Chuyên đề 6: Hệ phương trình (có đáp án)

2x+3y=7x−y=1⇔2x+3y=73x−3y=3⇔5x=102x+3y=7⇔x=22.2+3y=7⇔x=2y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(2;1)

2x-y=33x+2y=8⇔7x=142x-y=3⇔x=24-y=3⇔x=2y=1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;1)

Hệ phương trình

3x+y=102x−3y=3⇔y=10−3x2x−3(10−3x)=3⇔y=10−3x11x−30=3⇔y=1x=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(3;1)

x+y+x+2y=−23x+y+x−2y=1⇔2x+3y=−24x+y=1⇔2x+3y=−2−12x−3y=−3⇔2x+3y=−2−10x=−5⇔2.12+3y=−2x=12⇔x=12y=−1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(12;-1)

Thay m=−12, n=13 vào hệ phương trình (I) ta được: −12x−y=1313x−12y=1

⇔y=−12x−1313x−12−12x−13=1⇔y=−12x−1313x+14x+16=1⇔y=−12x−13712x=56⇔x=107y=−2221

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y)=107;  −2221

−m−3=n−n+3m=1⇔m+n=−33m−n=1⇔m+n=−3(1+3)m=1−3⇔m+n=−3m=1−31+3

⇔m=3−2n=−3−m⇔m=3−2n=−23+2

Vậy khi (m; n)=(3−2; −23+2) thì hệ phương trình có nghiệm (x; y)=(−1; 3)

2x=4x+y=5⇔x=2y=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;3)

3x−y=1x+2y=5⇔6x−2y=2x+2y=5⇔7x=73x−y=1⇔x=1y=3x−1⇔x=1y=2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(1;2)

2x−y=5x+5y=−32x−y=52x+10y=−62x−y=511y=−112x=5+y11y=−112x=5−1y=−1x=2y=−1

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duynhaats (x;y)=(2;-1)

P=x+y2017=2+−12017=12017=1

3x−2y=52x+y=8.⇔3x−28−2x=5y=8−2x⇔3x−16+4x=5y=8−2x⇔7x=21y=8−2x⇔x=3y=8−2.3⇔x=3y=2

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;2)

5x−2y=11x+y=−2⇔5x−2(−2−x)=11y=−2−x⇔x=1y=−3

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (1;-3)

Giải hệ phương trình: 

3x−2y=6x+2y=10⇔4x=16x+2y=10⇔x=44+2y=10⇔x=4y=3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y)=(4;3)

x+y=mx2+y2=−m2+6⇔y=m−xx2+y2=−m2+6⇔y=m−xx2+m−x2=−m2+6⇔y=m−xx2+m2−2mx+x2=−m2+6⇔y=m−x2x2−2mx+2m2−6=0⇔y=m−xx2−mx+m2−3=0

Hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔phương trình x2−mx+m2−3=0 có nghiệm

⇔Δ=m2−4m2−3≥0⇔m2−4m2+12≥0⇔12−3m2≥0⇔m2≤4⇔−2≤m≤2

Với m thỏa mãn −2≤m≤2 thì phương trình có nghiệm (x;y). Khi đó ta có:

P=xy+2x+y=12x+y2−x2+y2+2x+y⇔P=12m2−−m2+6+2m=122m2−6+2m⇔P=m2+2m−3=m2+2m+1−4=m+12−4

Nhận xét: m+12≥0 ∀m∈−2;2, dấu bằng xảy ra ⇔m=-1 thỏa mãn điều kiện

⇒P≥-4

Dấu bằng xảy ra ⇔m=-1

Vậy minP=-4 khi m=-1

3x−2y=9x−3y=10⇔3x−2y=93x−9y=30⇔3x−2y=97y=−21⇔3x−2−3=9y=−3⇔x=1y=−3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1; -3)

x+y=mx2+y2=−m2+6⇔y=m−xx2+y2=−m2+6⇔y=m−xx2+m−x2=−m2+6⇔y=m−xx2+m2−2mx+x2=−m2+6⇔y=m−x2x2−2mx+2m2−6=0⇔y=m−xx2−mx+m2−3=0

Hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔phương trình x2−mx+m2−3=0 có nghiệm

⇔Δ=m2−4m2−3≥0⇔m2−4m2+12≥0⇔12−3m2≥0⇔m2≤4⇔−2≤m≤2

Với m thỏa mãn −2≤m≤2 thì phương trình có nghiệm (x; y). Khi đó ta có:

P=xy+2x+y=12x+y2−x2+y2+2x+y

⇔P=12m2−−m2+6+2m=122m2−6+2m⇔P=m2+2m−3=m2+2m+1−4=m+12−4

Nhận xét:  m+12≥0∀m∈−2;2, dấu bằng xảy ra ⇔m=−1 thỏa mãn điều kiện.

⇒P≥−4.

Dấu bằng xảy ra ⇔m=−1.

Vậy minP=-4 khi m=-1

x2+2y2=3   13x−y2=2     2

Từ phương trình (2) suy ra x=y2+23, thay vào phương trình (1) ta được:             y2+229+2y2=3⇔y4+22y2−23=0⇔y2=1y2=−23  VN⇔y=±1⇒x=1.

Vậy hệ có nghiệm x;y=1;1, 1;−1

x+2y=43x−y=5⇔x+2y=46x−2y=10⇔7x=143x−y=5⇔x=2y=1

Vậy hệ có một nghiệm (x;y)=(2;1)

Giải hệ phương trình:

2x−y=5x+y=4⇔3x=9x+y=4⇔x=33+y=4⇔x=3y=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y)=(3;1)

7x−3y=44x+y=5⇔7x−3y=412x+3y=15⇔7x−3y=419x=19⇔x=17.1−3y=4⇔x=1y=1

Ta có x+2y=32x−y=−4⇔x=3−2y23−2y−y=−4⇔x=3−2y−5y=−10⇔x=−1y=2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;2)

2x+3y=8x+3y=1⇔x=7y=1−x3=1−73=−2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(7;-2)

3x+y=53−x=y⇔3x+3−x=5y=3−x⇔2x=2y=3−x⇔x=1y=2

ĐKXĐ: x≥0và y≥1

Ta có hệ:

x=5−2y−14(5−2y−1)−y−1

Giải được: y−1=2x=1⇔...⇔y=5x=1( t / m)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x=1y=5

3x−y=75x+y=9⇔3x−y=78x=16⇔x=2y=−1

3x−2y=10x+3y=7⇔3x−2y=103x+9y=21⇔11y=11x+3y=7⇔y=1x+3=7⇔x=4y=1

3x−22y−1=03x+2y=27−x⇔3x−4y=−25x+2y=14⇔x=22y=14−10⇔x=2y=2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x=2y=2

a) Với m=2, hệ (I) trở thành:

       x−2y=12x+y=12⇔x−2y=14x+2y=24⇔5x=252x+y=12⇔x=52⋅5+y=12⇔x=5y=2 

Vậy với m=2 thì nghiệm của hệ (I) là (5;2).

b) Ta thấy: 12≠−21

⇒ Hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

       x−2y=3−m2x+y=3(m+2)⇔2x−4y=6−2m2x+y=3m+6⇔x−2y=3−m5y=5m⇔x−2m=3−my=m⇔x=m+3y=m

Do đó:

A=x2+y2=+m2=2m2+6m+9     =2m+322+92≥92∀m

Dấu “=” xảy ra khi m=−32.

Vậy minA=92⇔m=−32.

x+3y=9x−y=1⇔4y=8x−y=1⇔y=2x−y=1⇔y=2x=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;2)

Để hệ phương trình có nghiệm là x; y=1;−1thì

a.1+(−1)=−5b.1+a.(−1)=1⇒a=−4b=−3.

Vậy với x; y=1;−1 thì hệ pt ax+y=−5bx+ay=1 có nghiệm x; y=1;−1.

x+2y=12x−y=7⇔x+2y=14x−2y=14⇔x+2y=1           5x=15⇔x=3y=−1

Theo định lý Vi-et ta có: x1+x2=−ba=−4x1x2=ca=−5⇔b=4a(1)c=−5a(2) 

Từ (1) và (2) thay vào b+c=5 ta được: 4a−5a=5⇔a=−5 

Suy ra b=−20; c=25.

Vậy phương trình đã cho có dạng: −5x2−20x+25=0

Hệ phương trình đã cho tương đương

2x−4y=82x+3y=1⇔−7y=72x+3y=1⇔y=−12x+3−1=1⇔y=−12x−3=1⇔x=2y=−1

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y=2; −1.

Lấy (1) +(2) ta được: 4x=−4⇔x=−1, thay x=-1 vào (2) ta được y=2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: S=−1;2

Điều kiện: x≠0;y≠−1

2x+3y=xy+51x+1y+1=1⇔2x+3y=xy+5y+1=xy⇔2x+2y=6y+1=xy⇔x=3−yy+1=y(3−y)

⇔x=3−yy+1=y(3−y)⇔x=3−yy2−2y+1=0⇔x=3−y(y-1)2=0⇔x=2y=1

 (thỏa mãn điều kiện).

2x−y=44x+y=−1⇔6x=34x+y=−1⇔x=12y=−3

Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y=12; −3

x+2y=45x−2y=8⇔6x=12x+2y=4⇔x=2x+2y=4⇔x=2y=1

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm (x;y)=(2;1)

4x−y=7x+3y=5⇔12x−3y=21x+3y=5⇔13x=26y=4x−7⇔x=2y=4.2−7⇔x=2y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(2;1)

a)  Ta có

2x−y=3x2+y=5⇔y=2x−3x2+y=5⇔y=2x−3x2+2x−3−5=0⇔y=2x−3x2+2x−8=0⇔y=2x−3x=2x=−4⇔x=2y=2.2−3=1x=−4y=2.−4−3=−11

Vậy hệ có hai nghiệm x; y∈2;1,−4;−11.

Tính giá trị của biểu thức M=a2+b2 biết a, b thỏa mãn

            3a2b2+1b3=13b2a2+2a3=1

2x+y=−1x−2y=7.⇔4x+2y=−2x−2y=7⇔y=−1−2x5x=5⇔x=1y=−3

Vậy hệ đã cho có một nghiệm (1;-3)

x−y=1x+y=3⇔2x=42y=2⇔x=2y=1

Điều kiện: a≠0, b≠0.

Từ giả thiết, ta có: 3a2+1b=b213b2+2a=a22 

⇒3a2b+1=b33b2a+2=a3⇔3a2b−b3=−13b2a−a3=−2⇔9a4b2−6a2b4+b6=19b4a2−6b2a4+a6=4⇒a6+3a4b2+3a2b4+b6=5⇒a2+b23=5⇒a2+b2=53

5x+7y=35x−4y=−8⇔11y=115x−4y=−8⇔y=15x=−4⇔x=−45y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y=−45;1

2x−y=3x+2y=−1⇔4x−2y=6x+2y=−1⇔2x−y=35x=5⇔x=1y=−1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)=(1;-1)

Hệ phương trình ax+y=1ax+by=−5 có một nghiệm là (2;-3).

⇔2a−3=12a−3b=−5⇔2a=44−3b=−5⇔a=2−3b=−9⇔a=2b=3

Vậy với a=2 và b=3 thì hệ phương trình đã cho có một nghiệm là (2;-3).