Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
28 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Trong các câu sau có bao nhiêu câu là mệnh đề?
a) Hãy đi nhanh lên!
b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
c) Năm 2018 là năm nhuận.
d) \[5 + 7 + 4 = 15\].
\[4\];
\[3\];
\[1\];
\[2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Câu a là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không phải là mệnh đề.
+) Câu b là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề.
+) Câu c là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề.
+) Câu d là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề.
Do đó có \[3\] câu là mệnh đề.
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \[X = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {2{x^2} - 5x + 3 = 0} \right.} \right\}\].
\[X = \left\{ 0 \right\}\];
\[X = \left\{ 1 \right\}\];
\[X = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\];
\[X = \left\{ {1;\,\frac{3}{2}} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[\begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \mathbb{R}\\x = \frac{3}{2} \in \mathbb{R}\end{array} \right.\\ \Rightarrow X = \left\{ {1;\,\frac{3}{2}} \right\}\end{array}\]
Cho \[A = \left( { - 5;\,1} \right];\,B = \left[ {3;\, + \infty } \right);\,C = \left( { - \infty ;\, - 2} \right)\]. Câu nào sau đây đúng?
\[A \cup B = \left( { - 5;\, + \infty } \right)\];
\[B \cup C = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\];
\[B \cap C = \emptyset \];
\[A \cap C = \left[ { - 5;\, - 2} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) \[A \cup B = \left( { - 5;\,1} \right] \cup \left[ {3;\, + \infty } \right)\]. Do đó A sai.
+) \[B \cup C = \left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left[ {3;\, + \infty } \right)\]. Do đó B sai.
+) \[B \cap C = \emptyset \]. Do đó C đúng.
+) \[A \cap C = \left( { - 5;\, - 2} \right)\]. Do đó D sai.
Tập nghiệm \[S\] của bất phương trình \[\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2 \] là:
\[S = \left( { - \infty ;\,1 - \sqrt 2 } \right)\];
\[S = \left( {1 - \sqrt 2 ;\, + \infty } \right)\];
\[S = \emptyset \];
\[S = \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x > \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{1 - \sqrt 2 }} \Leftrightarrow x > 1 - \sqrt 2 \].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left( {1 - \sqrt 2 ;\, + \infty } \right)\]. Do đó chọn B.
Hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x - m < 2\end{array} \right.\] có nghiệm khi và chỉ khi:
\[m < - \frac{3}{2}\];
\[m \le - \frac{3}{2}\];
\[m > - \frac{3}{2}\];
\[m \ge - \frac{3}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình \[2x - 1 > 0\] có tập nghiệm \[{S_1} = \left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)\].
Bất phương trình \[x - m < 2\] có tâp nghiệm \[{S_2} = \left( { - \infty ;\,m + 2} \right)\].
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \[{S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \Leftrightarrow m + 2 > \frac{1}{2} \Leftrightarrow m > - \frac{3}{2}\]
Tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \frac{{2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\] là:
\[D = \left( {3;\, + \infty } \right)\];
\[D = \left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\];
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\,3} \right\}\];
\[D = \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{1}{2}\\x \ne 3\end{array} \right.\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\,3} \right\}\].
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có tập xác định \[\left[ { - 3;\,3} \right]\] và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - 3;\,3} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - 3;\, - 1} \right)\] và \[\left( {1;\,4} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - 3;\, - 1} \right)\] và \[\left( {1;\,3} \right)\];
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;\,0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trên khoảng \[\left( { - 3;\, - 1} \right)\] và \[\left( {1;\,3} \right)\] đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( { - 3;\, - 1} \right)\] và \[\left( {1;\,3} \right)\].
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị \[P\] . Tọa độ đỉnh của \[P\] là:
\[I\left( { - \frac{b}{{2a}};\,\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\];
\[I\left( { - \frac{b}{a};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\];
\[I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\];
\[I\left( {\frac{b}{{2a}};\,\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], đồ thị hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\] là một parabol \[(P)\]:
Có đỉnh \[S\] với hoành độ \[{x_S} = - \frac{b}{{2a}}\], tung độ \[{y_S} = - \frac{\Delta }{{4a}}\].
Do đó C đúng.
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
\[y = - {x^2} + 4x - 9\];
\[y = {x^2} - 4x - 1\];
\[y = - {x^2} + 4x\];
\[y = {x^2} - 4x - 5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Bảng biến thiên của hàm số có bề lõm hướng lên trên nên \[a > 0\]. Do đó loại được đáp án A và C.
+) Parabol có đỉnh là điểm \[\left( {2;\, - 5} \right)\] nên:
\[ - \frac{\Delta }{{4a}} = - 5 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - 5 \Rightarrow - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4.1c}}{{4.1}} = - 5 \Rightarrow c = - 1\].
Do đó hàm số thỏa mãn là \[y = {x^2} - 4x - 1\].
Tam giác đều \[ABC\] có đường cao \[AH\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\sin \widehat {BAH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\];
\[\sin \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\];
\[\cos \widehat {BAH} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\];
\[\sin \widehat {AHC} = \frac{1}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều có đường cao \[AH\] nên \[AH\] cũng là đường phân giác của tam giác \[ABC\].
\[ \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {HAC} = 30^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \widehat {BAH} = \sin \widehat {HAC} = \frac{1}{2}\\\cos \widehat {BAH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]
Vì \[\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Do đó B đúng.
Cho biết \[2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2,\,0^\circ < \alpha < 90^\circ \]. Tính giá trị của \[\cot \alpha \]?
\[\cot \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\];
\[\cot \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\];
\[\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\];
\[\cot \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\begin{array}{l}2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha = 2 - 2\cos \alpha \\ \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha = {\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\cos ^2}\alpha = 4 - 8\cos \alpha + 4{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha - 8\cos \alpha + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 1\\\cos \alpha = \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Nếu \[\cos \alpha = 1\]: không thỏa mãn vì \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \].
Nếu \[\cos \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\]
Trên nóc một tòa nhà có một ăng-ten cao \[5m\] . Từ vị trí quan sát \[A\] cao \[7m\] so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh \[B\] và chân \[C\] của cột ăng-ten dưới góc \[50^\circ \] và \[40^\circ \] so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
\[12m\];
\[19m\];
\[24m\];
\[29m\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\widehat {BAC} = \widehat {BAD} - \widehat {DAC} = 10^\circ \].
\[\widehat {ABD} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ADC}} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 90^\circ } \right) = 40^\circ \]
Áp dụng định lý sin trong tam giác \[ABC\], có:
\[\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{5.\sin 40^\circ }}{{\sin 10^\circ }} \approx 18,5.\end{array}\]
Xét tam giác vuông \[ADC\], có:
\[\widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AC}} \Rightarrow CD = AC.\sin \widehat {CAD} = 18,5.\sin 40^\circ \approx 11,9\].
Vậy \[CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9\left( m \right) \Rightarrow CH \approx 19m\].
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có độ dài bằng nhau;
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài;
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng giá và cùng độ dài;
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng phương và cùng độ dài.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
Chọn câu sai trong các câu sau.
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {PQ} \] bằng vectơ \[\overrightarrow {QP} \];
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow 0 \] bằng \(0\);
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AB} \] bằng độ dài đoạn thẳng\[AB\] hoặc \[BA\];
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow a \] được kí hiệu là \[\left| {\overrightarrow a } \right|\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {PQ} \] bằng độ dài đoạn thẳng \[PQ\] hoặc \[QP\]. Do đó A sai.
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow 0 \) bằng \(0\). Do đó B đúng.
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AB} \] bằng độ dài đoạn thẳng\[AB\] hoặc \[BA\]. Do đó C đúng.
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow a \] được kí hiệu là \[\left| {\overrightarrow a } \right|\]. Do đó D đúng.
Cho lục giác đều \[ABCDEF\] có tâm \[O\]. Số các vectơ cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {BC} \] có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là
\[2\];
\[4\];
\[6\];
\[8\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[2\] vectơ thỏa mãn là \[\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {FE} \].
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DB} \];
\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \];
\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \].
Tổng \[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \] có điểm cuối là
\[M\];
\[N\];
\[P\];
\[Q\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \]
\[ = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN} \]
\[ = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} \].
Vậy tổng các vectơ đã cho có điểm cuối là điểm \(N\).
Cho tam giác \[ABC\], gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \];
\[3\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} \];
\[\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} \];
\[2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \[I\] là trung điểm \[BC\] nên \[BI = CI\] và \[\overrightarrow {BI} \] cùng hướng \[\overrightarrow {IC} \]. Do đó hai vectơ \[\overrightarrow {BI} ,\,\overrightarrow {IC} \] bằng nhau hay \[\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \].
Cho hình bình hành \[ABCD\], điểm \[M\] thỏa mãn \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AM} \] . Khi đó điểm \[M\] là
Trung điểm \[AB\];
Trung điểm \[AC\];
Điểm \[C\];
Trung điểm \[AD\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét hình bình hành \[ABCD\], có:
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \]
Mà \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AM} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \]
Vậy \[M\] là trung điểm của \[AC\].
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \[\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 7\] và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \). Giá trị của \[\overrightarrow a .\overrightarrow b \] là:
\[21\sqrt 2 \];
\[\frac{{21\sqrt 2 }}{2}\];
\[5\sqrt 2 \];
\[ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 3.7.{\rm{cos}}45^\circ = \frac{{21\sqrt 2 }}{2}\].
Cho \[a\] là số gần đúng của số đúng \[\overline a \]. Sai số tuyệt đối của \[a\] là:
\[{\Delta _A} = \overline a - a\];
\[{\Delta _A} = a - \overline a \];
\[{\Delta _A} = \left| {\overline a - a} \right|\];
\[{\Delta _A} = \left| {\frac{{\overline a }}{a}} \right|\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho \[a\] là số gần đúng của số đúng \[\overline a \].
Sai số tuyệt đối của \[a\] là: \[{\Delta _A} = \left| {\overline a - a} \right|\].
Giả sử biết số đúng là \[3,254\]. Sai số tuyệt đối khi quy tròn số này đến hàng phần trăm là:
\[0,04\];
\[0,006\];
\[0,004\];
\[0,014\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số quy tròn đến hàng phần trăm của \[x = 3,254\] là \[x \approx 3,25\].
Sai số tuyệt đối là \[\Delta = \left| {3,25 - 3,254} \right| = 0,004\].
Một cửa hàng bán quần áo thời trang đang mở một chương trình khuyến mãi trong vòng 4 ngày, biết rằng số sản phẩm bán được mỗi ngày đều tăng khoảng \[30\% \] so với ngày trước đó. Nhân viên bán hàng đã thống kê số sản phẩm bán được mỗi ngày như bảng dưới đây:
Chọn phát biểu đúng:
Ngày | 1 | 2 | 3 | 4 |
Số sản phẩm bán được | 50 | 66 | 93 | 115 |
Nhân viên đã thống kê chính xác;
Nhân viên đã thống kê sai ngày thứ hai;
Nhân viên đã thống kê sai ngày thứ ba;
Nhân viên đã thống kê sai ngày thứ tư.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo bảng số liệu đã cho ta thống kê được bảng sau:
Ngày | 2 | 3 | 4 |
Tỉ lệ | 32% | 40,9% | 23,7% |
Ta thấy tỉ lệ sản phẩm bán ra ở ngày thứ ba tăng \[40,9\% \] khác xa so với \[30\% \].
Do đó trong bảng số liệu đã cho, số sản phẩm bán ra của ngày thứ ba là không chính xác. Vậy nên đáp án C đúng.
Số liệu xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là:
Mốt;
Trung vị;
Tứ phân vị;
Số trung bình cộng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số liệu xuất hiện nhiều nhất trong dãy số liệu được gọi là mốt kí hiệu là \[{M_0}\].
\[100\] học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là \[20\]) . Kết quả cho trong bảng sau:
Điểm (x) | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
Số học sinh (n) | 1 | 1 | 3 | 5 | 8 | 13 | 19 | 24 | 14 | 10 | 2 |
Điểm trung bình của các học sinh dự thi môn toán là bao nhiêu?
\[15\];
\[15,23\];
\[15,50\];
\[16\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điểm trung bình của các học sinh dự thi môn toán là:
\[\frac{{9.1 + 10.1 + 11.3 + 12.5 + 13.8 + 14.13 + 15.19 + 16.24 + 17.14 + 18.10 + 19.2}}{{100}} = 15,23\].
II. TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm) Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua một chiếc là \(27\) triệu đồng và bán ra với giá là \(31\) triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là \(600\) chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \(1\) triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm \[200\] chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu sau khi giảm giá để lợi nhuận thu được là cao nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá là \(x\) ( triệu đồng) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\).
Tiền lãi khi bán được một xe là: \(31 - x - 27 = 4 - x\)(triệu đồng).
Số lượng xe bán được khi đã giảm giá là: \(600 + 200x\) (xe).
Lợi nhuận cửa hàng thu được là: \(\left( {600 + 200x} \right)\left( {4 - x} \right) = - 200{x^2} + 200x + 2\,\,400\)(triệu đồng).
Xét hàm số bậc hai \(y = - 200{x^2} + 200x + 2\,\,400\), có:
Đỉnh \(I\) có tọa độ: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{200}}{{2.\left( { - 200} \right)}} = \frac{1}{2}\); \({y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{1\,\,960\,\,000}}{{4.\left( { - 200} \right)}} = 2\,\,450\).
Hay \(I\left( {\frac{1}{2};2\,\,450} \right)\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(2\,450\) khi x = \(\frac{1}{2}\).
Vậy doanh nghiệp phải bán với giá \(30,5\) triệu đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.
(1,0 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Điểm \[M\] bất kỳ nằm trong tam giác có hình chiếu xuống \[BC,\,AC,\,AB\] theo thứ tự là \[D,\,E,\,F\]. Tìm tập hợp điểm \[M\] biết rằng \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \].
Hướng dẫn giải
![Cho tam giác \[ABC\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/7-1763548477.png)
Ta có: \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} \].
Gọi \[I\] là trung điểm của \[AD\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MI} \].
Vậy nên \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 2\overrightarrow {MI} \].
Để \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \] thì \[\overrightarrow {MI} \] cùng phương \[\overrightarrow {BC} \].
Suy ra \(MI\parallel BC\), mà \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên \(MI\)là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó tập hợp các điểm \[M\] là đoạn \[PQ\] (với \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), \(P \in AB,Q \in AC\)).
(1,0 điểm) Hai lớp 10A và 10B của một trường Trung học phổ thông cùng làm bài thi môn Toán, chung một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng tần số sau đây:
Lớp 10A:
Điểm | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
Số học sinh | 7 | 9 | 3 | 3 | 7 | 12 | 4 | n = 45 |
Lớp 10B:
Điểm | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
Số học sinh | 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 5 | 4 | n = 45 |
Hỏi lớp nào có kết quả thi đồng đều hơn?
Hướng dẫn giải
Để xét xem kết quả thi của lớp nào đồng đều hơn thì ta đi so sánh phương sai của điểm thi hai lớp.
+) Điểm thi trung bình lớp 10A là:
\[{x_{10A}} = \frac{{3.7 + 5.9 + 6.3 + 7.3 + 8.7 + 9.12 + 10.4}}{{45}} = \frac{{103}}{{15}} \approx 6,87\].
Phương sai mẫu số liệu của lớp 10A là:
\[\begin{array}{l}S_{10A}^2 = \frac{1}{{45}}\left( {{{7.3}^2} + {{9.5}^2} + {{3.6}^2} + {{3.7}^2} + {{7.8}^2} + {{12.9}^2} + {{4.10}^2}} \right) - \bar x_{10A}^2\\S_{10A}^2 = \frac{{2363}}{{45}} - {\left( {\frac{{103}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{134}}{{25}} = 5,36.\end{array}\]
+) Điểm thi trung bình lớp 10B là:
\[{x_{10A}} = \frac{{4.6 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.5 + 10.4}}{{45}} = \frac{{103}}{{15}} \approx 6,87\].
Phương sai mẫu số liệu của lớp 10B là:
\[\begin{array}{l}S_{10B}^2 = \frac{1}{{45}}\left( {{{6.4}^2} + {{6.5}^2} + {{7.6}^2} + {{8.7}^2} + {{9.8}^2} + {{5.9}^2} + {{4.10}^2}} \right) - \bar x_{10B}^2\\S_{10B}^2 = \frac{{757}}{{15}} - {\left( {\frac{{103}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{746}}{{225}} \approx 3,32.\end{array}\]
+) Vì \[3,32 < 5,36\] nên lớp 10B có kết quả thi đồng đều hơn lớp 10A.
