Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng?
Thời tiết hôm nay thật lạnh!;
\(12\) là số rất may mắn;
Rêu thuộc nhóm thực bật bậc cao;
\(6\) là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Câu “Thời tiết hôm nay thật lạnh!” là một câu cảm thán nên không phải mệnh đề. Do đó A sai.
Câu “\(12\) là số rất may mắn” là một câu khẳng định không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó B sai.
Câu “Rêu thuộc nhóm thực bật bậc cao” là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.
Câu “\(6\) là số chính phương” là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề sai. Do đó D sai.
Biểu diễn tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},|x|\, < 2} \right\}\) trên trục số ta được
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
Khi đó \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},|x|\, < 2} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 2 < x\, < 2} \right\} = ( - 2;\,\,2)\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 \le x < 8} \right\}\). Tập hợp \(A\) có bao nhiêu phần tử?
\(7\);
Vô số phần tử;
\(8\);
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 \le x < 8} \right\} = \left[ {0;\,\,8} \right)\) nên \(A\) có vô số phần tử.
Do đó B đúng.
Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y > - 6\) được biểu diễn bởi phần không gạch chéo trong hình nào được cho dưới đây?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét đường thẳng \(3x - 2y = - 6\)
Chọn \(x = 0 \Rightarrow y = 3\)
Chọn \(y = 0 \Rightarrow x = - 2\)
Suy ra đường thẳng \(3x - 2y = - 6\) đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (– 2; 0).
Lấy \(O\left( {0;0} \right)\) có \(3.0 - 2.0 = 0 > - 6\) nên điểm \(O\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(3x - 2y = - 6\) chứa điểm \(O\) và không kể đường thẳng.
Vì vậy hình vẽ C là hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Trong các cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) sau đây, cặp nào là nghiệm của bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < 1\\x - y \ge 0\end{array} \right.\]?
\(\left( {1;\,\,5} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Thay \(x = 1\) và \(y = 5\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.1 + 5 < 1 \Leftrightarrow 3 < 1\] là một mệnh đề sai.
\[1 - 5 \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \ge 0\] là một mệnh đề sai.
Do đó cặp \(\left( {1;\,\,5} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 3\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.\left( { - 1} \right) + 3 < 1 \Leftrightarrow 5 < 1\] là một mệnh đề sai.
\[ - 1 - 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \ge 0\] là một mệnh đề sai.
Do đó cặp \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.0 + 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < 1\] là một mệnh đề sai.
\[0 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \ge 0\] là một mệnh đề sai.
Do đó cặp \(\left( {0;\,\,1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: \[ - 2.1 + 1 < 1 \Leftrightarrow - 1 < 1\] là một mệnh đề đúng.
\[1 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\] là một mệnh đề đúng.
Do đó cặp \(\left( {1;\,\,1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy chọn đáp án D.
Hàm số đồng biến tăng trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì đồ thị của hàm số có dạng
đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\);
đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\);
đường cong trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\);
đường gấp khúc trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số đồng biến tăng trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì đồ thị của hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
Cho hàm số \(y = 7x - \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}\) có điều kiện xác định là
\(x \ge - 1\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne 1\end{array} \right.\);
\(x \ne 1\);
\(x > 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của hàm số là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\) (vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x\)).
Cho đồ thị hàm số sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {2;\,\,3} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( { - 1;4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số đi lên (đồng biến) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Mà \(\left( {2;\,\,3} \right) \subset \left( {1; + \infty } \right)\)nên hàm số đồng biến trên \(\left( {2;\,\,3} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 5\,\,khi\,\,x \le 1\\2{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x > 1\end{array} \right.\). Cho điểm \(M\) thuộc vào đồ thị hàm số có hoành độ \(x = 2\). Tung độ của điểm \(M\) là
\( - 1\);
\(8\);
7;
\( - 8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(2 > 1\) thì tung độ của điểm \(M\) là \({2.2^2} = 8\).
Điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x - 1\) là hàm số bậc hai là
\(m = 1\);
\(m > 1\);
\(m \ne 1\);
\(m < 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x - 1\) là hàm số bậc hai khi \(m \ne 1\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 7x + 1\) là
\(1\);
\(\frac{7}{2}\);
\( - \frac{{45}}{4}\);
không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số \(y = {x^2} - 7x + 1\) có:
Tọa độ điểm đỉnh \(I\) là:
\({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 7}}{{2.1}} = \frac{7}{2}\), \({y_I} = - \frac{\Delta }{{4.a}} = - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 7} \right)}^2} - 4.1.1}}{{4.1}} = - \frac{{45}}{4}\).
Ta có: \(a = 1 > 0\) khi đó ta có bảng biến thiên:
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \( - \frac{{45}}{4}\).
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc hai?
\(y = x - 2\);
\(y = 0{x^3} - 2 - {x^2}\);
\(y = \frac{1}{{{x^2}}} - x\);
\(y = {x^2} + {z^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0;\,\,a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\).
Do đó chỉ có hàm \(y = 0{x^3} - {x^2} - 2 = - {x^2} - 2\).
Trục đối xứng của hàm số \(y = 3 - x - \frac{1}{2}{x^2}\) là
\(x = \frac{1}{6}\);
\(y = 1\);
\(x = - 1\);
\(y = - \frac{1}{6}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có hàm số bậc hai \(y = - \frac{1}{2}{x^2} - x + 3\).
Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 1}}{{2.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = - 1\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng với mọi góc \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\)?
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = c{\rm{os}}\alpha \);
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - c{\rm{os}}\alpha \);
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{sin}}\alpha \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\) thì \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(R,r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\) và \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\). Công thức tính bán kính ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nào sau đây sai?
\(\frac{a}{{2\sin A}}\);
\(\frac{{2b}}{{\sin B}}\);
\(\frac{{abc}}{{4pr}}\);
\(\frac{{abc}}{{4S}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\), có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{c}{{2\sin C}}\).
Do đó A đúng, B sai.
Diện tích tam giác ABC là:
\(S = pr = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{abc}}{{4pr}}\).
Do đó C và D đúng.
Cho tam giác \(ABC\), có \(AB = 2,\widehat {ABC} = 62^\circ \). Kẻ đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\). Độ dài của \(AH\) thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
\(1 < AH < 2\);
\(0 < AH < 1\);
\(AH > 2\);
\(AH > 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), có:
\(\sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB.\sin \widehat {ABH} = 2.\sin 62^\circ \approx 1,77\).
Vậy \(AH \approx 1,77\) thỏa mãn \(1 < AH < 2\).
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \(50^\circ 35'\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(25\) km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ \(35\) km/h. Hỏi sau \(1,2\) giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
\(27,18\);
\(32,62\);
\(54,36\);
\(63,91\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giả sử sau \(1,2\) giờ thì tàu thứ nhất đến vị trí \(B\), tàu thứ hai đến được vị trí \(C\).
Sau \(1,2\) giờ:
Tàu thứ nhất đi được quãng đường \(AB\) dài: \(25\,\,.\,\,1,2 = 30\,\,\left( {km} \right)\).
Tàu thứ hai đi được quãng đường \(AC\) dài: \(35\,\,.\,\,1,2 = 42\,\,\left( {km} \right)\).
Xét tam giác ABC:
Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC, ta được:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {42^2} - 2.30.42.\cos \left( {50^\circ 35'} \right)\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} \approx 1\,\,063,91\)
\( \Leftrightarrow BC \approx 32,62\).
Vậy sau 1,2 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu khoảng \(32,62\,\,km\).
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng;
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau;
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài;
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Có bao nhiêu vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \)?
\(1;\)
\(4\);
\(3\);
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có hình lập phương có các cạnh bên song song và bằng nhau nên các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) là: \(\overrightarrow {A'A} ,\,\,\overrightarrow {BB'} ,\,\,\overrightarrow {B'B} ,\,\,\overrightarrow {CC'} ,\,\,\overrightarrow {C'C} ,\,\,\overrightarrow {DD'} ,\,\,\overrightarrow {D'D} \).
Vậy có tất cả 7 vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {AA'} \).
Cho hình thoi \(MNPQ\) có cạnh là \(4\) và đường chéo \(MP = 3,1\). Độ dài \(\overrightarrow {QN} \) là
\(3,7\);
\(2,5\);
\(7,4\);
\(1,55\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(O\) là giao điểm của \(MP\) và \(QN\).
Theo tính chất của hình thoi thì \(MP \bot NQ\) tại \(O\).
Khi đó \(MO = PO = \frac{1}{2}MP = \frac{1}{2}.3,1 = 1,55\).
Xét tam giác \(MON\) vuông tại \(O\), có:
\(ON = \sqrt {M{N^2} - M{O^2}} = \sqrt {{4^2} - 1,{{55}^2}} \approx 3,7\)
\( \Rightarrow QN = 2.ON \approx 2.3,7 = 7,4\).
Cho ba điểm A, B, C. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \). Do đó A đúng.
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó B sai.
Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó C sai.
Áp dụng quy tắc hình bình hành:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \)(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Do đó D sai.
Cho hình vẽ sau:
Tổng hợp lực \(\overrightarrow F \) bằng
\(\overrightarrow {{F_1}} - \overrightarrow {{F_2}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \);
\( - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \).
Vectơ tổng \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \) bằng
\(\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {RN} \);
\(\overrightarrow {MR} \);
\(\overrightarrow {NP} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là A
Ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN} \)
\( = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} \)
\( = \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN} \)
\( = \overrightarrow {MN} \).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng 1. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn (O), độ dài vectơ \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \) bằng:
\(1\);
\(6\);
\(\sqrt 3 \);
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là D
Vì \(ABC\) là tam giác đều nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {MO} \)
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MO} } \right|\]
Ta lại có: M là điểm nằm trên đường tròn nên MO = 1.
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\].
Cho hình vẽ sau:
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
\(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a = - \frac{1}{3}\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow b \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào hình vẽ ta có:
Vectơ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \) và độ dài vectơ \(\overrightarrow a \) bằng ba lần độ dài vectơ \(\overrightarrow b \) nên \(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow b \).
Cho \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(AB\) thỏa mãn \[3\overrightarrow {MI} - 2\;\overrightarrow {MA} \]. Hình vẽ nào dưới đây biểu diễn đúng vị trí của điểm \(M\)?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cho hai vectơ \[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \,\,\]không cùng phương và \[\overrightarrow {\,x\,} = - 2\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow {\,b\,} \]. Vectơ cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]là
\[2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow {\,b\,} \];
\[ - \,\overrightarrow {a\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow {b\,} \];
\[4\,\overrightarrow {a\,} + 2\overrightarrow {b\,} \];
\[ - \,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x = - \overrightarrow x \], do đó vectơ \[2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b \] ngược hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án A sai.
Lại có: \[ - \,\overrightarrow {a\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow b = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x \], do đó vectơ \[ - \,\overrightarrow {\,a\,\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,} \] cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án B đúng.
Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ \[4\,\overrightarrow {a\,} + 2\overrightarrow {b\,} \] và \[ - \,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b \] dưới dạng \(k\overrightarrow x \).
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 4. \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Tính \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \):
8;
16;
24;
32.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có hình vẽ sau:
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) tại \(O\)
⇒ \(\widehat {ABO} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \) (tính chất hình thoi)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(O\), có:
\(AO = \sin \widehat {ABO}.AB = \sin 60^\circ .4 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.4 = 2\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow AC = 2AO = 2.2\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \)
Ta có: \(\widehat {BAD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {DAC} = 30^\circ \)
Khi đó: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right) = 4\sqrt 3 .4.{\rm{cos}}30^\circ = 24\).
Cho vuông \(ABCD\)có cạnh \(1\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \) bằng
\(0\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\frac{1}{2}\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot AD\). Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\).
Cho số gần đúng \(a = 2,34589 \pm 0,02\). Số đúng \(\overline a \) nằm trong khoảng nào dưới đây?
\(2,32 \le \overline a \le 2,36\);
\(2,3 \le \overline a \le 2,4\);
\(2,32589 \le \overline a \le 2,36589\);
\(2,344 \le \overline a \le 2,346\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số đúng \(\overline a \) nằm trong khoảng \(2,32589 \le \overline a \le 2,36589\).
Sai số tương đối của số quy tròn của số \(a\), biết số gần đúng \(a = 9\,\,981\) và độ chính xác \(d = 100\) là
\(0,81\% \);
\(1\% \);
\(1,2\% \);
\(2\% \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 100\) là hàng trăm thì làm tròn đến hàng nghìn ta được số quy tròn của số \(a\) là \(10\,\,000\).
Số đúng \(\overline a \) thỏa mãn \(9\,\,981 - 100 \le \overline a \le 9\,\,981 + 100 \Leftrightarrow 9\,\,881 \le \overline a \le 10\,081\) nên
\(9\,\,881 - 10\,\,000 \le \overline a - 10\,\,000 \le 10\,081 - 10\,\,000\)
\( \Leftrightarrow - 119 \le \overline a - 10\,\,000 \le 81\)
\( \Rightarrow \left| {\overline a - 10\,\,000} \right| \le 119\)
\( \Leftrightarrow \Delta \le \frac{{119}}{{10\,000}} = 0,0119 \approx 1,2\% \).
Vậy sai số tương đối của số quy tròn là \(1,2\% \).
Hà vẽ biểu đồ biểu thị tỉ lệ số lượng mỗi loại bếp mà gia đình các bạn trong lớp sử dụng thường xuyên để đun nấu theo bảng thống kê dưới đây:
Loại bếp | Bếp củi | Bếp điện | Bếp than | Bếp ga | Loại khác |
Số gia đình | 10 | 12 | 8 | 20 | 5 |
Hình vẽ trên có bao nhiêu loại bếp bị biểu diễn sai tỉ lệ?
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tổng số học sinh trong lớp là: \(10 + 12 + 8 + 20 + 5 = 55\) (học sinh).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp củi là:
\(\frac{{10}}{{55}}.100\% \approx 18\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp điện là:
\(\frac{{12}}{{55}}.100\% \approx 22\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp than là:
\(\frac{8}{{55}}.100\% \approx 15\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp ga là:
\(\frac{{20}}{{55}}.100\% \approx 36\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp khác là:
\(\frac{5}{{55}}.100\% \approx 9\% \).
Vậy có 2 loại bếp là bếp than và bếp điện bị biểu diễn sai.
\({Q_1}\) là kí hiệu của
Số trung bình;
Số trung vị;
Tứ phân vị thứ nhất;
D Tứ phân vị thứ ba.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tứ phân vị thứ nhất được kí hiệu là \({Q_1}\).
Một xạ thủ bắn súng 10 lần liên tiếp, số điểm của xạ thủ đạt được được ghi lại trong bảng sau:
Số lần | Lần 1 |
| Lần 2 | Lần 3 | Lần 4 | Lần 5 | Lần 6 | Lần 7 | Lần 8 | Lần 9 | Lần 10 |
Số điểm | 8 |
| 6 | 7 | 6 | 9 | 8 | 10 | 7 | 7 | 8 |
Số trung vị của số liệu trên là:
\(6,5\);
\(7\);
\(8\);
\(7,5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là D
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được: \(6;\,\,6;\,\,7;\,\,7;\,\,7;\,\,8;\,\,8;\,\,8;\,\,9;\,\,10\).
Dãy số liệu trên có 10 số liệu nên số trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ \(5\) và \(6\) là \({Q_2} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5\).
Số huy chương vàng trong các giải thể thao quốc tế mà đoàn thể thao Việt Nam trong các giải đấu ở châu Á trong các năm từ 2010 đến 2019 được thống kê trong bảng sau:
Năm | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
Số huy chương | 39 | 43 | 115 | 52 | 56 | 62 | 130 | 82 | 74 | 120 |
Độ lệch chuẩn của số liệu trên là:
\(77,3\);
\(1002,61\);
\(31,664\);
\(91\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là C
Số trung bình của số liệu trên là:
\(\overline x = \frac{{39 + 43 + 115 + 52 + 56 + 62 + 130 + 82 + 74 + 120}}{{10}} = 77,3\)
Khi đó phương sai
\({S^2} = \frac{{{{\left( {39 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {43 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {115 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {52 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {56 - 77,3} \right)}^2}}}{{10}}\)
\( + \frac{{{{\left( {62 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {130 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {82 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {74 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {120 - 77,3} \right)}^2}}}{{10}} = 1002,61\)
Suy ra độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {1002,61} \approx 31,664\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm). Bác Hùng dùng \(220m\) hàng rào dây théo gai để rào miếng đất đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật.
a) Gọi chiều rộng của mảnh vườn là\(x\left( m \right)\). Tìm công thức tính diện tích \(S\left( x \right)\) của mảnh vườn.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có thể rào được và thỏa mãn diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(x\left( m \right)\) là chiều rộng mảnh vườn nên \(x > 0\).
Chiều dài của mảnh vườn là: \(220:2 - x = 110 - x\,\,\left( m \right)\).
Diện tích mảnh vườn là: \(S\left( x \right) = x.\left( {110 - x} \right) = - {x^2} + 110x\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Vậy công thức tính diện tích \(S\left( x \right)\) của mảnh vườn là \(S\left( x \right) = - {x^2} + 110x\).
b) Công thức \(S\left( x \right) = - {x^2} + 110x\) là hàm số bậc hai.
Hàm số có điểm đỉnh: \({x_I} = - \frac{{110}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 55\), \({y_I} = - \frac{{{{110}^2} - 4.\left( { - 1} \right).0}}{{4.\left( { - 1} \right)}} = 3\,\,025\).
Ta có: \(a = - 1 < 0\), khi đó ta có bảng biến thiên:
Suy ra hàm số \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\,\,025\) khi \(x = 55\).
Vậy diện tích của mảnh vườn lớn nhất là \(3\,\,025\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\) khi chiều rộng bằng chiều dài và bằng \(55\,\,m\).
(1,0 điểm).
a) Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).
b) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(A',\,\,B',\,\,C'\) là các điểm xác định bởi \(2011\overrightarrow {A'B} + 2012\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \), \(2011\overrightarrow {B'C} + 2012\overrightarrow {B'A} = \overrightarrow 0 \), \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải
a) Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).
Vì \(AB \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt 2 a\) (định lí Pythagoras)
\(\widehat B = \widehat C = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = - CA.CB.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - a.a\sqrt 2 .{\rm{cos45}}^\circ = - {a^2}\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
+) Ta có: \(2011\overrightarrow {A'B} + 2012\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {A'G} + 2011\overrightarrow {GB} + 2012\overrightarrow {A'G} + 2012\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {A'G} + 2011\overrightarrow {GB} + 2012\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) \(\left( 1 \right)\).
+) Ta có: \(2011\overrightarrow {B'C} + 2012\overrightarrow {B'A} = \overrightarrow 0 \)
\[ \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {B'G} + 2011\overrightarrow {GC} + 2012\overrightarrow {B'G} + 2012\overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {B'G} + 2011\overrightarrow {GC} + 2012\overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \] \(\left( 2 \right)\).
+) Ta có: \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow 0 \)
\[ \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {C'G} + 2011\overrightarrow {GA} + 2012\overrightarrow {C'G} + 2012\overrightarrow {GB} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {C'G} + 2011\overrightarrow {GA} + 2012\overrightarrow {GB} = \overrightarrow 0 \] \(\left( 3 \right)\).
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:
\[ \Leftrightarrow 4023\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + 4023\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4023\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + 4023.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).
(1,0 điểm). Kiểm tra khối lượng của một số quả măng cụt của hai lô hàng \(A\) và \(B\) được kết quả như sau (đơn vị: gam).
Lô A | 85 | 82 | 80 | 75 | 81 | 87 | 85 | 85 | 78 | 82 | 83 | 80 |
Lô B | 81 | 80 | 82 | 81 | 83 | 80 | 82 | 84 | 84 | 81 | 83 | 82 |
Khối lượng măng cụt ở lô hàng nào đều hơn?
Hướng dẫn giải
Khối lượng trung bình của một số quả măng cụt của lô hàng \(A\) là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{85 + 82 + 80 + 75 + 81 + 87 + 85 + 85 + 78 + 82 + 83 + 80}}{{12}} \approx 82\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({S_{{x_1}}} = \frac{{3{{\left( {85 - 82} \right)}^2} + 2{{\left( {82 - 82} \right)}^2} + 2{{\left( {80 - 82} \right)}^2} + {{\left( {75 - 82} \right)}^2} + {{\left( {81 - 82} \right)}^2} + {{\left( {87 - 82} \right)}^2}}}{{12}}\)
\( + \frac{{{{\left( {78 - 82} \right)}^2} + {{\left( {83 - 82} \right)}^2}}}{{12}} \approx 10,58\).
\({s_{{x_1}}} = \sqrt {10,58} \approx 3,25\).
Khối lượng trung bình của một số quả măng cụt của lô hàng \(B\) là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{81 + 80 + 82 + 81 + 83 + 80 + 82 + 84 + 84 + 81 + 83 + 82}}{{12}} \approx 82\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({S_{{x_2}}} = \frac{{3{{\left( {81 - 82} \right)}^2} + 2{{\left( {80 - 82} \right)}^2} + 3{{\left( {82 - 82} \right)}^2} + 2{{\left( {83 - 82} \right)}^2} + 2{{\left( {84 - 82} \right)}^2}}}{{12}} = 1,75\).
\({s_{{x_2}}} = \sqrt {1,75} \approx 1,32\).
Vì \(1,32 < 3,25\) nên độ phân tán của mẫu số liệu \(2\) nhỏ hơn của mẫu số liệu \(1\) hay lô hàng \(B\) đều hơn.
