Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

a) Dễ thấy hàm $f\left(x\right)=x^3-3x+1$ liên tục trên R . Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=-1\\ f\left(-1\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(-1\right)<0\Rightarrow$ tồn tại một số $a_1\in \left(-2;-1\right):f\left(a_1\right)=0\left(1\right).$

$\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=1\\ f\left(1\right)=-1\end{array}\right.\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0\Rightarrow$ tồn tại một số $a_2\in \left(0;1\right):f\left(a_2\right)=0\left(2\right).$

$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-1\\ f\left(2\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)<0\Rightarrow$ tồn tại một số $a_3\in \left(1;2\right):f\left(a_3\right)=0\left(3\right).$

b) Đặt $\sqrt[3]{1-x}=t\iff x=1-t^3\Rightarrow 2t^3-6t+1=0$

- Xét hàm số $f\left(t\right)=2t^3-6t+1$ liên tục trên R

- Ta có: $\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right).f\left(-1\right)=-3.5<0\\ f\left(0\right).f\left(1\right)=1.\left(-3\right)<0\\ f\left(1\right).f\left(2\right)=-3.5<0\end{array}\right.\Rightarrow$ tồn tại 3 số $t_1,t_2$ và $t_3$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $\left(-2;-1\right),\left(0;1\right)$ và $\left(1;2\right)$ sao cho $f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)=f\left(t_3\right)=0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f\left(t\right)=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị $t_1,t_2$ và $t_3$ ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn $x=1-t^3$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

a) Xét $f\left(x\right)=x^5-3x+3.$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_1>0$ sao cho $f\left(x_1\right)>0.$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_2<0$ sao cho $f\left(x_2\right)<0.$

Từ đó $f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)<0\Rightarrow$ luôn tồn tại một số $x_0\in \left(x_2;x_1\right):f\left(x_0\right)=0$ nên phương trình $x^5-3x+3=0$ luôn có nghiệm.

b) Xét $f\left(x\right)=x^4+x^3-3x^2+x+1$ liên tục trên R

 Ta có: $f\left(-1\right)=-3<0$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \Rightarrow$ tồn tại một số a > 0  sao cho f(a) > 0

a) Xét $\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.$. Phương trình có dạng $x^2-x-3=0$ nên PT có nghiệm

Với $\left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m\ne 1\end{array}\right.$giả sử $f\left(x\right)=\left(1-m^2\right){\left(x+1\right)}^3+x^2-x-3$

f(x) liên tục trên R nên f(x)  liên tục trên [-1;0]

Ta có $f\left(-1\right)=m^2+1>0;\text{ f}\left(0\right)=-1<0\Rightarrow f\left(-1\right).\text{f}\left(0\right)<0$

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

b) Đặt $f\left(x\right)=\cos x+m\cos 2x\Rightarrow f\left(x\right)$ liên tục trên R

Ta có $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}>0;\text{ f}\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0\Rightarrow f\left(\frac{\pi }{4}\right).\text{f}\left(\frac{3\pi }{4}\right)<0$

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

c) Đặt $f\left(x\right)=m\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)-2\sin 5x-1\Rightarrow f\left(x\right)$ liên tục trên R

Ta có $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}-1<0;f\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}-1>0\Rightarrow f\left(\frac{\pi }{4}\right).\text{f}\left(\frac{3\pi }{4}\right)<0$

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m