Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Trong các câu sau câu nào là mệnh đề đúng?
\[\sqrt 2 \] là số vô tỉ;
\[5 + 3 < 7\];
\[100\]tỉ là số nguyên lớn nhất;
Trời hôm nay đẹp quá!.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Câu “\[\sqrt 2 \]là một số vô tỉ” là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.
+) Câu “\[5 + 3 < 7\]” là một mệnh đề sai. Do đó B sai.
+) Câu “\[100\] tỉ là số nguyên lớn nhất” là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề sai. Do đó C sai.
+) Câu “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó D sai.
Cho tập hợp\[B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 4 = 0} \right\}\]. Tập hợp nào sau đây đúng?
\[B = \left\{ {2;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 2;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 4;{\rm{ }}4} \right\}\];
\[B = \left\{ { - 2;{\rm{ 2}}} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\]
Mà \[2;\, - 2\, \in \,\mathbb{Z}\] nên \[B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}\].
Cho hai tập hợp \[P = \{ 1;\,3;\,5;\,7;\,9\} \]và \[Q = \{ 0;\,2;\,4;\,5;\,6;\,8\} \]. Số phần tử của tập hợp \[P \cup Q\]là:
\[0\];
\[1\];
\[10\];
\[11\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[P \cup Q = \left\{ {0;\,\,\,1;\,\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6;\,\,\,7;\,\,\,8;\,\,\,9} \right\}\].
Vậy số phần tử của tập \[P \cup Q\] là \[10\].
Miền nghiệm của bất phương trình \[x + y \le 2\] là phần tô đậm (kể cả biên) trong hình vẽ nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Chọn \[x = 0 \Rightarrow y = 2\]
Chọn\[y = 0 \Rightarrow x = 2\]
\[ \Rightarrow \]Đường thẳng \[x + y = 2\] đi qua hai điểm có tọa độ \[\left( {0;\,2} \right)\]và \[\left( {2;\,0} \right)\].
Lấy \[O\left( {0;\,0} \right)\] có: \[0 + 0 = 0 < 2\] nên điểm \[O\] không thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \[x + y = 2\] không chứa điểm \[O\] và kể cả bờ.
Vì vậy hình vẽ A là hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\]. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
\[M\left( {0;\,1} \right)\];
\[N\left( { - 1;\,1} \right)\];
\[P\left( {1;\,3} \right)\];
\[Q\left( { - 1;\,0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \[x = 0\] và \[y = 1\] vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\[0 + 3.1--2 = 1 \ge 0\] là một mệnh đề đúng.
\[2.0 + 1 + 1 = 2 \le 0\] là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \[M\left( {0;\,1} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Tương tự, thay \[x = - 1\] và \[y = 1\] ta được:
\[ - 1 + 3.1--2 = 0 \ge 0\]là mệnh đề đúng.
\[2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 = 0 \le 0\] là mệnh đề đúng.
Điểm \[N\left( { - 1;\,1} \right)\] là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \[x = 1\] và \[y = 3\] ta được:
\[1 + 3.3--2 = 8 \ge 0\] là mệnh đề đúng.
\[2.1 + 3 + 1 = 6 \le 0\] là mệnh đề sai.
Điểm \[P\left( {1;\,3} \right)\] không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \[x = - 1\] và \[y = 0\] ta được:
\[ - 1 + 3.0--{\rm{2}} = - 3 \ge 0\] là mệnh đề sai.
\[2.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 1 \le 0\] là mệnh đề đúng.
Điểm \[Q\left( { - 1;\,0} \right)\] không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là đường parabol dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(a < 0,b < 0,c < 0\);
\(a < 0,b < 0,c > 0\);
\(a < 0,b > 0,c < 0\);
\(a < 0,b > 0,c > 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số là parabol úp xuống dưới nên có \(a < 0\).
Điểm đỉnh của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung nên có hoành độ dương hay \( - \frac{b}{{2a}} > 0\) mà \(a < 0\) nên \(b > 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại
\(y = \frac{1}{2}\);
\(x = - 1\);
\(x = \frac{1}{2}\);
\( + \infty \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\) tại \(x = - 1\).
Cho đồ thị hàm số sau:
Hàm số trên nghịch biến trên khoảng nào?
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( {1;0} \right)\);
\(\left( { - 1;0} \right)\);
\(\left( {0;\,1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\,1} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{4 - x}}{{x + \sqrt {x - 1} }}\) là
\(\left[ {1;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(\left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;1} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \ne - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ne {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
Cho bảng biến thiên sau:
Trục đối xứng của hàm số bậc hai có bảng biến thiên trên là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(y = 1\);
\(y = 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trục đối xứng của hàm số bậc hai là \(x = 1\).
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc hai?
\(\sqrt y = \sqrt x + 1\);
\(y = - x - 2\);
\({x^2} + x - 2 = 0\);
\(y = {x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số bậc hai là \(y = {x^2}\).
Điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(m < \frac{3}{2}\);
\(m > - \frac{3}{2}\);
\(m \ne \frac{3}{2}\);
\(m > \frac{3}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\)
Cho hàm số bậc hai \(y = \left( {m + 2} \right){x^2} + 2m + 1\). Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\).
\(m = 0\);
\(m = - 2\);
\(m = 0\) và \(m = - 2\);
\(m > - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để hàm số là hàm bậc hai và đạt giá trị lớn nhất thì
+) \(m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\)
+) \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{0^2} - 4.\left( {m + 2} \right).\left( {2m + 1} \right)}}{{4.\left( {m + 2} \right)}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {2{m^2} + 5m + 2} \right) = 4\left( {m + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 5m + 2 = m + 2\)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m = 0\)
\( \Leftrightarrow 2m\left( {m + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 0\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\).
Giá trị của\[{\rm{sin45}}^\circ \] bằng
\(\sqrt 3 \);
\(1\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{\rm{sin45}}^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Trong tam giác\[ABC\], khẳng định nào sau đây đúng?
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\];
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} + bc.\cos A\];
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.\cos A\];
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - bc.\cos A\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \[ABC\] ta có:
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\].
Cho tam giác \(ABC\) có \(AC = 2,BC = 5\) và \(\widehat B = 18^\circ \). Số đo của góc \(A\) là
\(50^\circ 35'\);
\(51^\circ 34'\);
\(77^\circ 25'\);
\(7^\circ 5'\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin A = \frac{{BC.\sin B}}{{AC}} = \frac{{5.\sin 18^\circ }}{2} \approx 0,77\).
⇒ \(\widehat A \approx 50^\circ 35'\).
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \[A\], đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \[60^\circ \]. Tàu \[B\] chạy với tốc độ \[20\] hải lí một giờ. Tàu \[C\] chạy với tốc độ \[15\] hải lí một giờ (tham khảo hình vẽ). Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
\[61\] hải lí;
\[36\] hải lí;
\[21\] hải lí;
\[18\] hải lí.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Sau hai giờ tàu \[B\] đi được \[40\] hải lí, tàu \[C\] đi được \[30\] hải lí. Vậy tam giác \[ABC\] có \[AB = 40,\,AC = 30\] và \[\widehat A = 60^\circ \].
Áp dụng định lí côsin vào tam giác \[ABC\], ta có:
\[{a^2} = {b^2} + {c^2}--2bc.cosA = {30^2} + {40^2}--2.30.40.cos60^\circ = 1300\]
Vậy \[BC = \sqrt {1300} \approx 36\] (hải lí).
Sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng \[36\] hải lí.
Cho hình vuông\(ABCD\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) bằng vectơ nào sau đây?
\(\overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {DC} \);
\(\overrightarrow {AD} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (tính chất hình bình hành).
Cho hình thang vuông ABCD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} \) ngược hướng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó C đúng và B sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} \) cùng hướng. Do đó D sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} \) không cùng phương. Do đó A sai.
Cho hình chữ nhật \(MNPQ\) có chiều dài bằng \(8\,\,cm\) và chiều rộng bằng \(6\,\,cm\). Có bao nhiêu vectơ có độ dài bằng \(5\,\,cm\)?
\(2\);
\(4\);
\(8\);
0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét hình chữ nhật \(MNPQ\) có hai đường chéo có độ dài đường chéo là \(\sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\,\,cm\).
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(MP\) và \(NQ\).
Khi đó \(OM = OP = ON = OQ = \frac{1}{2}.10 = 5\,\,cm\).
Vì vậy có 8 vectơ là: \(\overrightarrow {OM} ,\,\,\overrightarrow {OP} ,\,\,\overrightarrow {ON} ,\,\,\overrightarrow {OQ} ,\,\,\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {PO} ,\,\,\overrightarrow {NO} ,\,\,\overrightarrow {QO} \) có độ dài bằng \(5\,\,cm\).
Cho 3 điểm \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {NP} \];
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {NP} \]\[;\]
\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PM} \]\[;\]
\[\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {NP} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Áp dụng quy tắc hình bình hành:
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MQ} \ne \overrightarrow {NP} \] (với \[Q\] là điểm thỏa mãn \[MNQP\] là hình bình hành). Do đó A sai.
+) Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {NP} \]. Do đó B sai.
\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {PM} \]. Do đó C đúng.
+) Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:
\[\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {NP} \]. Do đó D sai.
Nhận xét nào dưới đây là đúng?
Hiệu hai vectơ là một số;
Tổng hai vectơ là một vectơ;
Hai vectơ đối nhau là hai vectơ có hiệu bằng vectơ không;
Từ hiệu hai vectơ không thể chuyển về tổng hai vectơ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tổng, hiệu hai vectơ là một vectơ. Do đó A sai, B đúng.
Hai vectơ đối nhau là hai vectơ có tổng bằng vectơ không. Do đó C sai
Từ hiệu hai vectơ có thể chuyển về tổng hai vectơ. Do đó D sai.
Kết quả bài toán tính: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} \] là:
\[\overrightarrow {DB} \];
\[2\overrightarrow {BD} \];
\[\overrightarrow 0 \];
\[ - \overrightarrow {AD} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} ) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \].
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng a và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Độ dài \[\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right|\] bằng
\(a\sqrt 3 \);
\(a\);
\(a\sqrt 2 \);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Do đó tam giác \(ABC\) đều
Suy ra \(AB = BC = AC = a\)
Ta có: \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\].
Ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi
tồn tại số thực \(k\) dương thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \);
tồn tại số thực \(k\) âm thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \);
tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \);
tât cả các đáp án trên đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \);
Cho hình thang \(MNPQ\) có \(MN\,{\rm{//}}\,PQ,\,MN = 2PQ\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = - 2\overrightarrow {NP} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(MN\,\,{\rm{//}}\,\,PQ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) cùng phương.
Lại có vectơ \(\overrightarrow {MN} \) có hướng đi từ trái sang phải, còn vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) có hướng đi từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) ngược hướng. Mà \(MN = 2PQ\).
Vậy \(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \).
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]. Biểu diễn \[\overrightarrow {IC} \] theo các vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] ta được
\(\overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \].
Vậy \[\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \].
Cho hình vuông ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\);
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là D
+) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD hay OA ⊥ OB nên \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\). Do đó A đúng.
+) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = AC.AD.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = AC.AD.cos\widehat {DAC}\)
Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\)(tính chất hình vuông) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \). Do đó B đúng.
+) Ta có: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = OA.OC.cos\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OC} } \right) = OA.\frac{1}{2}AC.cos\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} \). Do đó C đúng.
+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \ne AB.CD.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \). Do đó D sai.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Độ dài cạnh \(AB\) và \(AC\) là
\(AB = a,AC = a\sqrt 2 \);
\(AB = a\sqrt 2 ,AC = a\sqrt 2 \);
\(AB = a,AC = a\);
\(AB = a\sqrt 2 ,AC = a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có:
\(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = AM.BC.cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 .cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABM\), có:
\(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} - 2.AM.BM.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = {a^2}\)
\( \Leftrightarrow AB = a\)
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 3{a^2} - {a^2} = 2{a^2}\)
\( \Leftrightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Vậy \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt 2 \).
Trong các số sau, số nào là số gần đúng?
Dân số Việt Nam năm 2020 là \(97,34\) triệu người;
Số gia đình văn hóa ở khu phố mới là \(45\);
Đường bờ biển Việt Nam dài khoảng \(3\,\,260\,\,km\);
Vào năm 2022, Việt Nam có \(63\) tỉnh, thành phố trực thuộc trung ương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số gần đúng là \(3\,\,260\,\,km\).
Chu vi của hình chữ nhật có chiều rộng là \(x = 3,214 \pm 0,02\) và chiều dài là \(y = 9,914 \pm 0,05\) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải là
\(\overline C = 26,256 \pm 0,14,{\Delta _C} \le 0,14\);
\(\overline C = 26,256 \pm 0,07,{\Delta _C} \le 0,07\);
\(\overline C = 26,256 \pm 0,05,{\Delta _C} \le 0,05\);
\(\overline C = 26,256 \pm 0,1,{\Delta _C} \le 0,1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(3,194 \le x \le 3,234\) và \(9,864 \le y \le 9,964\)
Khi đó chu vi \(\overline C = 2\left( {x + y} \right)\) của hình chữ nhật nằm trong khoảng: \(26,116 \le \overline C \le 26,396\)
Suy ra \(26,256 - 0,14 \le \overline C \le 26,256 + 0,14\) hay \(\overline C = 26,256 \pm 0,14\).
Ta có độ chính xác là \(d = 0,14\).
Suy ra sai số tuyệt đối của \(C\) là: \({\Delta _C} \le 0,14\).
Tỉ trọng sản lượng cá biển khai thác, cá nuôi, tôm nuôi ở đồng bằng sông Cửu Long và đồng bằng sông Hồng so với cả nước được biểu diễn bằng biểu đồ sau:
Nhận xét nào dưới đây là đúng?
Sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSCL gấp \(2\) lần sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSH;
ĐBSH không có sản lượng tôm nuôi;
Sản lượng cá nuôi ở ĐBSCL gấp gần \(5\) lần sản lượng cá nuôi ở ĐBSH;
Sản lượng tôm nuôi ở ĐBSCL chiếm \(50\% \) sản lượng tôm nuôi của cả nước.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSCL chiếm \(35\% \) cả nước, sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSH chiếm \(5\% \) cả nước nên sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSCL gấp \(7\) lần sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSH. Vì vậy A sai.
+) Sản lượng tôm nuôi ở ĐBSH chiếm khoảng \(2\% \) cả nước. Vì vậy B sai.
+) Sản lượng cá nuôi ở ĐBSCL chiếm 70% cả nước, sản lượng cá nuôi ở ĐBSH chiếm \(15\% \) cả nước nên sản lượng cá nuôi ở ĐBSCL gấp gần \(5\) lần sản lượng cá nuôi ở ĐBSH. Vì vậy C đúng.
+) Sản lượng tôm nuôi ở ĐBSCL chiếm khoảng \(75\% \) sản lượng tôm nuôi của cả nước. Vì vậy D sai.
Có bao nhiêu số đặc trưng cho số đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu?
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là: Số trung bình, số trung vị, mốt.
Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, \(1\,\,mg = 0,001\,g\)) trong \(100g\) một số loại ngũ cốc được cho như bảng sau:
0 | 340 | 70 | 220 | 180 | 210 | 220 | 100 | 130 | 180 |
140 | 180 | 220 | 140 | 290 | 50 | 220 | 180 | 100 | 210 |
Mốt của dãy số liệu là
\(180\);
\(220\);
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có bảng tần số sau:
Hàm lượng Natri \(\left( {mg} \right)\) | 0 | 50 | 70 | 100 | 130 | 140 | 180 | 210 | 220 | 290 | 340 |
Tần số | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 4 | 2 | 4 | 1 | 1 |
Mốt của số liệu là \(180\) và \(220\).
Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong một năm (kg/sào) của \(20\) hộ gia đình được thống kê trong bảng sau:
111 | 112 | 113 | 112 | 115 | 114 | 114 | 114 | 116 | 115 |
113 | 114 | 113 | 115 | 112 | 114 | 116 | 117 | 115 | 113 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có bảng tần số sau:
Giá trị | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 |
Tần số | 1 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 | 1 |
Mẫu số liệu có 20 giá trị.
Do đó trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ \(10\) và \(11\): \({Q_2} = \frac{{114 + 114}}{2} = 114\).
Nửa số liệu bên trái \(111;\,\,112;\,\,112;\,\,112;\,\,113;\,\,113;\,\,113;\,\,113;\,\,114;\,\,114\) có tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ \(5\) và \(6\): \({Q_1} = \frac{{113 + 113}}{2} = 113\).
Nửa số liệu bên phải \(114;\,\,114;\,\,114;\,\,115;\,\,115;\,\,115;\,\,115;\,\,116;\,\,116;\,\,117\) có tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị thứ \(15\) và \(16\): \({Q_3} = \frac{{115 + 115}}{2} = 115\).
Vậy khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 115 - 113 = 2\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm). Có hai địa điểm \(A,B\) cùng nằm trên một tuyến quốc lộ thẳng. Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) là \(30,5\,\,km\). Một xe máy xuất phát từ \(A\) lúc \(7\) giờ theo chiều từ \(A\) đến \(B\). Lúc \(9\) giờ, một ô tô xuất phát từ \(B\) chuyển động thẳng đều với vận tốc \(80\,\,km/h\) theo cùng chiều với xe máy. Chọn \(A\) làm mốc, chọn thời điểm \(7\) giờ làm mốc thời gian và chọn chiều từ \(A\) đến \(B\) là chiều dương. Phương trình chuyển động của xe máy là \(y = 2{t^2} + 36t\), trong đó \(y\) tính bằng ki lô mét, \(t\) tính bằng giờ. Biết rằng đến lúc ô tô đuổi kịp xe máy thì hai xe dừng lại và vị trí đó cách điểm \(B\) là \(x\,\,km\). Tìm giá trị của \(x\).
Hướng dẫn giải
Phương trình chuyển động của ô tô là: \(y = 30,5 + 80.\left( {t - 2} \right) = 80t - 129,5\).
Thời điểm \(t\) ô tô đuổi kịp xe máy tương ứng với giao điểm của hai đồ thị \(y = 80t - 129,5\)và \(y = 2{t^2} + 36t\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(2{t^2} + 36t = 80t - 129,5\)
\( \Leftrightarrow 2{t^2} - 44t + 129,5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 18,5\\t = 3,5\end{array} \right.\)
Do đó ô tô đuổi kịp xe máy sớm nhất ứng với thời điểm \(t = 3,5\) tại vị trí cách điểm \(A\) là \(80.3,5 - 129,5 = 150,5\,\,km\) nên cách điểm \(B\) \(150,5 - 30,5 = 120\,\,km\).
Vậy \(x = 120\,\,km\).
(1,0 điểm).Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = x\overrightarrow {AC} \).
a) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Tìm \(x\) để ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng. Với giá trị tìm được của \(x\), hãy tính tỉ số \(\frac{{DG}}{{DE}}\).
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Xét tam giác ABC, có:
AG→=23AM→=23.12AB→+AC→=13AB→+13AC→
b) Ta có: \(\overrightarrow {DG} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} \)
Để \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng thì tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {DG} = k\overrightarrow {DE} \)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = k\left( {2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(x = \frac{2}{5}\) thì \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng và khi đó \(\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}\).
(1,0 điểm). Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một sản phẩm mới, người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm (thang điểm 100) kết quả như sau:
80 | 65 | 51 | 58 | 77 | 12 | 75 | 58 |
73 | 79 | 42 | 62 | 84 | 56 | 51 | 82 |
a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét về các kết quả nhận được.
b) Tìm giá trị bất thường.
Hướng dẫn giải
Ta có bảng tần số sau:
Điểm | 12 | 42 | 51 | 56 | 58 | 62 | 65 | 73 | 75 | 77 | 79 | 80 | 82 | 84 |
Tần số | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
a) Số trung bình cộng:
\(\overline x = \frac{{12 + 42 + 51.2 + 56 + 58.2 + 62 + 65 + 73 + 75 + 77 + 79 + 80 + 82 + 84}}{{16}} \approx 63\)
Phương sai:
\({S^2} = \frac{{{{\left( {12 - 63} \right)}^2} + {{\left( {42 - 63} \right)}^2} + {{\left( {51 - 63} \right)}^2}.2 + {{\left( {56 - 63} \right)}^2} + {{\left( {58 - 63} \right)}^2}.2 + {{\left( {62 - 63} \right)}^2}}}{{16}} + \)
\(\frac{{{{\left( {65 - 63} \right)}^2} + {{\left( {73 - 63} \right)}^2} + {{\left( {75 - 63} \right)}^2} + {{\left( {77 - 63} \right)}^2} + {{\left( {79 - 63} \right)}^2} + {{\left( {80 - 63} \right)}^2} + {{\left( {84 - 63} \right)}^2}}}{{16}}\)
≈ 326.
Độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {{S^2}} \approx 18\).
Nhận xét: Mức độ chênh lệch giữa các điểm là khá lớn.
b) Dãy số liệu có tất cả 16 số liệu, nên số trung vị là trung bình cộng của dãy số liệu ở vị trí 8 và vị trí thứ 9 ta được: \({Q_2} = \frac{{62 + 65}}{2} = 63,5\).
Nửa số liệu bên trái gồm: 12; 42; 51; 51; 56; 58; 58; 62 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = \frac{{51 + 56}}{2} = 53,5\).
Nửa số liệu bên trái gồm: 65; 73; 75; 77; 79; 80; 82; 84 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = \frac{{77 + 79}}{2} = 78\).
Suy ra khoảng tứ phân vị là: ∆Q = Q3 – Q1 = 78 – 53,5 ≈ 24,5.
Ta có: Q3 + 1,5.∆Q = 114,75 và Q1 – 1,5.∆Q = 16,75.
Ta thấy 12 < 16,75 nên 12 là giá trị ngoại lệ.
