Dạng 6: Trắc nghiệm Hình học có đáp án
13 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. S2 là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính S1S2
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Ta cm được:
S3=S4=a22.π.90360−12⋅a22=a24π4−12
S1=S3+S4=a24π4−12+a24π4−12=a22π4−12
S2=12a2−a22π4−12=a2232−π4
S1S2=a22π4−12a2232−π4=π−26−π
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB=5cm, BH=3cm . Tính AH, AC và sin CAH.
Áp dụng Pitago vào tam giác vuông
AB2=AH2+BH2⇒AH2=AB2−BH2=52−32=16⇒AH=4(cm).
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABCAH2=BH.CH⇒CH=AH2BH=163cm
Do đó BC=BH+CH=3+163=253cm
Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABC AC2=CH.BC=163⋅253=4009⇒AC=203cm)
sinCAH^=CHCA=163:203=45
Cho tam giác ABC vuông tại A có SH là đường cao (H thuộc BC). Biết BH=3cm, BC=9cm . Tính độ dài AB
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao ta có: AB2=BH.BC⇒AB2=3.9⇒AB=27=33cm
Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K.
a) Chứng minh ACN^=DMN^. Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.
b) Chứng minh KH song song với AD.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ AC⏜ và sđ AD⏜ để song song với ND .
Ta có .ACN^=12sđAN⏜=12sđDN⏜=DMN^ *
Xét tứ giác MCKH có KCH^=KMH^ (do * ). Do đó, tứ giác MCKH nội tiếp.
b) Do tứ giác MCKH nội tiếp nên HKM^=HCM^=12sđAM⏜=ADM^ .
Suy ra, HK//AD (hai góc đồng vị).
c) Ta có CKM^=12sđMC⏜+sđDN⏜ ; MCK^=12sđMA⏜+sđAN⏜=12sđMC⏜+sđDN⏜.
⇒MKC^=MCK^ ⇒ΔMCKcân tại ⇒MC=MK mà MC=MA⇒MA=MK .
Do đó, ΔMAK cân tại M.
Vì là phân giác góc AMK^ nên MN⊥AK⇒MN⊥DN.
Do đó, là đường kính của đường tròn tâm đường kính .
Suy ra, sđMA⏜+sđAD⏜=180°⇔12sđAC⏜+sđAD⏜=180°.
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.
c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.
d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
Ta có : AHE^=900
AKB^=900 ⇒AHE^+AKB^=1800 (1)
Hai góc AHE^,AKB^ đối nhau (2)
Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.
b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.
Do tứ giác AHEK nội tiếp nên HAK^=KEN^
vì chung và HAK^=KEN^ AHC^=EKC^=900
nên CKCH=CECA⇔CK.CA=CH.CE
c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.
Do KB // FN nên EKN^=KNF^,MKB^=KFN^ (3)
mà MKB^=EKN^ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4)
(3), (4) ⇒KNF^=KFN^ nên tam giác KFN cân tại K.
d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.
Ta có vuông tại K.
mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K ⇒KEC^=450
OAK^=OKA^=KEC^=450⇒AOK^=900 hay
mà MN⊥AB nên OK //MN
Nhằm tiếp tục đẩy mạnh phong trào xây dựng trường học Xanh-Sạch-Đẹp, trường THCS A đã thiết kế một khuôn viên để trồng hoa có dạng hình tam giác vuông (như hình bên). Biết rằng tam giác MNK vuông tại M , MN=6m, MK=8m, MH vông góc với NK , MN=6m, MK=8 m, MH vuống góc NK . Nhà trường trồng hoa mười giờ dọc theo các đoạn NK , MH.
Tính độ dài các đoạn NK, MH. Biết chi phí trồng hoa mười giờ là đồng trên mỗi mét chiều dài. Tính tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó.
Tam giác MNK vuông tại M nên NK=MN2+MK2=62+82=10 m.
Lại có MH⋅NK=MN⋅MK nên MH=MN⋅MKNK=6⋅810=4,8 m.
Tổng chiều dài NK và MH là 10+4,8=14,8 m.
Tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó là 20000⋅14,8=296000 đồng.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng 45 độ . Gọi D , E lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B , C lên AC , AB; H là giao điểm của BD và CE .a) Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp.b) Chứng minh DE.AB=BC.AD và tính tỉ số ED/BC .c) Chứng minh HE+HD=BE+CD .d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh AI vuông góc với DE .
a) Theo giả thiết . Khi đó tứ giác BECD có đỉnh E và D cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác BECD nội tiếp.
b) Tứ giác BECD nội tiếp nên BED^ (cùng bù với ).
Xét ΔADE và ΔABC có AED^=ACB^ và A^ chung nên ΔADE∽ΔABC.
Do đó ADDE=ABBC⇔DE⋅AB=BC⋅AD.
Từ ADDE=ABBC⇒DEBC=ADAB.
Vì ΔABD vuông tại D nên ta có
DEBC=ADAB=cosBAD^=cos45°=22.
c) ΔABD vuông tại D và BAD^=45° nên ABD^=45°⇒EBH^=45°
⇒ΔEBH vuông cân tại E ⇒HE=BE. (1)
Chứng minh tương tự ΔCDH vuông cân tại D ⇒HD=CD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra HE+HD=BE+CD.
d) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC .
Ta có thuộc trung trực của ; E thuộc trung trực của AC (vì tam giác AEC vuông cân tại E) suy ra EI⊥AC⇒EI⊥AD. (3)
Chứng minh tương tự DI⊥AB⇒DI⊥AE . (4)
Từ (3) và (4) suy ra là trực tâm của ΔAED⇒AI⊥DE .
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), đường cao AH ( H thuộc BC) lấy điểm D sao cho BD=BA , vẽ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD)
a) Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh DA.HE=DH.AC
c) Chứng minh tam giác EHC cân
Ta có: AHC^=KEC^=90° mà H, E là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn AC
Suy ra tú giác AHEC nội tiếp
b. Xét ΔADC và ΔHDE có:
ADC^=HDE^ ( đối đỉnh)
DAC^=DHE^ ( cùng nhìn EC trong tứ giác nội tiếp AHEC)
⇒ΔADC∽ΔHDE
⇒DACA=DHEH⇒DA.HE=DH.AC\
c. Ta có: BA=BD (gt) suy ra tam giác ABD cân tại B ⇒BAD^=BDA^
Mà BDA^=CDE^ ( đối đỉnh)
⇒90°−BDA^=90°−CDE^⇒DAC^=DCE^
Mà DAC^=EHC^ (cùng nhìn cung EC) ⇒DCE^=EHC^
⇒ΔHEC cân tại E
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của BIC^.
c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng ΔAMF∽ΔAON và BC//DN .
d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R.
a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B AB ⊥ OB hay ABO^=900
Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C AC ⊥ OC hay ACO^=900 .
Tứ giác ABOC có ACO^=ABO^=900 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
b) Xét ΔEMBvà ΔECN có:
EMB^=ECN^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)
EBM^=ENC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
⇒ΔEMB∽ΔECN(gg)
⇒EMEC=EBEN⇒EB.EC=EM.EN.
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên AOB^=AOC^ và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vì I là trung điểm MN ⇒OI⊥MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
⇒AIO^=900I nằm trên đường tròn đường kính OA.
Xét đường tròn đường kính OA ta có:
AIC^=AOC^;AIB^=AOB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà AOB^=AOC^
⇒AIC^=AIB^hay IA là phân giác của .
d) Xét ΔAOC vuông tại C ta có:
OA2=AC2+OC2
⇒AC2=OA2−OC2=4R2−R2=3R2
⇒AC=R3.
Xét ΔAOC vuông tại C ta có: sinCAO^=OCOA=R2R=12
⇒CAO^=300⇒CAB^=600
có AB = AC và CAB^=600 suy ra ΔABC là tam giác đều.
đường cao h=AB32=3R2
SBCA=12h.AB=12⋅3R2⋅R3=3R234(dvdt)
Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn (O) (với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm trong góc ASB, điểm C nằm giữa S và B. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CB.
a) Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn
b) Chứng mnh rằng SA2=SB.SC
c) Gọi MN là đường kính bất kỳ của đường tròn (O) sao cho ba điểm S, M, N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất
a) Vì H là trung điểm của BC ⇒OH⊥BC⇒OHC^=90°
Tứ giác OASH có : OAS^+OHS^=90°+90°=180°⇒OASH là tứ giác nội tiếp
b) Xét ΔSAB và ΔSCA có : S^ chung; SBA^=SAC^ (cùng chắn cung AC)
⇒ΔSAB∽ΔSCA(g.g)
c) Kẻ SK⊥MN
Ta có SSMN=12SK.MN≤12SO.MN(vì ΔOKS vuông tại O )
Vậy để SSMNlớn nhất thì SO=SK⇒H≡O
⇒SO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao
⇒ΔSMN cân tại S
⇒MN⊥SO
Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.
a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)
b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức V=13S.h , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m3 thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)
a) Vì ABCD là hình vuông ⇒AC=AD2=230.2
⇒AO=AC2=23022=1152
Tam giác SAO vuông tại O nên áp dụng Pytago ta có:
AO2+SO2=SA2
hay 11522+h2=2142⇒h=2142−11522≈139,1
b) T a có diện tích mặt đáy là: 230.230=52900 (m2)
Thể tích của kim tự tháp là V=13Sh=13.52900.139,1≈2453000 (m2)
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4 cm, HE = 2 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
Xét ΔADE vuông tại D,có đường cao AH⇒AD2=AH.AE=4.(4+2)=24 nên AD=26 (cm)Lại có: 1AH2=1AB2+1AD2 hay 142=1AB2+1262⇒AB=43 (cm)⇒SABCD=AB.AD=43.26=242 (cm2)
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: AD⋅AN=AB⋅AM
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng
d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN.
a) Xét tứ giác AHCK có AHK^=90∘ (gt)
CK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, AC là đường kính nên AC⊥CK.
Suy ra ACK^=90∘
Vậy hai đỉnh H và C cùng nhìn AK dưới một góc vuông
nên AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Vì ABCD là hình chữ nhậ nên ADB^=ACB^
AMN^=ACB^ (cùng phụ với BAC^ )
Do đó AMN^=ADB^
Xét ΔAMN và ΔADB ta có:
DAB^=MAN^=90∘
ADB^=AMN^ (cmt)
Nên ΔAMN~ΔADB (g.g)
Suy ra AMAD=ANAB⇔AD⋅AN=AB⋅AM
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng
Giả sử AE cắt BD tại I, ta chứng minh I≡H . Thật vậy:
Tam giác AMN vuông tại A có E là trung điểm MN nên tam giác AEN cân tại E, do đó EAN^=ENA^ (3)
Theo chứng minh trên: ADB^=AMN^ (4)
Từ (3) và (4) ta có: EAN^+ADB^=AMN^+ENA^=90∘ hay AID^=90∘
Suy ra AI⊥BD tại I. Do đó I≡H hay A,H,E thẳng hàng.
d) Đặt AN=x;AM=yx>0;y>0. Khi đó AC=AB2+BC2=10cm và:
AM⋅AB=AN⋅AD1AN2+1AM2=1AC2⇔4x=3y1x2+1y2=1100⇔x=252y=503
Mặt khác: .AM⋅AN=AC⋅MN⇒MN=1256cm
