quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\) nên \(t = 0\), ta có điểm \(\left( {0;\,\,1,2} \right)\), thay \(t = 0\) và \(h = 1,2\) vào hàm số trên ta được: \(c = 1,2\).
\( \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^2} + bt + 1,2\) \(\left( 1 \right)\)
Tại \(t = 1\) thì \(h = 8,5\) khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + b + 1,2 = 8,5 \Leftrightarrow a + b = 7,3\) \(\left( 2 \right)\).
Tại \(t = 2\) thì \(h = 6\) khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4a + 2b + 1,2 = 6 \Leftrightarrow 4a + 2b = 4,8 \Leftrightarrow 2a + b = 2,4\) \(\left( 3 \right)\).
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 7,3\\2a + b = 2,4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4,9\\b = 12,2\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện).
Do đó hàm số cần tìm là \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).
Quả bóng chạm đất nghĩa là độ cao bằng \(0\) khi đó \(h = 0\), thay vào hàm số trên ta được:
\( - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 2,58\\t \approx - 0,09\end{array} \right.\).
Vì \(t > 0\) nên \(t \approx 2,58\) thỏa mãn.
Vậy sau khoảng \(2,58\) giây thì quả bóng chạm đất.
(1,0 điểm). Cho tứ giác \[ABCD\]. Gọi \[I,{\rm{ }}J\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\], \[O\] là trung điểm của \[IJ\]. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) với \[M\] là điểm bất kì.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \) (Do \[I\] là trung điểm của \[AB\])
\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} \) (Do \[J\] là trung điểm của \[CD\])
Mặt khác \[O\] là trung điểm \[IJ\] nên \(\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OI} + 2\overrightarrow {{\rm{OJ}}} = 2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {{\rm{OJ}}} } \right) = \overrightarrow 0 \)
Với mọi điểm \[M\], ta lại có:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 \)
⇔−4MO→+MA→+MB→+MC→+MD→=0→
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) (đpcm).
(1,0 điểm). Điểm kiểm tra môn Toán của hai bạn Trung và Long trong \[6\] lần thi thử THPT Quốc gia được thống kê trong bảng dưới đây:
Lần
Tên | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Trung | 5 | 8 | 7 | 6 | 9 | 8 |
Long | 8 | 4 | 6 | 8 | 9 | 6 |
Sử dụng kiến thức về phương sai và độ lệch chuẩn, xác định xem điểm bạn nào ổn định hơn? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ \[2\]).
Hướng dẫn giải:
- Điểm trung bình qua 6 lần thi thử của Trung là:
\(\overline x = \frac{{5 + 8 + 7 + 6 + 9 + 8}}{6} \approx 7,17\)
Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:
\({S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)
Thay số ta có:
\[{S^2} = \frac{1}{6}[{(5--7,17)^2} + {(8--7,17)^2} + {(7--7,17)^2} + {(6--7,17)^2} + {(9--7,17)^2} + {(8--7,17)^2}] \approx 1,81\]
Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là \[1,81\].
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {1,81} \approx 1,35\).
- Điểm trung bình qua \[6\] lần thi thử của Long là:
\(\overline x = \frac{{8 + 4 + 6 + 8 + 9 + 6}}{6} \approx 6,83\)
Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:
\({S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)
Thay số ta có:
\[{S^2} = \frac{1}{6}[{(8--6,83)^2} + {(4--6,83)^2} + {(6--6,83)^2} + {(8--6,83)^2} + {(9--6,83)^2} + {(6--6,83)^2}] \approx 2,81\]
Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là \[2,81\].
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {2,81} \approx 1,68\).
Ta thấy phương sai và độ lệch chuẩn trong điểm của Trung bé hơn điểm của Long nên điểm của Trung ổn định hơn.
