Dạng 3: Hình cầu có đáp án

* Tìm hướng giải

Để tính được hiệu diện tích của hai mặt cầu ta cần biết các bán kính của hai mặt cầu.

* Trình bày lời giải

Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r.

Ta có $R–r=3$ hay  $R=r+3.$

Thể tích hình cầu lớn là: ${\text{V}}_1=\frac{4}{3}\pi {\text{R}}^3$ Thể tích hình cầu nhỏ là:${\text{V}}_2=\frac{4}{3}\pi {\text{r}}^3$

Vì $V_1–V_2=1332\pi$ (cm³) nên $\frac{4}{3}\pi \left(R^3-r^3\right)=1332\pi \iff R^3-r^3=999$

Do đó ${\left(r+3\right)}^3–r^3=999\iff r^2+3r–108=0.$ 

Giải ra được $r_1=–12$ (loại); $r_2=9$ (chọn).

Vậy bán kính hình cầu nhỏ là 9cm. Bán kính hình cầu lớn là 12cm.

Diện tích mặt cầu lớn là:$S_1=4\pi R^2=4.\pi {.12}^2=576\pi$  (cm²).

Diện tích mặt cầu nhỏ là: $S_2=4\pi r^2=4.\pi {.9}^2=324\pi$ (cm²).

Hiệu các diện tích của hai mặt cầu là:$S=S_1–S_2=576\pi –324\pi =252\pi$  (cm²).

Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OH ^ BC, OD ^ AB.

Ta có $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8\left(\text{cm}\right)$

Gọi bán kính đáy hình nón là R, bán kính hình cầu là r.

Ta có BH = BD = R = 6cm; OH = OD = r.

AD = AB – BD = 10 – 6 = 4cm.

  $\Delta AOD \Delta ABH\left(g.g\right)$

Do đó  $\frac{r}{6}=\frac{4}{8}\Rightarrow r=3\left(\text{cm}\right)$

Diện tích đáy hình nón là: $S_1=\pi R^2=\pi {.6}^2=36\pi$ (cm²).

Diện tích mặt cầu là: $S_2=4\pi r^2=4.\pi {.3}^2=36\pi S_2$ (cm²).

Vậy diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu.

Tam giác ABC cân tại A, AD là đường kính nên AD ^ BC.

Ta có $\widehat{ABD}={90}^{°}$ (vì AD là đường kính).

Xét DABD vuông tại B ta có:

$B{H}^2=HA.HD=24.6=144$ . Suy ra BH = 12(cm).

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp DABC là  $R=\left(24+6\right):2=15\left(cm\right).$

Thể tích của hình cầu tạo thành là:${\text{V}}_1=\frac{4}{3}\pi {\text{R}}^3=\frac{4}{3}\pi {15}^3=4500\pi \left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích hình cầu là: ${\text{V}}_1=\frac{4}{3}\pi {\text{R}}^3$ 

Thể tích hình trụ là:  $V_2=\pi R^{2}h=2\pi R^3.$

Ta có $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3}=\frac{2}{3}$

Diện tích mặt cầu là:$S_1=4\pi R^2$  .

Diện tích hình trụ là:$S_2=2\pi R\left(h+R\right)=2\pi R\left(2R+R\right)=6\pi R^3.$  

Ta có $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi R^2}{6\pi R^2}=\frac{2}{3}$

Đặt AC= 2x thì BC = 24 – 2x.

Bán kính của nửa đường tròn đường kính AB là 12cm.

Bán kính của nửa đường tròn đường kính AC là x.

Bán kính của nửa đường tròn đường kính BC là 12 – x.

Thể tích của ba hình cầu đường kính AB, AC và BC lần lượt là:

 $\frac{4}{3}\pi {12}^3$;$\frac{4}{3}\pi x^3$ và $\frac{4}{3}\pi {(12-x)}^3$

Thể tích phần không gian giới hạn bởi ba hình cầu là:$\begin{array}{l}\text{V}=2304\pi -\frac{4}{3}\pi \left[{\text{x}}^3+{(12-\text{x})}^3\right]\\ =2304\pi -\frac{4}{3}\pi \left({\text{x}}^3+1728-432\text{x}+36{\text{x}}^2-{\text{x}}^3\right)=2304\pi -48\pi \left({\text{x}}^2-12\text{x}+48\right)\end{array}$

V_max Û$\left(x^2–12x+48\right)$  min Û ${\left(x–6\right)}^2+12$ min Û x = 6.

Khi đó max $V=1728\pi$ cm³ khi AC = 12cm hay khi C là trung điểm của AB.

Mặt cắt qua tâm là hình tròn tâm O với AB là đường kính miệng chảo.

Vẽ bán kính OC ^ AB tại K. Ta có $KA=KB=24:2=12$ (cm).

Gọi R là bán kính quả địa cầu.

Xét DKOA vuông tại K ta có:

 $O{A}^2=O{K}^2+A{K}^2\Rightarrow R^2={\left(R–8\right)}^2+{12}^2$

Þ$R^2=R^2–16R+64+144$  Þ 16R = 208

Þ R = 13 (cm).

Diện tích bề mặt quả địa cầu là:

$S=4\pi R^2=4.\pi {.13}^2=676\pi$ (cm²).

Vì độ dài cạnh của hình lập phương là 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp là 6cm.

Thể tích hình lập phương là:$V_1={12}^3=1728$  (cm³).

Thể tích của hình cầu là: ${\text{V}}_2=\frac{4}{3}\pi 6^3=288\pi$(cm³).

Thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương là: $V=V_1–V_2=1728-288\pi \approx 824$ (cm³).

Nhận xét: Ta có $\frac{V_1}{V_2}=\frac{288\pi }{1728}=\frac{\pi }{6}$

Tổng quát, ta có thể chứng minh được rằng nếu một hình cầu nội tiếp một hình lập phương thì tỉ số thể tích của chúng là $\frac{\pi }{6}$

Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.

Diện tích xung quanh hình nón là: $\pi Rl=12\pi R$ .

Diện tích mặt cầu là:$4\pi R^2$  .

Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên:$12\pi R=4\pi R^2$  Þ R = 3 (cm).

Thể tích hình cầu là: $\text{V}=\frac{4}{3}\pi {\text{R}}^3=\frac{4}{3}\cdot \pi 3^3=36\pi$(cm³).

Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.

Vì diện tích toàn phần hình trụ là  cm² nên ta có $2\pi R\left(2R+R\right)=384\pi$Þ$6\pi R^2=384\pi$  Þ R = 8 (cm).

Thể tích hình cầu là:$\text{V}=\frac{4}{3}\pi {\text{R}}^3=\frac{4}{3}\pi 8^3=\frac{2048\pi }{3}$ (cm³).

Bán kính của thuyền thúng là: 1,2 : 2 = 0,6 (m) = 6 (dm).

Thể tích của thuyền là: (dm³) » 425dm³.

Tổng Khối lượng của thuyền, người và cá là : 45 + 65 + 240 = 350 (kg)

Khối lượng riêng của thuyền là :   350 : 452 = 0,8 (kg/dm³)

Khối lượng riêng của nước là :    1 kg/dm³

Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép thuyền.

Nhận xét: Học sinh cần ghi nhớ công thức $d=\frac{m}{V}$ ( m là hối lượng riêng, m khối lượng, V là thể tích)

Xét DOBC có OB = OC và OM ^ BC nên MB = MC.

Ta có:$M{C}^2=O{C}^2-O{M}^2={\left(10\sqrt{3}\right)}^2-{\left(5\sqrt{3}\right)}^2=225$

Suy ra MC = 15(cm).

Độ dài của đường tròn (M) là: 2p.15 = 30p (cm).

Gọi r là bán kính của vật hình cầu.

Thể tích của vật hình cầu là:${\text{V}}_1=\frac{4}{3}\pi {\text{r}}^3$

Thể tích khối nước rút xuống là: $V_2=\pi {.50}^2.48,6=121500\pi$(mm³).

Ta có phương trình:$\frac{4}{3}\pi {\text{r}}^3=121500\pi \Rightarrow {\text{r}}^3=91125$

Do đó $r=\sqrt[3]{91125}=45$(mm).

Gọi R là bán kính Trái Đất, gọi r là bán kính của r là bán kính của vĩ tuyến 20^o qua Thanh Hoá.

Ta có $\widehat{HBO}=\widehat{AOB}={20}^{°}$

Xét DHBO vuông tại H có: $r=HB=OBcos{20}^o=Rcos{20}^o$  .

Do đó độ dài của vĩ tuyến 20^o là:

$2\pi r=2\pi Rcos{20}^o=2\pi \mathrm{.6370.}cos{20}^o\approx 37590$ (km).

Gọi bán kính của hình cầu là R.

Vì số đo thể tích bằng số đo diện tích mặt cầu nên ta có:$\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^2$ Þ R = 3 (m).

Độ dài của đường tròn lớn là: $C=2\pi R=2\pi .3=6\pi$ (m).