Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn yêu cầu

Tìm phân thức P thỏa mãn đẳng thức sau: $\frac{4}{x^2+x+1}-P=\frac{2}{1-x}+\frac{2x^2+4x}{x^3-1}$ với $x\ne 0$ và $x\ne 1.$

Tìm phân thức Q thỏa mãn điều kiện: $\frac{2a-6}{a^3-3a^2-a+3}+Q=\frac{6}{a-3}-\frac{2a^2}{1-a^2}$ với $a\ne \pm 1$ và $a\ne 3.$

Chứng minh: $\frac{1}{q}-\frac{1}{q+1}=\frac{1}{q(q+1)}.$Áp dụng để tính nhanh biểu thức sau$N=\frac{1}{q(q+1)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\mathrm{...}+\frac{1}{(q+5)(q+6)},$ với các mẫu thỏa mãn $\ne 0$.