Dạng 2 : Hình nón có đáp án

Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón.

Ta có $\text{V}=\frac{1}{3}\pi {\text{R}}^2\text{h}$ Suy ra ${\text{R}}^2=\frac{3\text{V}}{\pi \text{h}}=\frac{3.800\pi }{\pi .24}=100\left({\text{cm}}^2\right)$

Do đó R = 10cm. Vậy bán kính đáy hình nón là 10cm.

Đường sinh của hình nón này là:$SB=\sqrt{S{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=26\left(\text{cm}\right)$

Diện tích toàn phần của hình nón là: $S_{tp}=\pi R\left(l+R\right)=\pi .10\left(26+10\right)=360\pi$(cm²).

Nhận xét: Mấu chốt trong bài toán này là tìm được bán kính đáy, từ đó tính được đường sinh và do đó tính được diện tích toàn phần của hình nón.

* Tìm hướng giải

Để tính thể tích hình nón ta cần biết bán kính đáy và chiều cao của nó. Vì mặt cắt chứa trục là một tam giác đều nên nếu biết cạnh của tam giác đều là tính được tất cả.

* Trình bày lời giải

Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC.

Ta đặt AB = AC = BC = a thì bán kính đáy hình nón là $\text{R}=\frac{\text{a}}{2}$ và chiều cao hình nón là

Vì diện tích của tam giác đều là $9\sqrt{3}$cm² nên ta có:$\frac{{\text{a}}^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\Rightarrow {\text{a}}^2=36\Rightarrow \text{a}=6$ (cm).

Vậy bán kính đáy là R = 3cm và chiều cao hình nón là $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(cm).

Thể tích của hình nón là $\text{V}=\frac{1}{3}\pi {\text{R}}^2\text{h}=\frac{1}{3}\pi 3^2.3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\pi \left({\text{cm}}^3\right)$

Gọi số đo của cung hình quạt là $n^o$ .

Vì diện tích hình quạt là $60\pi$cm² nên 

Vì diện tích xung quanh hình nón là $60\pi$ cm² nên

 $\pi .HC.AC=60\pi$$\Rightarrow \text{HC}=\frac{60}{10}=6\left(\text{cm}\right)$

Gọi a là số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón.

Ta có $\sin \alpha =\frac{\text{HC}}{\text{AC}}=\frac{6}{10}=0,6\approx \sin {36}^{°}{52}^{\text{'}}$ Do đó $a\approx {36}^{o}52\text{'}.$

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm

Vẽ AH ^ BC. Ta có AH.BC = AB.AC

Khi quay DABC một vòng quanh cạnh BC cố định thì hình tạo thành gồm hai hình nón chung đáy, bán kính là 9,6cm. Diện tích toàn phần của hình tạo thành là:$S_{tp}=\pi .AH.\left(AB+AC\right)=\pi .9,6\left(12+16\right)=268,8\pi$(cm²).

Nhận xét: Khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh cố định thì hình tạo thành phụ thuộc vào trục quay.

-       Nếu quay theo một cạnh góc vuông thì hình tạo thành là một hình nón.

-       Nếu quay theo cạnh huyền thì hình tạo thành là hai hình nón chung đáy.

Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này vẽ BH ^ CD.

Ta đặt O'B = R₁; OC = R₂; OO' = h và BC = l.

Ta có BH = OO' = h; HC = R₂ – R₁ = 49 – 21 = 28 (cm).

Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là $3710\pi$cm² nên   $\pi \left(R_1+R_2\right)l=3710\pi .$

Suy ra $1=\frac{3710\pi }{\pi (21+49)}=53\left(\text{cm}\right)$

Xét DBHC vuông tại H, ta có:$\text{BH}=\sqrt{{\text{BC}}^2-{\text{HC}}^2}=\sqrt{{53}^2-{28}^2}=45\left(\text{cm}\right)$

Thể tích của hình nón cụt là:

  $\text{V}=\frac{1}{3}\pi \text{h}\left({\text{R}}_1^2+{\text{R}}_2^2+{\text{R}}_1{\text{R}}_2\right)=\frac{1}{3}\pi .45\left({21}^2+{49}^2+21.49\right)=58065\pi \left({\text{cm}}^3\right)$

Nhận xét: Việc vẽ BH ^ CD giúp ta gắn kết được các bán kính của hình nón cụt, đường sinh, chiều cao của nó vào một tam giác vuông. Nhờ định lí Py-ta-go ta có thể giải quyết được vấn đề.

Gọi R là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của hình nón.

Bán kính đáy hình nón chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Ta có  $\text{R}=\frac{\text{a}}{2\sin \frac{{180}^{°}}{\text{n}}}=\frac{\text{a}}{2\sin {60}^{°}}=\frac{\text{a}\sqrt{3}}{3}$ 

Xét DSOA vuông tại O ta có

${\text{SA}}^2={\text{SO}}^2+{\text{OA}}^2={\left(\frac{\text{a}}{3}\sqrt{6}\right)}^2+{\left(\frac{\text{a}\sqrt{3}}{3}\right)}^2$

Û SA² = a² Þ SA = a.

Diện tích toàn phần của hình nón là:$S_{tp}=\pi R(1+R)=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}\left(a+\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\pi a^2}{3}(\sqrt{3}+1)$

* Tìm hướng giải

Để tìm diện tích xung quanh của hình nón cụt, cần biết các bán kính đáy và đường sinh. Có thể tính được bán

kính còn lại nhờ định lí Ta-lét. Có thể tính được độ dài đường sinh nhờ định lí Py-ta-go.

* Trình bày lời giải

Xét mặt cắt qua trục của hình nón là DSAB cân tại S.

Trong mặt phẳng SAB có O'C // OB.

Theo định lí Ta-lét ta có $\frac{}{\text{OB}}=\frac{}{\text{SO}}$ Do đó $\frac{}{9}=\frac{9,6}{21,6}$ Þ $O\text{'}C=4$ (cm).

Trong mặt phẳng SAB vẽ CH ^ AB, ta được $CH=OO\text{'}=12cm$, $BH=9–4=5$ (cm).

Suy ra $\text{BC}=\sqrt{{12}^2+5^2}=13$(cm).

Diện tích xung quanh của hình nón cụt là: $S_{xq}=\pi (R_1+R_2)l=\pi \left(9+4\right).13=169\pi$ (cm²).

Xét mặt cắt qua trục của hình nón cụt, đó là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này ta vẽ CH ^ AB.

Ta có CH = OO' = 24cm; O'H = OC = 10cm;

BH = O'B – O'H = 7cm.

Suy ra  $\text{BC}=\sqrt{{24}^2+7^2}=25\left(\text{cm}\right)$

Diện tích xung quanh của xô là:

$S_{xq}=\pi (R_1+R_2)l=\pi \left(17+10\right).25=675\pi$ (cm²).

Diện tích đáy xô là: $S_{đáy}=\pi {.10}^2=100\pi$ (cm²).

Vậy diện tích tôn để làm xô là:$675\pi +100\pi =775\pi$  (cm²).

Gọi R là bán kính đáy hình nón và l là đường sinh của nó.

Ta có $\pi R^2=144\pi$  Þ R = 12(cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:$S_{xq}=588\pi –144\pi =444\pi$ (cm²).

Suy ra pRl = 444p$\Rightarrow 1=\frac{444\pi }{\pi 12}=37\left(\text{cm}\right)$

Chiều cao của hình nón là:$\text{SO}=\sqrt{{37}^2-{12}^2}=35\left(\text{cm}\right)$

Thể tích của hình nón là: $\text{V}=\frac{1}{3}\pi {\text{R}}^2\text{h}=\frac{1}{3}\pi {12}^2.35=1680\pi$(cm³).

Phần rượu trong cốc có dạng hình nón.

Gọi r là bán kính đáy của phần rượu hình nón trong cốc.

Suy ra bán kính miệng cốc là 3r (do định lí Ta-lét).

Thể tích phần rượu trong cốc là:${\text{V}}_1=\frac{1}{3}\pi {\text{r}}^2\text{h}$

Thể tích của cốc là:${\text{V}}_2=\frac{1}{3}\pi {\left(3\text{r}\right)}^2\cdot \left(3\text{h}\right)=\frac{1}{3}\pi .27{\text{r}}^2\text{h}$

Do đó $\frac{{\text{V}}_1}{{\text{V}}_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi {\text{r}}^2\text{h}}{\frac{1}{3}\pi 27{\text{r}}^2\text{h}}=\frac{1}{27}$ Suy ra $\frac{2}{V_2}=\frac{1}{27}$ Þ V₂ = 54 (cm³).

Vậy thể tích của cốc là 54cm³

Gọi mặt cắt chứa trục là hình thang cân ABCD.

Đặt O'B = a thì OC = 2a.

Vẽ BH ^ OC ta được

OH = O'B = a và HC = a.

Tam giác HBC vuông cân nên

BH = HC = a và $\text{BC}=\text{a}\sqrt{2}$

Gọi R là bán kính đáy đống cát và h là chiều cao của đống cát.

Vì chu vi đáy đống cát là 12,56m nên  $2\pi R=12,56$$\Rightarrow \text{R}=\frac{12,56}{2\pi }\approx 2,0\left(\text{m}\right)$

Thể tích của đống cát là: V = 250´20 = 5000 (dm³) = 5 (m³).

Ta có  $\text{V}=\frac{1}{3}\pi {\text{R}}^2\text{h}\Rightarrow \text{h}=\frac{3\text{V}}{\pi {\text{R}}^2}\approx \frac{3.5}{\pi 2^2}\approx 1,2\left(\text{m}\right)$

Gọi mặt cắt chứa trục của chao đèn là hình thang cân ABCD. Chiều cao OO' = h và đường sinh BC = l.

Vì diện tích xung quanh của chao đèn là 306p cm² nên ta có

 $\pi (R_1+R_2).l=306\pi$  Þ  $\pi \left(5+13\right).l=306\pi$

Þ l = 17(cm).

Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ BH ^ CD.

Ta có BH = OO' = h; OH = O'B = R₁, do đó HC = R₂ – R₁ = 8cm.

Xét DBHC vuông tại C, ta có ${\text{BH}}^2=\sqrt{{\text{BC}}^2-{\text{HC}}^2}=\sqrt{{17}^2-8^2}=15$(cm).

Vậy chiều cao của chao đèn là 15cm.

Gọi bán kính đáy hình nón là R và đường sinh hình nón là l.

Vì mặt cắt chứa trục là tam giác đều ABC nên
AB = BC = CA suy ra  

Ta có $S_{đáy}=\pi R^2$ .                                                                 (1)

 $S_{xq}=\pi Rl=\pi R.2R=2\pi R^2$.                                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $S_{xq}=2S_{đáy}.$