Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
28 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(a \ge b\) thì \({a^2} \ge {b^2}\);
Nếu \(a\) chia hết cho \(3\) thì \(a\) chia hết cho \(9\);
Nếu tam giác có một góc bằng \(60^\circ \) thì tam giác đó là tam giác đều;
Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án A: Nếu \(a \ge b\) thì \({a^2} \ge {b^2}\) là mệnh đề sai, ví dụ với \(a = - 2 \Rightarrow {a^2} = 4\); \(b = - 3 \Rightarrow {b^2} = 9\) ta có \(a > b\) nhưng \({a^2} < {b^2}\).
Đáp án B: Nếu \(a\) chia hết cho \(3\) thì \(a\) chia hết cho \(9\) là mệnh đề sai, ví dụ với \(a = 6\) chia hết cho \(3\) nhưng \(6\) không chia hết cho \(9\).
Đáp án C: Nếu tam giác có một góc bằng \(60^\circ \) thì tam giác đó là tam giác đều là mệnh đề sai ví dụ ta có:
Tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat C = 60^\circ \)nhưng tam giác \(ABC\) không phải là tam giác đều
Đáp án D: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại là mệnh đề đúng (theo bất đẳng thức tam giác).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\). Tập nào sau đây không phải tập con của tập \(A\).
\(\left\{ {12;\,3} \right\}\);
\(\emptyset \);
\(\left\{ {1;\,2} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Các tập con của tập \(A\) là: \(\left\{ 1 \right\},\,\left\{ 2 \right\},\,\left\{ 3 \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\left\{ {1;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {2;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\},\,\,\emptyset \).
Vậy tập không là con của tập \(A\) là: \(\left\{ {12;\,3} \right\}\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\). Tập hợp \(\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right)\) bằng
\(\left\{ {0;\,1;\,5;\,6} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,2} \right\}\);
\(\left\{ {2;\,3;\,4} \right\}\);
\(\emptyset \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A\backslash B = \left\{ {3;\,4} \right\}\) và \(B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}\)
Vậy \(\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right) = \emptyset \).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5\];
\(x - y(2y + 1) \le - 3\);
\(2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2\);
\(2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+ \[2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5 \Leftrightarrow 2x + 3y > 13\] là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ \(x - y(2y + 1) \le - 3 \Leftrightarrow x - 2{y^2} - y \le - 3\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({y^2}\).
+ \(2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2 \Leftrightarrow 4\sqrt y < 4\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \(\sqrt y \).
+ \(2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - y \le 2\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\).
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right.\];
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right.\);
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.\];
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.\) .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.\]là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} - y \ge 1\) có chứa \({x^2}\) nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.\] không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn là \(x,\,\,y,\,\,z\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình \({x^2} \ge 0\) có chứa \({x^2}\) và bất phương trình \(x - 3{y^2} + 4 < 0\)có chứa \({y^2}\) đều không là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xét hai đại lượng \(x,y\) phụ thuộc vào nhau theo hệ thức dưới đây. Trường hợp nào \(y\) không là hàm số của \(x\).
\({x^2} - {y^2} = 0\);
\(y = x - 3\);
\(y = {x^2} - 2x\);
\(y = 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+ \({x^2} - {y^2} = 0\)không phải là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\) mà với \(x = 1 \Rightarrow {1^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1\) (có 2 giá trị).
+ \(y = x - 3\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\) .
+ \(y = {x^2} - 2x\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).
+ \(y = 2x\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{x - 4}}\) là
\(\left[ {1; + \infty } \right)\);
\(\left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của hàm số: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x\). Toạ độ đỉnh \(S\) của hàm số là
\(S\left( {2;0} \right)\);
\(S\left( { - 2;0} \right)\);
\(S\left( { - 2; - 12} \right)\);
\(S\left( {2;\,4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đỉnh \(S\) có toạ độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 2;\,{y_S} = - {2^2} + 4.2 = 4\)
Vậy \(S(2;4)\).
Đồ thị của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\) là
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = - {x^2} + 2x + 3\) là một đường Parabol:
- Có đỉnh \(S\) với \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1;\,{y_S} = - {1^2} + 2.1 + 3 = 4\)
- Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\))
- Có bề lõm quay xuống dưới vì \(a < 0\).
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\) tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ \(\left( {0;3} \right)\).
- Phương trình \( - {x^2} + 2x + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = 3\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).
Đồ thị của hàm số là
Cho \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\({\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha \);
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với mọi góc \(\alpha \) thoả mãn \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) ta luôn có
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \);
\({\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha \);
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\).
Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) với \(p\) là nửa chu vi và \(AB = c;\,BC = a;\,AC = b\). Kết luận nào sau đây sai?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\);
\(b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}}\);
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) ;
\(S = ab.\sin C\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét đáp án A: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) là khẳng định đúng (theo định lí cosin).
Xét đáp án B: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}\) là khẳng định đúng (theo địn lí sin).
Xét đáp án C: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)là khẳng định đúng (theo công thức Heron).
Xét đáp án D: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) khẳng định D sai.
Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của tháp trong đó \(C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \(A,B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng. Ta đo được \(AB = 24m\) \(\widehat {CAD} = 63^\circ \); \(\widehat {CBD} = 48^\circ \). Chiều cao \(h\) của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?
\(61,4m\);
\(18,5m\);
\(62,3m\);
\(18m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \)
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABD\) ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)
Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) nên có: \(\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}\)
Vậy \[CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61,4m\].
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
\(AB\parallel CD\) và \(AB = CD\);
\(AB\) trùng \(CD\) và \(AB = CD\);
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và \(AB = CD\);
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng và \(AB = CD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và \(AB = CD\).
Vậy đáp án A, B, D sai. Đáp án C đúng.
Cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
4
6
8
10
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) là: \(\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {FA} ,\,\,\overrightarrow {AF} \).
Vậy có \(6\) vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \).
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(1\), trọng tâm \(G\). Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng:
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ;
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AM \bot BC\)
Ta có \(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {1^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Cho ba vectơ \[\vec a\], \[\vec b\] và \[\vec c\] khác vectơ không. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\];
\[\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)\];
\[\vec a + \overrightarrow 0 = \vec a\];
\[\overrightarrow 0 + \vec a = \overrightarrow 0 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\]; \[\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)\]; \[\vec a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \vec a = \vec a\].
Vậy đáp án A, B, C đúng; đáp án D sai.
Cho các điểm phân biệt \[M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R\]. Vectơ tổng \[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} - \overrightarrow {PN} - \overrightarrow {RQ} \] là
\(\overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {MQ} \);
\(\overrightarrow {MR} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} - \overrightarrow {PN} - \overrightarrow {RQ} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \]
\[ = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RP} = \overrightarrow {MP} \]
Tìm giá trị của \(m\) sao cho\[\vec a = m\overrightarrow b \] biết rằng\[\vec a,\overrightarrow b \] ngược hướng và \(\left| {\vec a} \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\)
\(m = 3\);
\(m = - \frac{1}{3}\);
\(m = \frac{1}{3}\);
\(m = - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Do \(\vec a,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(m = - \frac{{\left| {\vec a} \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{5}{{15}} = - \frac{1}{3}\).
Cho hình thoi\(ABCD\) tâm\(O\), cạnh\(2a\) . Góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 2a\sqrt 3 \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3 \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3a\);
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3a\sqrt 3 \);
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam giác \(ABD\) cân tại \(A\) và có góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABD\) đều.
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AO} } \right| = 2.AO = 2.\sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = 2.\sqrt {4{a^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 3 \).
Cho hình bình hành \(ABCD\), với \(AB = 2\), \(AD = 1\), \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng
\( - 1\).
\(\frac{1}{2}\)
\(1\).
\( - \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết: \(\widehat {BAD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 120^\circ \).
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) = AB.BC.\cos \widehat {ABC} = 2.1.\cos 120^\circ = - 1\).
Đường kính của một đồng hồ cát là \(8,2m \pm 0,1m\). Độ chính xác của phép đo trên là:
\(d = 0,1m\);
\(d = 8,1m\);
\(d = 8,2m\);
\(d = 8,3m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(a\)là số gần đúng của \(\overline a \)với độ chính xác \(d\)qui ước viết gọn là \(\overline a = a \pm d\). Vậy độ chính xác của phép đo là \(d = 0,1m\).
Số \(\overline a \) được cho bởi số gần đúng \[a = 5,7824\] với sai số tương đối không vượt quá \(0,5\% \). Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của \(\overline a \).
\(2,9\% \)
\(2,89\% \)
\(2,5\% \)
\(0,5\% \)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\) suy ra \({\Delta _a} = {\delta _a}.\left| a \right|\). Do đó \({\Delta _a} \le \frac{{0,5}}{{100}}.5,7824 = 0,028912 \approx 2,89\% \).
Trong \(6\) tháng cuối năm, số sản phẩm bán ra của một cửa hàng được thống kê trong bảng sau. Biết rằng số sản phẩm bán ra của mỗi tháng nằm trong khoảng từ \(200\) đến \(500\) sản phẩm.
Tháng | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Sản phẩm bán ra | 215 | 237 | 360 | 586 | 300 | 345 |
Trong bảng trên có tháng bị nhập sai số sản phẩm bán ra là
\(8\);
\(9\);
\(10\);
\(11\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(200 < 215 < 500\) nên số sản phẩm tháng 7 thỏa mãn điều kiện.
\(200 < 237 < 500\) nên số sản phẩm tháng 8 thỏa mãn điều kiện.
\(200 < 360 < 500\) nên số sản phẩm tháng 9 thỏa mãn điều kiện.
\(586 > 500\) nên số sản phẩm tháng 10 không thỏa mãn điều kiện. Do đó tháng 10 bị thống kê sai.
\(200 < 300 < 500\)nên số sản phẩm tháng 11 thỏa mãn điều kiện.
\(200 < 345 < 500\)nên số sản phẩm tháng 12 thỏa mãn điều kiện.
Cho mẫu số liệu \(200;\,\,\,250;\,\,\,240;\,\,\,300;\,\,\,260;\,\,\,250;\,\,\,300;\,\,\,260\) số trung vị của mẫu số liệu là
\(245\);
\(250\);
\(255\);
\(260\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta xắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm \(200;\,\,\,240;\,\,\,250;\,\,\,250;\,\,\,260;\,\,\,260;\,\,\,300;\,\,\,300\).
Vì cỡ mẫu bằng \(8\) nên số trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ \(4\) và thứ \(5\) của dãy trên tức là: \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {250 + 260} \right) = 255\).
Cho bảng phân bố tần số sau
Giá trị | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 |
Tần số | 12 | 5 | n2 | 16 | 6n – 5 |
Với điều kiện nào của số tự nhiên n thì bảng số liệu có mốt là \({X_3}\)?
\(n > 4\);
\(n < - 4\);
\(n > 5\);
\(n < 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({M_o} = {X_3}\) là duy nhất của bảng số liệu nên \(\left\{ \begin{array}{l}{n^2} > 16\\{n^2} > 6n - 5\end{array} \right.\)
⇒ n>4n<−4n<1n>5⇒n<−4n>5
Vì \(n\) là số tự nhiên nên \(n > 5\) thoả mãn.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm). Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng Parabol \(ACB\) như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm \(A,B\) trên mỗi trục \[AA,\,BB'\] với độ cao \(30m\). Chiều dài đoạn \(A'B' = 200m\) Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là \(OC = 5m\). Gọi \(Q',\,P',\,H',O,I',J',K'\) là các điểm chia đoạn \(A'B'\) thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền: \(QQ',\,PP',\,HH',\,OC,\,II',\,JJ',\,KK'\) gọi là cáp treo. Tổng chiều dài của các dây cáp treo là?
![Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng Parabol \(ACB\) như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm \(A,B\) trên mỗi trục \[AA,\,BB'\] với độ cao \(30m\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/38-1763537003.png)
Hướng dẫn giải
Giả sử Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)
Chọn hệ trục như hình vẽ khi đó Parabol đi qua điểm \(A\left( {100;30} \right)\) có đỉnh \(C\left( {0;5} \right)\)
+) Điểm đỉnh \(C\left( {0;5} \right)\), có: \({x_C} = - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\)
Thay \(x = 0\), \(y = 5\) vào hàm số ta được: \(c = 5\).
Khi đó hàm số trở thành: \(y = a{x^2} + 5\)
+) Thay tọa độ điểm \(A\left( {100;30} \right)\) với \(x = 100\) và \(y = 30\) vào hàm số ta được:
\(30 = a{.100^2} + 5\)
\( \Leftrightarrow 30 = a.10\,\,000 + 5\)
\( \Leftrightarrow 10\,\,000a = 25\)
\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{{400}}\) (thỏa mãn điều kiện)
Suy ra Parabol có dạng: \(y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5\).
Mà đoạn \(AB\) được chia làm \(8\) phần bằng nhau nên mỗi phần \(25m\)
Khi đó tổng độ dài cáp treo bằng \(OC + 2{y_1} + 2{y_2} + 2{y_3}\)
Hay \(5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78,75\left( m \right)\).
Vậy tổng độ dài cáp treo là \(78,75\,\,m\).
(1,0 điểm). Cho tam giác \[ABC\] đều có cạnh \(a\), điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
a) Phân tích vectơ \[\overrightarrow {AG} \] theo hai vectơ là hai cạnh của tam giác.
b) Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB} \).
Hướng dẫn giải
![Cho tam giác \[ABC\] đều có cạnh \(a\), điểm \ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/39-1763537040.png)
a) Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) và \(AM\) là trung tuyến của tam giác \[ABC\].
Hơn nữa, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).
Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
b) Ta có: \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}.{a^2} + \frac{1}{3}.a.a.{\rm{cos}}60^\circ \)
\( = \frac{1}{2}{a^2}\).
(1,0 điểm). Trong cuộc thi học sinh giỏi môn Toán lớp \(10\) có \(4\) học sinh tham gia với điểm đạt được của các học sinh là các số tự nhiên khác nhau không nhỏ hơn \(10\) và không lớn hơn \(20\). Biết rằng điểm trung bình, số trung vị của \(4\) học sinh trên đều bằng \(14\) và có khoảng biến thiên bằng \(4\). Xác định điểm thi của \(4\) học sinh trên.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm các học sinh đạt được lần lượt là \(a;\,b;\,c;\,d\,\left( {a < b < c < d} \right)\) và \(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{N}\)
Ta có số trung vị: \({Q_2} = \frac{{b + c}}{2} = 14 \Rightarrow b + c = 28\)
Mà \(\overline x = 14 \Rightarrow a + b + c + d = 56 \Rightarrow a + d = 28\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < b < c}\\{b + c = 28}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 < b < 14}\\{2b < 28}\end{array}} \right.\) hay \(10 < b < 14\) mà \(b \in \mathbb{N} \Rightarrow b \in \left\{ {11;\,12;\,13} \right\}\)
+ Nếu \(b = 11\) thì \(c = 17\), mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow a = 10;d = 18\)
Khi đó điểm các em đạt được lần lượt là \(10;\,\,\,11;\,\,\,17;\,\,18\)
+ Nếu \(b = 12\) thì \(c = 16\) mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\end{array} \right.\)
Khi đó điểm các học sinh đạt được có thể là là: \(10;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,18\) hoặc \(11;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,\,17\).
+ Nếu \(b = 13\) thì \(c = 15\), mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\\a = 12 \Rightarrow d = 16\end{array} \right.\)
Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là: \(10;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,18\) hoặc \(11;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,17\) hoặc \(12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16\).
Vì khoảng biến thiên bằng \(4\) nên số điểm các em đạt được là: \(12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16\).
