Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn có đáp án

a) $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+x+2}{x^3+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+1+\left(x+1\right)}{x^3+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(1+\frac{1}{x^2-x+1}\right)=\frac{4}{3}$

Do đó, hàm số này liên tục tại x = -1

$\left.b\right)\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2-3x+4\right)\text{ =2; }\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x+1\right)=5$

Mà $f\left(x\right)=5$ khi x = 2 nên $\Rightarrow \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Do đó, hàm số đã cho liên tục khi $x\ge 2$

a) Hàm số f(x) liên tục với $\forall x\ne 2$

Do đó f(x) liên tục trên $ℝ\iff f\left(x\right)$ liên tục tại $x=2\iff \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right) \left(2\right)$

Ta có 

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+1\right)=2+1=3;f\left(2\right)=m.$

Khi đó $\left(1\right)\iff 3=m\iff m=3$

b) Ta có: 

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(mx+1\right)=m+1;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+x\right)=1+1=2;f\left(1\right)=2.$

Từ $\text{YCBT}\iff \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff m+1=2\iff m=1.$