Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

a) Dễ thấy hàm fx=x3−3x+1 liên tục trên R . Ta có:

f−2=−1f−1=3⇒f−2.f−1<0⇒ tồn tại một số a1∈−2;−1:fa1=01.

f0=1f1=−1⇒f0.f1<0⇒ tồn tại một số a2∈0;1:fa2=02.

f1=−1f2=3⇒f1.f2<0⇒ tồn tại một số a3∈1;2:fa3=03.

- Do ba khoảng (-2;1), (0;1)  và (1;2)  đôi một không giao nhau nên phương trình x3−3x+1=0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

- Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên x3−3x+1=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

b) Đặt 1−x3=t⇔x=1−t3⇒2t3−6t+1=0

- Xét hàm số ft=2t3−6t+1 liên tục trên R

- Ta có: f−2.f−1=−3.5<0f0.f1=1.−3<0f1.f2=−3.5<0⇒ tồn tại 3 số t1, t2 và t3 lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là −2;−1, 0;1 và 1;2 sao cho ft1=ft2=ft3=0 và do đây là phương trình bậc 3 nên ft=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị t1, t2 và t3 ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn x=1−t3 và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

a) Xét fx=x5−3x+3.

limx→+∞fx=+∞⇒ tồn tại một số x1>0 sao cho fx1>0.

limx→−∞fx=−∞⇒ tồn tại một số x2<0 sao cho fx2<0.

Từ đó fx1.fx2<0⇒ luôn tồn tại một số x0∈x2;x1:fx0=0 nên phương trình x5−3x+3=0 luôn có nghiệm.

b) Xét fx=x4+x3−3x2+x+1 liên tục trên R

 Ta có: f−1=−3<0

limx→+∞fx=+∞⇒ tồn tại một số a > 0  sao cho f(a) > 0

Từ đó ⇒x2−x−3=0 nên luôn tồn tại một số x0∈0;a thỏa mãn fx0=0 nên phương trình x4+x3−3x2+x+1=0 luôn có nghiệm

a) Xét m=1m=−1. Phương trình có dạng x2−x−3=0 nên PT có nghiệm

Với m≠1m≠1giả sử fx=1−m2x+13+x2−x−3

f(x) liên tục trên R nên f(x)  liên tục trên [-1;0]

Ta có f−1=m2+1>0; f0=−1<0⇒f−1.f0<0

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

b) Đặt fx=cosx+mcos2x⇒fx liên tục trên R

Ta có fπ4=12>0; f3π4=−12<0⇒fπ4.f3π4<0

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

c) Đặt fx=m2cosx−2−2sin5x−1⇒fx liên tục trên R

Ta có fπ4=−2−1<0; f−π4=2−1>0⇒fπ4.f3π4<0

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m