Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
f(x) = 3x2 + 2x – 4 là tam thức bậc hai;
f(x) = 3x – 8 là tam thức bậc hai;
f(x) = x3 + 4x – 1 là tam thức bậc hai;
f(x) = x4 – x2 + 35 là tam thức bậc hai.
Đáp án: A
Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) và ∆ = b2 – 4ac. Cho biết dấu của ∆ khi f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ.
∆ ≤ 0;
∆ = 0;
∆ > 0;
∆ < 0.
Đáp án: D
Biệt thức ∆ của tam thức bậc hai f(x) = – x2 – 4x + 5 bằng
34;
35;
36;
37.
Đáp án: C
Cho tam thức f(x) = x2 – 8x + 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm;
f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ;
f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;
f(x) < 0 khi x < 4.
Đáp án: C
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
x2 – 3x + 2 > 0 khi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (2; + ∞);
x2 – 3x + 2 ≤ 0 khi x ∈ [1; 2];
x2 – 3x + 2 < 0 khi x ∈ [1; 2);
x2 – 3x + 2 ≥ 0 khi x ∈ (– ∞; 1] ∪ [2; + ∞).
Đáp án: C
Bất phương trình nào dưới đây không là bất phương trình bậc hai một ẩn?
2x2 – 15x + 35 > 0;
x2 + x – 5 ≤ 0;
x4 + x2 – 8 > 0;
2x2 + 5x – 1 ≥ 4x2 + 8x.
Đáp án: C
x = 1 là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
x2 – 3x + 1 > 0;
x2 + x – 5 > 0;
x2 + x + 3 < 0;
x2 – 2x – 1 < 0.
Đáp án: D
Giá trị nào dưới đây không là một nghiệm của bất phương trình – x2 – 3x + 4 ≥ 0?
x = 0;
x = – 1;
x = 2;
x = – 4.
Đáp án: C
Tập nghiệm của bất phương trình x2 – 7x + 10 < 0 là
S = (– ∞; 2] ∪ [5; + ∞);
S = (– ∞; 2) ∪ (5; + ∞);
S = [2; 5];
S = (2; 5).
Đáp án: D
Phương trình x2 – (m + 1)x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
m > 1;
– 3 < m < 1;
m ≤ – 3 hoặc m ≥ 1;
– 3 ≤ m ≤ 1.
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 – (m + 1)x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ < 0 ⇔ (m + 1)2 – 4 < 0
⇔ m2 + 2m – 3 < 0 ⇔ – 3 < m < 1.
Giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 11} = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \) ?
x = – 5;
x = \(\frac{1}{3}\);
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Đáp án: C
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) ta được
4 – 3x2 = 4x2 – 4x + 1.
Sau khi thu gọn ta được 7x2 – 4x – 3 = 0. Từ đó tìm được x = 1 hoặc \(x = - \frac{3}{7}\).
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 1.
Giá trị nào sau đây là một nghiệm của phương trình\(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3} \)?
2;
4;
12;
20.
Đáp án đúng là: A
Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.
Cách 2. Giải phương trình
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3} \) ta được
3x2 – 6x + 1 = x2 – 3.
Rút gọn ta được x2 – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 9\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
(1; 3);
(1; – 3);
(3; – 9);
(3; 9).
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 1) và B(5; – 2). Độ dài đoạn thẳng AB là
5;
\(\sqrt {37} \);
\(\sqrt {17} \);
25.
Đáp án: A
Cho ba vectơ \(\overrightarrow x = \left( {1;\, - 2} \right)\), \(\overrightarrow y = \left( {5;\,\,10} \right)\), \(\overrightarrow z = \left( { - \frac{1}{2};\,1} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z \) cùng phương;
Không có cặp vectơ nào cùng phương trong ba vectơ trên.
Đáp án: B
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(2; – 1) và N(4; 1). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
(– 2; – 2);
(2; 2);
(6; 0);
(2; – 2).
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {3;\,\,4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) là
(11; 11);
(11; – 13);
(11; 13);
(7; 13).
Đáp án đúng là: A
\(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) = (2; – 1) + 3 . (3; 4) = (2; – 1) + (9; 12) = (2 + 9; – 1 + 12) = (11; 11).
Số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow x = \left( {1;\,\, - 2} \right)\) và \[\overrightarrow y = \left( { - 2;\,\, - 6} \right)\] bằng
30°;
45°;
60°;
135°.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y } \right) = \frac{{\overrightarrow x \cdot \overrightarrow y }}{{\left| {\overrightarrow x } \right| \cdot \left| {\overrightarrow y } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y } \right) = 45^\circ \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là
\(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,1} \right)\).
Đáp án: C
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: 3x – 2y + 4 = 0?
A(1; 2);
B(0; 2);
C(2; 0);
D(2; 1).
Đáp án: B
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 1) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
Đáp án: A
Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng d là
2x + y – 1 = 0;
– 2x + y – 1 = 0;
x + 2y + 1 = 0;
2x + 3y – 1 = 0.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.\)⇒ y = – 9 – 2 . (x – 5) ⇔ 2x + y – 1 = 0.
Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng d: 5x – 12y – 6 = 0 là
13;
– 13;
– 1;
1.
Đáp án đúng là: D
Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến d: 5x – 12y – 6 = 0 là
\(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).
Góc giữa hai đường thẳng a: \(\sqrt 3 \)x – y + 7 = 0 và b: x – \(\sqrt 3 \)y – 2 = 0 là
30°;
90°;
60°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\, - 1} \right)\);
Đường thẳng b có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - \sqrt 3 } \right)\).
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
\(\cos \left( {a,\,\,b} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 30°.
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
2x2 + y2 – 6x – 6y – 8 = 0;
x2 + 2y2 – 4x – 8y – 12 = 0;
x2 + y2 – 2x – 8y + 18 = 0;
2x2 + 2y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Đáp án: D
Đường tròn (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16 có bán kính bằng bao nhiêu?
16;
4;
256;
8.
Đáp án: B
Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm I(– 1; 2), có bán kính bằng 5?
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 25;
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 25;
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 25;
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
Đáp án: C
Phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y – 10 = 0 là
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 9;
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 9;
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 3;
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 3.
Đáp án đúng là: A
Đường tròn có tâm I(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y – 10 = 0 nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆.
Ta có: R = d(I, ∆) = \(\frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 9.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 2)2 = 5. Tiếp tuyến tại điểm M(1; 0) thuộc đường tròn (C) có phương trình là
y = – 2;
x = 1;
x + 2y – 1 = 0;
x – 2y – 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Đường tròn (C) có tâm là I(2; – 2). Tiếp tuyến của (C) tại M(1; 0) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI} = \left( {1;\, - 2} \right)\), nên có phương trình
1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{7} = 1\);
\(\frac{x}{9} + \frac{y}{7} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} - \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\);
\(\frac{x}{9} + \frac{y}{7} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Đáp án: A
Phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm A(1; 2) là
y2 = 4x;
y2 = 2x;
y = 2x2;
y = x2 + 2x – 1.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tiêu cự của (E) bằng
10;
16;
4;
8.
Đáp án đúng là: D
Từ phương trình (E) ta suy ra a = 5, b = 3, do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).
Tiêu cự của (E) là 2c = 8.
Phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai bằng 2 và tiêu cự bằng 4 là
\(\frac{{{x^2}}}{3} - {y^2} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\);
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)\).
Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{a} = 2\\2c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Vậy (H) có phương trình là: \(\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\,\,\,hay\,\,\,{x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
20 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 20 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu của công ty theo x.
b) Số người từ người thứ 21 trở lên của nhóm khách du lịch trong khoảng bao nhiêu thì công ty có lãi? Biết rằng chi phí của chuyến đi là 4 000 000 đồng.
Đáp án:
a) Nếu có thêm x người khách thì số khách là 20 + x (người). Vì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách, khi đó giá vé của mỗi người là:
300 000 – x . 10 000 = 300 000 – 10 000x (đồng).
Theo đó, doanh thu của công ty là:
(20 + x)(300 000 – 10 000x) = – 10 000x2 + 100 000x + 6 000 000.
b) Lợi nhuận của công ty là:
(– 10 000x2 + 100 000x + 6 000 000) – 4 000 000 = – 10 000x2 + 100 000x + 2 000 000.
Xét tam thức bậc hai f(x) = – 10 000x2 + 100 000x + 2 000 000, ta thấy f(x) có hai nghiệm là x1 = – 10, x2 = 20.
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:
Công ty lãi khi f(x) > 0, tức là – 10 < x < 20. Vì x ≥ 0 nên ta có 0 ≤ x < 20.
Vậy số khách từ người thứ 21 trở lên có ít hơn 20 người thì công ty có lãi.
Cho đường thẳng d1: 2x – y – 2 = 0; d2: x + y + 3 = 0 và điểm M(3; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
Đáp án:
Gọi tọa độ các điểm A, B và M là A(xA; yA); B(xB; yB) và M(xM; yM).
Vì A thuộc d1 nên 2xA – yA – 2 = 0. Suy ra yA = 2xA – 2.
Vì B thuộc d2 nên xB + yB + 3 = 0. Suy ra yB = – xB – 3.
Do M là trung điểm của đoạn AB nên
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\\left( {2{x_A} - 2} \right) + \left( { - {x_B} - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{11}}{3}\\{y_A} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\).
Suy ra \(A\left( {\frac{{11}}{3};\,\,\frac{{16}}{3}} \right)\).
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A và điểm M.
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{{16}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AM}}} = \left( {1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {8;\,\, - 1} \right)\).
Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 0) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AM}}} \) nên có phương trình là
8(x – 3) – (y – 0) = 0 hay 8x – y – 24 = 0.
Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng của (C) qua d. Tìm tọa độ giao điểm của (C), (C').
Đáp án:
(C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2.
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua I, vuông góc với d có dạng x + y + m = 0.
I (1; 2) ∈ ∆, suy ra 1 + 2 + m = 0 ⇒ m = – 3.
Do đó, phương trình đường thẳng ∆: x + y – 3 = 0.
Gọi H là giao điểm của ∆ và d. Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} + {\rm{y}} - 3 = 0\\{\rm{x}} - {\rm{y}} - 1 = 0\end{array} \right.\]
Từ đó tìm được H(2; 1).
Chứng minh được H là trung điểm của II' với I' là tâm của (C'). Suy ra I'(3; 0)
Vì (C), (C') đối xứng nhau qua d nên R = R'.
Vậy phương trình (C'): (x – 3)2 + y2 = 4.
Tọa độ giao điểm của (C), (C') là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {\left( {{\rm{y}} - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {\left( {{\rm{y}} - 2} \right)^2} = 4\\{\rm{x}} - {\rm{y}} - 1 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\rm{x}}_{\rm{1}}} = 1 \Rightarrow {{\rm{y}}_{\rm{1}}} = 0\\{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = 3 \Rightarrow {{\rm{y}}_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{A}}\left( {1;0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {3;2} \right)\] là giao điểm của (C), (C').
