Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: C

+) Đáp án A là mệnh đề đúng (theo định nghĩa tam giác đều)

+) Đáp án B là mệnh đề đúng vì tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều nên ba góc của tam giác cũng bằng nhau và bằng \(60^\circ \).

+) Đáp án C là mệnh đề sai: ví dụ

Xét hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có \(MN//BC\) ta có

Góc \(\widehat A\) chung, \(\widehat B = \widehat M\), \(\widehat C = \widehat N\).

Vậy hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có ba góc bằng nhau nhưng ba cạnh không bằng nhau.

+) Đáp án D là mệnh đề đúng (theo định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các tập con có một phần tử của tập \(A\) là: \(\left\{ a \right\};\,\,\left\{ b \right\}\).

Vậy có 2 tập con có một phần tử của tập hợp \(A\).

Đáp án đúng là: D

Để \(A \cup C = B\) thì tập hợp \(C\) bắt buộc phải chứa các phần tử \(1;\,\,3;\,\,4\).

Do đó các tập \(C\) có thể là \(\left\{ {1;3;4} \right\},\,\left\{ {1;3;4;0} \right\},\,\left\{ {1;3;4;2} \right\},\,\left\{ {1;3;4;0;2} \right\}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có

+) Thay \[x = 1\] và \[y = 1\] vào bất phương trình đã cho ta được:

\(2.1 + 3.1 - 5 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\) là mệnh đề sai.

Do đó cặp số \[\left( {1;\,\,1} \right)\] không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y - 5 < 0\).

+) Thay \[x = 4\] và \[y = - 1\] vào bất phương trình đã cho ta được:

\(2.4 + 3.\left( { - 1} \right) - 5 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\) là mệnh đề sai.

Do đó cặp số \(\left( {4;\,\, - 1} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y - 5 < 0\).

+) Thay \[x = 0\] và \[y = 2\] vào bất phương trình đã cho ta được:

\(2.0 + 3.2 - 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < 0\) là mệnh đề sai.

Do đó cặp số \(\left( {0;\,\,2} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y - 5 < 0\).

+) Thay \[x = 2\] và \[y = - 1\] vào bất phương trình đã cho ta được:

\(2.2 + 3.\left( { - 1} \right) - 5 < 0 \Leftrightarrow - 4 < 0\) là mệnh đề đúng.

Do đó cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y - 5 < 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

+ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 4x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 2y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.\]là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge x + 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\y < 0\end{array} \right.\] không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn \(x,y,z\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3y + 1 < 0\end{array} \right.\)không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} \ge 0\) có chứa \({x^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

+ \(x + y = 1 \Leftrightarrow y = - x + 1\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).

+\({y^2} = x\) không phải là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\) mà \({y^2} = x \Rightarrow y = \pm \sqrt x \) (có 2 giá trị).

+ \(y = 2x + 1\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).

+ \(y = {x^2}\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đáp án A: ta có \(f\left( 1 \right) = 2.1 - 3 = - 1\) đáp án A sai.

Xét đáp án B: Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 3\). Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Lấy \({x_1};\,{x_2}\) là hai số tuỳ ý sao cho \({x_1} < {x_2}\) ta có:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow 2{x_1} < 2{x_2} \Rightarrow 2{x_1} - 3 < 2{x_2} - 3 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra đáp án B đúng, đáp án C sai.

Đáp án D sai vì tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đỉnh \(S\) có toạ độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1;\,{y_S} = {1^2} - 2.1 - 1 = - 2\)

Vậy \(S(1; - 2)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = {x^2} - 3x + 1\) là một đường Parabol:

- Có đỉnh \(S\) với \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right)}}{{2.1}} = \frac{3}{2};\,{y_S} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\left( {\frac{3}{2}} \right) + 1 = - \frac{5}{4}\).

- Có bề lõm quay lên trên vì \(a > 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Với \(\alpha = 90^\circ \) thì \[\cos 90^\circ = 0\]. Do đó A sai.

Với \[\alpha = 120^\circ \] thì \[\cos 120^\circ = - \frac{1}{2} < 0\]. Do đó B sai.

Với \(\alpha = 15^\circ \) thì \[\cos 15^\circ = 0,97 > 0\]. Do đó C đúng.

Với \(\alpha = 150^\circ \) thì \[\cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\]. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với tam giác \(ABC\) có \(AB = c;\,BC = a;\,AC = b\), \(S\) là diện tích tam giác, \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

+) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). Do đó A sai, D đúng.

+) \(S = p.r = \frac{{a + b + c}}{2}.r\) (trong đó \(p\) là nửa chu vi, \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\)). Do đó B và C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giả sử hai tàu xuất phát từ \(A\) như hình vẽ, tàu thứ nhất sau \(2h\) đi đến \(B\), tàu thứ hai sau \(2h\) đi đến \(C\). Khoảng cách hai tàu lúc này là đoạn \(BC\).

Ta có: sau \(2h\) quãng đường tàu thứ nhất đi được là: \(AB = 2.30 = 60km\)

sau \(2h\) quãng đường tàu thứ hai đi được là: \(AC = 2.40 = 80km\)

Áp dụng định lí cosin ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = {60^2} + {80^2} - 2.60.80.\cos 60^\circ \)

\( \Leftrightarrow BC = 20\sqrt {13} \)

Vậy hai tàu cách nhau \(20\sqrt {13} \left( {km} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ hai điểm \(A,\,B\) ta xác định được hai vectơ là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Do đó đáp án A đúng

+ Hai vectơ được được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Do đó đáp án B sai.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) được gọi là giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Do đó đáp án C sai.

+ Quy ước vectơ không có độ dài bằng 0. Do đó đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) đều nên ta có \(A{O^2} = A{B^2} - B{O^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) bất kỳ ta có:

+ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)là khẳng định đúng (theo quy tắc hiệu hai vectơ).

+ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) là khẳng định đúng (theo quy tắc ba điểm).

+ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \) là khẳng định đúng (theo quy tắc ba điểm).

+ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \) nên khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\), có: \(M,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CA\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow MP = BN = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra: \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BP} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao.

Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH} \) vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2AH\)

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(AB = 2a,\,BH = a\)

Áp dụng định lí Pitago ta có:

 \(\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {a^2} = 3{a^2}\\ \Rightarrow AH = a\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác\(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AM\) là trung tuyến nên \(AM = \frac{{BC}}{2}\).\(AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = a\).

Tam giác \(AMB\) có \(AB = BM = AM = a\) nên là tam giác đều. Suy ra góc \(\widehat {MAB} = 60^\circ \).

Ta có \[\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.cos{\rm{(}}\overrightarrow {AB} \;,\;\overrightarrow {AM} ) = - a.a.cos{\rm{60}}^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(a\)là số gần đúng của \(\overline a \)với độ chính xác \(d\)qui ước viết gọn là \(\overline a = a \pm d\). Vậy độ chính xác của phép đo là \(d = 0,2m\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài gần đúng của cầu là \(a = 996\) với độ chính xác \[d = 0,5\].

Vì sai số tuyệt đối \({\Delta _a} \le d = 0,5\) nên sai số tương đối \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{996}} \approx 0,05\% \).

Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là \(0,05\% \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi tổ có \(\frac{{30}}{5} = 6\) học sinh. Trong một ngày mỗi học sinh trồng được từ \(13\) đến \(15\) cây nên mỗi tổ trồng được từ \(78\) đến \(90\) cây. Do đó, trong bảng trên tổ \(3\) trồng được \(92\) cây là không chính xác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có số điểm trung bình của \(5\) vận động viên là:

\(\overline x = \frac{{9 + 8 + 15 + 8 + 20}}{5} = 12\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta xắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm là: \(3;\,4;\,4;\,5;\,7;\,9;10\)

Vì mẫu số liệu có \(n = 7\) là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = 5\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu \(3;\,4;\,4\). Do đó \({Q_1} = 4\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu \(7;\,9;\,10\). Do đó \({Q_3} = 9\).

Vậy \({Q_1} = 4;\,{Q_2} = 5;\,{Q_3} = 9\).

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Giả sử phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {0;0} \right);\,B\left( {162;0} \right);\,M\left( {10;\,43} \right)\) nên ta có:

Tại \(A\left( {0;\,\,0} \right)\), thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vao hàm số ta được: \(0 = a{.0^2} + b.0 + c\, \Leftrightarrow c = 0\).

Tại \(B\left( {162;0} \right)\), thay \(x = 162\) và \(y = 0\) vào hàm số ta được: \(0 = a{.162^2} + b.162 + c\,\)

\( \Leftrightarrow 26\,\,244a + 162b + c\, = 0\)

Mà \(c = 0\) nên \(26\,\,244a + 162b = 0\) \(\left( 1 \right)\).

Tại \(M\left( {10;\,43} \right)\), thay \(x = 10\) và \(y = 43\) vào hàm số ta được: \(43 = a{.10^2} + b.10 + c\,\)

\( \Leftrightarrow 100a + 10b + c\, = 43\)

Mà \(c = 0\) nên \(100a + 10b = 43\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}26\,\,244a + 162b = 0\\100a + 10b = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

 Suy ra parabol có dạng: \(y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).

Tọa độ điểm đỉnh \(S\) là: \({x_S} = - \frac{{\frac{{3483}}{{760}}}}{{2.\left( { - \frac{{43}}{{1520}}} \right)}} = 81\); \({y_S} = - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 185,6\).

Do đó chiều cao cổng chính là trị tuyệt đối tung độ của đỉnh \(S\) là \(185,6\,\,m\).

Hướng dẫn giải

Qua điểm \(I\) dựng các đoạn \(MQ\parallel AB,PS\parallel BC,NR\parallel CA\).

Vì \(ABC\) là tam giác đều nên các tam giác \(IMN,IPQ,IRS\) cũng là tam giác đều.

Suy ra \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ,RS\).

Khi đó: \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IP} + \overrightarrow {IQ} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IR} + \overrightarrow {IS} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IR} } \right) + \left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO} \).

Vậy \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO} \).

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số học sinh khối \(12\) \(\left( {x > 0} \right)\).

Số học sinh của khối \(11\) là \(1,5x\) (học sinh).

Theo đề: \(x + 1,5x = 80 \Leftrightarrow x = 32\).

Suy ra số học sinh của khối \(11\) là \(1,5.32 = 48\) (học sinh)

Gọi \(y\) là điểm trung bình của học sinh khối \(11\).

Suy ra điểm trung bình của học sinh khối \(12\) là \(1,5y\).

Điểm trung bình của \(80\) học sinh bằng \(10\) nên ta có: \(\frac{{48y + 1,5y.32}}{{80}} = 10 \Leftrightarrow y = \frac{{25}}{3}\)

Suy ra điểm trung bình của học sinh khối \(12\) là: \(1,5y = 1,5.\frac{{25}}{3} = 12,5\).