Dạng 4: Chứng minh biểu thức.

Ta có: $\begin{array}{l}\frac{b^2+3}{{(b-2)}^4}-\frac{5b-1}{{(2-b)}^4}+\frac{b+6}{{(b-2)}^4}\\ =\frac{b^2+3-5b+1+b+6}{{(b-2)}^4}\\ =\frac{b^2-4b+10}{{(b-2)}^4}=\frac{{(b-2)}^2+6}{{(b-2)}^4}.\end{array}$

Ta thấy ${(b-2)}^2+6$ luôn dương với mọi  $b\ne 2$

              ${(b-2)}^4$ luôn dương với mọi $b\ne 2$

Vậy biểu thức luôn dương với mọi $b\ne 2$

Ta có: $\begin{array}{l}\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}\\ =\frac{c-a+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\ =\frac{b-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\ =-\frac{1}{(b-c)(c-a)}.\end{array}$

Nên $\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}=-\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}=0.$