Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng?
Thời tiết hôm nay thật lạnh!;
\(12\) là số rất may mắn;
Rêu thuộc nhóm thực bật bậc cao;
\(6\) là số chính phương.
Đáp án đúng là: C
Câu “Thời tiết hôm nay thật lạnh!” là một câu cảm thán nên không phải mệnh đề. Do đó A sai.
Câu “\(12\) là số rất may mắn” là một câu khẳng định không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó B sai.
Câu “Rêu thuộc nhóm thực bật bậc cao” là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.
Câu “\(6\) là số chính phương” là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề sai. Do đó D sai.
Biểu diễn tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},|x|\, < 2} \right\}\) trên trục số ta được
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
Khi đó \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R},|x|\, < 2} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 2 < x\, < 2} \right\} = ( - 2;\,\,2)\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 \le x < 8} \right\}\). Tập hợp \(A\) có bao nhiêu phần tử?
\(7\);
Vô số phần tử;
\(8\);
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 \le x < 8} \right\} = \left[ {0;\,\,8} \right)\) nên \(A\) có vô số phần tử.
Do đó B đúng.
Miền nghiệm của bất phương trình \[ax + by > c\] được định nghĩa là
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \[a{x_0} + b{y_0} > c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], đường thẳng có phương trình \[ax + by = c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tập hợp điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \[a{x_0} + b{y_0} > c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho;
Cả A, B và C đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tập hợp điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \[a{x_0} + b{y_0} > c\] là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y < - 9\\2x - m > 3y\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số. Với giá trị nào của \(m\) thì cặp số \(\left( { - 1; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình?
\(m = - 2\);
\(m = 5\);
\(m = 3\);
\(m = 7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = - 1\) và \(y = - 3\) vào hệ bất phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}m\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 3} \right) < - 9\\2\left( { - 1} \right) - m > 3.\left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m < - 3\\ - m > - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 7\).
Vậy \(m = 5\) thỏa mãn điều kiện.
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là đường parabol dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(a < 0,b < 0,c < 0\);
\(a < 0,b < 0,c > 0\);
\(a < 0,b > 0,c < 0\);
\(a < 0,b > 0,c > 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số là parabol úp xuống dưới nên có \(a < 0\).
Điểm đỉnh của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung nên có hoành độ dương hay \( - \frac{b}{{2a}} > 0\) mà \(a < 0\) nên \(b > 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại
\(y = \frac{1}{2}\);
\(x = - 1\);
\(x = \frac{1}{2}\);
\( + \infty \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\) tại \(x = - 1\).
Cho đồ thị hàm số sau:
Hàm số trên nghịch biến trên khoảng nào?
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( {1;0} \right)\);
\(\left( { - 1;0} \right)\);
\(\left( {0;\,1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\,1} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{4 - x}}{{x + \sqrt {x - 1} }}\) là
\(\left[ {1;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(\left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;1} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \ne - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ne {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
Cho bảng biến thiên sau:
Trục đối xứng của hàm số bậc hai có bảng biến thiên trên là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(y = 1\);
\(y = 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trục đối xứng của hàm số bậc hai là \(x = 1\).
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc hai?
\(\sqrt y = \sqrt x + 1\);
\(y = - x - 2\);
\({x^2} + x - 2 = 0\);
\(y = {x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số bậc hai là \(y = {x^2}\).
Điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(m < \frac{3}{2}\);
\(m > - \frac{3}{2}\);
\(m \ne \frac{3}{2}\);
\(m > \frac{3}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\)
Cho hàm số bậc hai \(y = \left( {m + 2} \right){x^2} + 2m + 1\). Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\).
\(m = 0\);
\(m = - 2\);
\(m = 0\) và \(m = - 2\);
\(m > - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để hàm số là hàm bậc hai và đạt giá trị lớn nhất thì
+) \(m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\)
+) \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{0^2} - 4.\left( {m + 2} \right).\left( {2m + 1} \right)}}{{4.\left( {m + 2} \right)}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {2{m^2} + 5m + 2} \right) = 4\left( {m + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 5m + 2 = m + 2\)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m = 0\)
\( \Leftrightarrow 2m\left( {m + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 0\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\).
Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{\tan x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{{\rm{cot}}\,x}}\) với \(x \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\).
\(\sin x\);
\(\frac{1}{{\sin x}}\);
\(\frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\);
\[{\rm{cos}}x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[M = \frac{{\tan x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{{\rm{cot}}\,x}} = \frac{{\tan x.{\rm{cot}}\,x}}{{\sin x.{\rm{cot}}\,x}} - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{\rm{cot}}\,x.\sin \,x}} = \frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{\rm{cot}}\,x.\sin \,x}} = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\,x}}{{\frac{{{\rm{cos}}\,x}}{{\sin \,x}}.\sin \,x}} = {\rm{cos}}\,x\].
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = c,AC = b,BC = a\). Nhận xét nào dưới đây là đúng?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.{\rm{cosA}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\rm{cosA}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.{\rm{sinA}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\rm{sinA}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\rm{cosA}}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 3,b = 2\sqrt 2 ,c = 1\). \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = 1\). Độ dài đoạn thẳng \(AM\) bằng
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\);
\(\sqrt 2 \);
\(\frac{{\sqrt {15} }}{3}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:\[{\rm{cos}}B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{3^2} + {1^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.3.1}} = \frac{1}{3}\].
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABM\), ta được:
\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.{\rm{cos}}B\)
\( = {1^2} + {1^2} - 2.1.1.\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
\( \Leftrightarrow AM = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Từ một điểm \(C\) cách hai đầu một hồ nước lần lượt là \(500\,\,m\) và \(600\,\,m\), người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc \(82^\circ \).
Khoảng cách (làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai điểm ở hai đầu của hồ nước là
\(726\);
\(833\);
\(781\);
\(126\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi hai điểm đầu của hồ nước là \(A\) và \(B\).
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.AC.BC.{\rm{cos}}\,C\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = {600^2} + {500^2} - 2.500.600.{\rm{cos}}\,82^\circ \)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = 526\,\,496\)
\( \Leftrightarrow AB = 726\).
Cho lục giác đều \[ABCDEF\] tâm \[O\].
Có bao nhiêu vectơ khác không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm có trên hình vẽ?
\(2\);
\(9\);
\(1\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vecto \(\overrightarrow {OB} \) mà có điểm đầu và điểm cuối là các điểm có trên hình vẽ là các vectơ: \(\overrightarrow {BE} \), \(\overrightarrow {EB} \), \(\overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {DC} \), \[\overrightarrow {AF} \], \(\overrightarrow {FA} \), \(\overrightarrow {OE} \), \(\overrightarrow {EO} \), \(\overrightarrow {BO} \).
Vậy có \[9\] vectơ thỏa mãn điều kiện.
Nhận xét nào sau đây sai về vectơ không?
Vectơ không là vectơ cùng hướng với mọi vectơ;
Vectơ không không có độ dài;
Mọi vectơ không đều bằng nhau;
Vectơ đối của vectơ không là bằng chính nó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vectơ không là vectơ cùng hướng với mọi vectơ. Do đó A đúng.
Vectơ không có độ dài bằng \(0\). Do đó B sai.
Mọi vectơ không đều bằng nhau. Do đó C đúng.
Vectơ đối của vectơ không là bằng chính nó. Do đó D đúng.
Trên hình vẽ sau cho các đoạn thẳng \[AB = 9,\,\,CD = 7,\,\,MN = 9,\,\,\,PQ = 7,\,\,HK = 7\]. Có bao nhiêu cặp vectơ bằng nhau?
\(2\);
\(3\);
\(1\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
- Vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {MN} \)có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {MN} \)cùng hướng, đồng thời \[AB = MN = 9\] nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MN} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {HK} \) có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {HK} \) cùng hướng, mà \[HK = CD = 7\] nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {HK} \) .
Do đó có \(2\)cặp vectơ bằng nhau.
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \[O\].Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC} \) bằng
\(\overrightarrow {OD} \);
\(\overrightarrow {OB} \);
\(\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {OC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AB{\rm{ // }}CD\] và \[AB = CD\].
⇒\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).
⇒\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} \).
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \[O\] có chiều dài bằng 6 và chiều rộng bằng 4. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) là
\(0\);
\(2\);
\(3\);
\(2\sqrt {13} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OA} \) đối nhau nên \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow 0 \).
Vì vậy \(\left| {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} } \right| = 0\).
Cho \[5\] điểm tùy ý \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E\]. Tổng \(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} \) bằng
\(\overrightarrow {ED} \);
\(\overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {BA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} \)
= \[\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC} \] (áp dụng tính chất giao hoán)
= \(\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC} } \right)\) (áp dụng tính chất kết hợp)
= \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} \) (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
= \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \) (áp dụng tính chất giao hoán)
= \(\overrightarrow {BA} \) (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
Vậy \(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {BA} \).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right|\).
\(3a\);
\(\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a\);
\(a\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 2 a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có : \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \)
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} \)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} \)
\( = 2\overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AC} } \right| = 2AC = 2a\sqrt 2 \)
Cho tam giác \(MNP\), gọi \(K\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(NP\) sao cho \(NK = \frac{1}{4}NP\) và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MK\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(3\overrightarrow {IM} + 4\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {IM} + 3\overrightarrow {IN} + 4\overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \);
\(4\overrightarrow {IM} + 3\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \);
\(4\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} + 3\overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {NK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {NP} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {NK} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {NI} + 4\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {NI} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {NI} + 4\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {IN} - 4\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IN} + 4\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 \).
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) bất kì. Khi đó \(4\left( {2\overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \) bằng
\(\overrightarrow {AC} \);
\(5\overrightarrow {AC} \);
\(5\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {BA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(4\left( {2\overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \)
= \((4.2)\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \)
= \(8\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB} \)
= \(8\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \)
= 8–3AB→+5BC→
= \(5\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {BC} \)
= \(5\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
= \(5\overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác \[ABC\] với trung tuyến \[AM\] và có trọng tâm \(G\). Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \);
\(2\overrightarrow {AG} + 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \);
\(3\overrightarrow {AG} + 2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \);
\(3\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \[ABC\] có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} - 2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \). Do đó C sai.
\(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \). Do đó A đúng và B sai.
\(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GM} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \). Do đó D sai.
Cho tam giác vuông cân \[ABC\] có \[AB = AC = a\]. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
\(\overrightarrow {AC} \);
\(5\overrightarrow {AC} \);
\(1\);
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+ Vì tam giác \[ABC\] vuông cân, mà \[AB = AC\]
\( \Rightarrow \)Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\].
\[ \Rightarrow AB \bot AC\]
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 90^\circ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.0 = 0\)
Cho \[4\] điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] bất kì. Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \) bằng
\(0\);
\(5\);
\(1\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
AB→.CD→=AB→.CA→+AD→=AB→.CA→+AB→.AD→ (tính chất phân phối)
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (tính chất phân phối)
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (tính chất phân phối)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \]
\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \]
= \(\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\) (tính chất giao hoán và kết hợp)
= \[0\]
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0\).
Cho số gần đúng \(a = 2,34589 \pm 0,02\). Số đúng \(\overline a \) nằm trong khoảng nào dưới đây?
\(2,32 \le \overline a \le 2,36\);
\(2,3 \le \overline a \le 2,4\);
\(2,32589 \le \overline a \le 2,36589\);
\(2,344 \le \overline a \le 2,346\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số đúng \(\overline a \) nằm trong khoảng \(2,32589 \le \overline a \le 2,36589\).
Sai số tương đối của số quy tròn của số \(a\), biết số gần đúng \(a = 9\,\,981\) và độ chính xác \(d = 100\) là
\(0,81\% \);
\(1\% \);
\(1,2\% \);
\(2\% \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 100\) là hàng trăm thì làm tròn đến hàng nghìn ta được số quy tròn của số \(a\) là \(10\,\,000\).
Số đúng \(\overline a \) thỏa mãn \(9\,\,981 - 100 \le \overline a \le 9\,\,981 + 100 \Leftrightarrow 9\,\,881 \le \overline a \le 10\,081\) nên
\(9\,\,881 - 10\,\,000 \le \overline a - 10\,\,000 \le 10\,081 - 10\,\,000\)
\( \Leftrightarrow - 119 \le \overline a - 10\,\,000 \le 81\)
\( \Rightarrow \left| {\overline a - 10\,\,000} \right| \le 119\)
\( \Leftrightarrow \Delta \le \frac{{119}}{{10\,000}} = 0,0119 \approx 1,2\% \).
Vậy sai số tương đối của số quy tròn là \(1,2\% \).
Hà vẽ biểu đồ biểu thị tỉ lệ số lượng mỗi loại bếp mà gia đình các bạn trong lớp sử dụng thường xuyên để đun nấu theo bảng thống kê dưới đây:
Loại bếp | Bếp củi | Bếp điện | Bếp than | Bếp ga | Loại khác |
Số gia đình | 10 | 12 | 8 | 20 | 5 |
Hình vẽ trên có bao nhiêu loại bếp bị biểu diễn sai tỉ lệ?
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tổng số học sinh trong lớp là: \(10 + 12 + 8 + 20 + 5 = 55\) (học sinh).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp củi là:
\(\frac{{10}}{{55}}.100\% \approx 18\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp điện là:
\(\frac{{12}}{{55}}.100\% \approx 22\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp than là:
\(\frac{8}{{55}}.100\% \approx 15\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp ga là:
\(\frac{{20}}{{55}}.100\% \approx 36\% \).
Tỉ lệ phần trăm số gia đình của các bạn trong lớp sử dụng bếp khác là:
\(\frac{5}{{55}}.100\% \approx 9\% \).
Vậy có 2 loại bếp là bếp than và bếp điện bị biểu diễn sai.
\({Q_1}\) là kí hiệu của
Số trung bình;
Số trung vị;
Tứ phân vị thứ nhất;
D Tứ phân vị thứ ba.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tứ phân vị thứ nhất được kí hiệu là \({Q_1}\).
Một xạ thủ bắn súng 10 lần liên tiếp, số điểm của xạ thủ đạt được được ghi lại trong bảng sau:
Số lần | Lần 1 | Lần 2 | Lần 3 | Lần 4 | Lần 5 | Lần 6 | Lần 7 | Lần 8 | Lần 9 | Lần 10 |
Số điểm | 8 | 6 | 7 | 6 | 9 | 8 | 10 | 7 | 7 | 8 |
Số trung vị của số liệu trên là:
\(6,5\);
\(7\);
\(8\);
\(7,5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là D
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được: \(6;\,\,6;\,\,7;\,\,7;\,\,7;\,\,8;\,\,8;\,\,8;\,\,9;\,\,10\).
Dãy số liệu trên có 10 số liệu nên số trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ \(5\) và \(6\) là \({Q_2} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5\).
Số huy chương vàng trong các giải thể thao quốc tế mà đoàn thể thao Việt Nam trong các giải đấu ở châu Á trong các năm từ 2010 đến 2019 được thống kê trong bảng sau:
Năm | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
Số huy chương | 39 | 43 | 115 | 52 | 56 | 62 | 130 | 82 | 74 | 120 |
Độ lệch chuẩn của số liệu trên là:
\(77,3\);
\(1002,61\);
\(31,664\);
\(91\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là C
Số trung bình của số liệu trên là:
\(\overline x = \frac{{39 + 43 + 115 + 52 + 56 + 62 + 130 + 82 + 74 + 120}}{{10}} = 77,3\)
Khi đó phương sai
\({S^2} = \frac{{{{\left( {39 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {43 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {115 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {52 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {56 - 77,3} \right)}^2}}}{{10}}\)
\( + \frac{{{{\left( {62 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {130 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {82 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {74 - 77,3} \right)}^2} + {{\left( {120 - 77,3} \right)}^2}}}{{10}} = 1002,61\)
Suy ra độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {1002,61} \approx 31,664\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm). Biểu đồ đoạn thẳng ở hình vẽ bên thể hiện tốc độ trăng trưởng GDP qua các năm từ 2012 đến 2019.
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Tốc độ tăng trưởng trung bình là:
\(\overline x = \frac{{5,25 + 5,42 + 5,98 + 6,68 + 6,21 + 6,81 + 7,08 + 7,02}}{8} \approx 6,3\).
Phương sai của mẫu số liệu trên là:
\({S_x} = \frac{{{{\left( {5,25 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {5,42 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {5,98 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {6,68 - 6,3} \right)}^2}}}{8}\)
\(\frac{{{{\left( {6,21 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {6,81 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {7,08 - 6,3} \right)}^2} + {{\left( {7,02 - 6,3} \right)}^2}}}{8} \approx 0,44\).
\({s_x} = \sqrt {{S_x}} \approx \sqrt {0,44} \approx 0,66\).
Vậy phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(0,44\) và \(0,66\).
(1,0 điểm).
a) Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).
b) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(A',\,\,B',\,\,C'\) là các điểm xác định bởi \(2011\overrightarrow {A'B} + 2012\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \), \(2011\overrightarrow {B'C} + 2012\overrightarrow {B'A} = \overrightarrow 0 \), \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải
a) Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \).
Vì \(AB \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt 2 a\) (định lí Pythagoras)
\(\widehat B = \widehat C = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = - CA.CB.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - a.a\sqrt 2 .{\rm{cos45}}^\circ = - {a^2}\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
+) Ta có: \(2011\overrightarrow {A'B} + 2012\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {A'G} + 2011\overrightarrow {GB} + 2012\overrightarrow {A'G} + 2012\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {A'G} + 2011\overrightarrow {GB} + 2012\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) \(\left( 1 \right)\).
+) Ta có: \(2011\overrightarrow {B'C} + 2012\overrightarrow {B'A} = \overrightarrow 0 \)
\[ \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {B'G} + 2011\overrightarrow {GC} + 2012\overrightarrow {B'G} + 2012\overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {B'G} + 2011\overrightarrow {GC} + 2012\overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \] \(\left( 2 \right)\).
+) Ta có: \(2011\overrightarrow {C'A} + 2012\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow 0 \)
\[ \Leftrightarrow 2011\overrightarrow {C'G} + 2011\overrightarrow {GA} + 2012\overrightarrow {C'G} + 2012\overrightarrow {GB} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {C'G} + 2011\overrightarrow {GA} + 2012\overrightarrow {GB} = \overrightarrow 0 \] \(\left( 3 \right)\).
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:
\[ \Leftrightarrow 4023\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + 4023\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4023\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + 4023.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).
(1,0 điểm). Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth\), trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả sử rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\). Sau đó \(1\) giây, nó đạt độ cao \(8,5m\) và \(2\)giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \(6\,\,m\). Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?
Hướng dẫn giải
Gọi hàm quỹ đạo parabol của quả bóng là \(h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)\).
Quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\) nên \(t = 0\), ta có điểm \(\left( {0;\,\,1,2} \right)\), thay \(t = 0\) và \(h = 1,2\) vào hàm số trên ta được: \(c = 1,2\).
\( \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^2} + bt + 1,2\) \(\left( 1 \right)\)
Tại \(t = 1\) thì \(h = 8,5\) khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + b + 1,2 = 8,5 \Leftrightarrow a + b = 7,3\) \(\left( 2 \right)\).
Tại \(t = 2\) thì \(h = 6\) khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4a + 2b + 1,2 = 6 \Leftrightarrow 4a + 2b = 4,8 \Leftrightarrow 2a + b = 2,4\) \(\left( 3 \right)\).
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 7,3\\2a + b = 2,4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4,9\\b = 12,2\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện).
Do đó hàm số cần tìm là \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).
Quả bóng chạm đất nghĩa là độ cao bằng \(0\) khi đó \(h = 0\), thay vào hàm số trên ta được:
\( - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 2,58\\t \approx - 0,09\end{array} \right.\).
Vì \(t > 0\) nên \(t \approx 2,58\) thỏa mãn.
Vậy sau khoảng \(2,58\) giây thì quả bóng chạm đất.
