Dạng 1: Hình trụ có đáp án

Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là C = 189cm.

Ta có $\Rightarrow \text{R}=\frac{\text{C}}{2\pi }=\frac{189}{2\pi }\approx 30\left(\text{cm}\right)$  

Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm.

Diện tích tôn để làm hai đáy là: $S=2\pi R^2=2.\pi {.30}^2=1800\pi$ (cm²).

Thể tích hình trụ là: $V=\pi R^{2}h=\pi {.30}^2.50=45000\pi$ (cm³).

Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn đáy. Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy ra cách tìm bán kính.

Gọi bán kính đáy hình trụ là R, chiều cao hình trụ là h.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là $1200\pi$cm² nên $2\pi R\left(h+R\right)=1200\pi .$ 

Suy ra $R\left(25+R\right)=600$Û $R^2+25R–600=0$ .

Phương trình có hai nghiệm: $R_1=15$(chọn); $R_2=–40$(loại).

Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm.

Thể tích hình trụ là: $V=\pi R^{2}h=\pi {.15}^2.25=5625\pi$(cm³)

Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Mặt cắt ABCD là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là 96cm² nên AB.AD = 96cm².

Suy ra $AD=\frac{96}{AB}=\frac{96}{8}=12\left(\text{cm}\right)$

Vậy chiều cao của hình trụ là 12cm.

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h.

Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy và diện tích toàn phần bằng 432p cm² nên ta có hệ phương trình

 $\left\{\begin{array}{l}\text{h}=5.\text{R (1) }\\ 2\pi \text{R}(\text{h}+\text{R})=432\pi \text{ (2)}\end{array}\right.$                                                            

Giải hệ này bằng phương pháp thế:

Thế  vào phương trình (2) ta được:

$2\pi R\left(5R+R\right)=432\pi$ Û R² = 36 Û R = ±6. Giá trị R = -6 bị loại.

Vậy $\left\{\begin{array}{l}\text{R}=6\\ \text{h}=30\end{array}\right.$

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\pi Rh=2.\pi \mathrm{.6.30}=360\pi$ (cm²).

Diện tích đáy của hình trụ là:$S=\pi R^2=\pi {.6}^2=36\pi$  (cm²).

Ta thấy $\frac{S_{xq}}{S}=\frac{360\pi }{36\pi }=10$ (lần).

Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy.

Gọi bán kính hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h.

Ta có:$S_{xq}=2\pi Rh$ suy ra $\text{h}=\frac{{\text{S}}_{\text{xq}}}{2\pi \text{R}}=\frac{420\pi }{2\pi \cdot 10}=21\left(\text{cm}\right)$

Ta có PQ là đường sinh nên PQ = 21cm và PQ vuông góc với mặt phẳng đáy. Suy ra PQ ^ QM.

Xét DPQM vuông tại Q, ta có:

PM² = PQ² + QM² = 21² + QM² = 441 + QM².

Do đó PM lớn nhất Û QM lớn nhất Û QM là đường kính

Û QM = 20cm.

Vậy $\max \text{PM}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29\left(\text{cm}\right)$ khi QM là đường kính của đường tròn đáy.

Lưu ý: Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với đáy nên vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy, do đó PQ ^ QM.

Ta có V = pR²h; S = 2pR(h + R). Theo đề bài ta có:$\frac{V}{S}=\frac{1}{2}$

Suy ra  Û Rh = R + h

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h.

Mặt cắt chứa trục là một hình chữ nhật có một cạnh là 2R và cạnh kề là h.

Theo các điều kiện trong đề bài ta có: $\left\{\begin{array}{l}\text{R}=\frac{2}{5}\text{h (1)}\\ 2\text{R}\cdot \text{h}=80\text{ (2)} \end{array}\right.$  

Thế R từ (1) vào (2) ta được:  hay 4h² = 400 Þ h = ±10.

Giá trị h = -10 bị loại. Vậy chiều cao của hình trụ là 10cm.

Bán kính đáy là $\text{R}=10.\frac{2}{5}=4\left(\text{cm}\right)$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:  (cm²).

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h.

Vì chiều cao bằng $\frac{3}{4}$đường kính nên chiều cao bằng $\frac{3}{2}$bán kính đáy.

Vậy $\text{h}=\frac{3}{2}\text{R}$

Ta có $V=\pi R^{2}h$mà $\text{h}=\frac{3}{2}\text{R}$ nên $\text{V}=\pi {\text{R}}^2\cdot \frac{3}{2}\text{R}=\frac{3}{2}\pi {\text{R}}^3$

Theo đề bài ta có: $\frac{3}{2}\pi R^3=786$Þ$R^3=512$$\Rightarrow R=\sqrt[3]{512}=8$  (cm).

Vậy $h=8\cdot \frac{3}{2}=12$(cm).

Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\pi Rh=2\pi \mathrm{.8.12}=192\pi$ (cm²).

* Tìm hướng giải

Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hình trụ. Tìm được bán kính đáy sẽ tìm được chiều cao do đó sẽ tìm được diện tích toàn phần.

* Trình bày lời giải

Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hộp bánh hình trụ.

Ta có  $h=R–1,5.$

Vì thể tích của hộp là  cm³ nên:  

Suy ra R²(R – 1,5) = 850 Û R³ – 1,5R² – 850 = 0 Û 2R³ – 3R² – 1700 = 0

Û 2R³ – 20R² + 17R² – 170R + 170R – 1700 = 0

Û 2R²(R – 10) + 17R(R – 10) + 170(R – 10) = 0

Û (R – 10)(2R² + 17R + 170) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{R}-10=0\text{ (1)}\\ 2{\text{R}}^2+17\text{R}+170=0\text{ (2)}\end{array}\right.$

Phương trình (1) có nghiệm R = 10 (thoả mãn).

Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy bán kính đáy hộp là 10cm.

Chiều cao của hộp là: 10 – 1,5 = 8,5 (cm).

Diện tích vỏ hộp là: $S=2pR\left(h+R\right)=2.\pi .10\left(8,5+10\right)=370\pi$ (cm²).

Gọi bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ đó là h.

Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên  $2\pi Rh+2\pi R^2=4\pi Rh.$

Suy ra $2\pi R^2=2\pi Rh$Þ R = h = 6cm.

Thể tích của hình trụ là: $V=\pi R^{2}h=\pi {.6}^2.6=216\pi$(cm³).

Gọi R là bán kính đáy chậu và h là chiều cao của chậu.

Vì diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh nên $\pi {\text{R}}^2=\frac{1}{2}.2\pi \text{Rh}$

Þ R = h = 20cm.

Thể tích của chậu là: $V=\pi R^{2}h=\pi {.20}^2.20=8000\pi$(cm³).

Thể tích nước trong chậu là:$V_1=\pi {.20}^2.15=6000\pi$ (cm³).

Thể tích nước phải thêm vào chậu là: $V_2=V–V_1=8000\pi –6000\pi =2000\pi$ (cm³).

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h.

Thể tích của hình trụ này là: $V_1=\pi R^{2}h.$ 

Nếu giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần thì bán kính đáy là $\frac{\text{R}}{2}$ và chiều cao là 2h .

Thể tích hình trụ về sau là:${\text{V}}_2=\pi {\left(\frac{\text{R}}{2}\right)}^2\cdot \left(2\text{h}\right)=\frac{\pi {\text{R}}^2\text{h}}{2}=\frac{200}{2}=100\left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích viên than (kể cả 19 lỗ) là:${\text{V}}_1=\pi {\text{R}}_1^2\text{h}=\pi {57}^2.100\approx 1020186\left({\text{mm}}^3\right)\approx 1020\left({\text{cm}}^3\right)$        

Thể tích 19 lỗ “tổ ong” là: ${\text{V}}_2=19\pi {\text{R}}_2^2\text{h}=19.\pi 6^2.100\approx 214776\left({\text{mm}}^3\right)\approx 215\left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than là:V = V₁ – V₂ = 1020 – 215 = 805 (cm³).

Thể tích cây gỗ hình trụ là: $V_1=\pi R^{2}h\approx 3,{14.2}^2.50=628$ (dm³).

Diện tích đáy hình vuông của hình lăng trụ đứng là:

$S=A{B}^2=\frac{A{C}^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8$ (dm²)

Thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi là: V = V₁ – V₂ = 628 – 400 = 228 (dm³).

Phần không gian bên trong cổng gồm một hình hộp chữ nhật và một nửa hình trụ.

Thể tích phần hình hộp chữ nhật là: V₁ = 3,2 . 2,8 . 3,0 = 26,9 (m³).

Thể tích phần nửa hình trụ là: ${\text{V}}_2=\frac{1}{2}\pi {\text{R}}^2\text{h}=\frac{1}{2}\cdot 3,14.{(1,6)}^2.3,0=12,1$(m³).

Thể tích phần không gian bên trong cổng là: V = V₁ + V₂ = 26,9 + 12,1 = 39,0 (m³).

Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vì diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy nên ta có:$2\pi Rh=2\pi R^2\Rightarrow h=R.$

 Theo đề bài, thể tích hình trụ bằng 125p cm³ nên $\pi R^{2}h=125\pi .$ 

Suy ra pR³ = 125p (vì h = R). Do đó R³ = 125 Þ R = 5cm.

Vậy h = 5cm.