Chuyên đề 5: Hàm số

1.Vẽ đồ thị (P). (P) :y=x2.

2.Phương trình đường thẳng (d1): y=ax+b(a≠0).

·                              (d1)//(d) , ⇒a=4, b≠9, suy ra đường thẳng (d1): y=4x+b.

·                              Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và (d1)là:

                                        x2=4x+b   

                                    ⇔x2−4x−b=0 (*)

Ta có: Δ'=b'2−ac=(−2)2−1.(−b)=4+b.

Để đường thẳng (d1) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) có nghiệm kép.    

⇔Δ'=0⇔4+b=0⇔b=−4⇔b=−4(nhận) 

Vậy phương trình đường thẳng (d1):y=4x−4.

a. Vẽ đường thẳng d:y=x+1 và parabol (P):y=2x2 .

Bảng giá trị

 Vẽ đồ thị

b. Viết phương trình đường thẳng d1 song song với đường thẳng d và đi qua điểm A(-1;2)

 Phương trình đường thẳng d1 song song với đường thẳng d có dạng y=x+b 

d1 đi qua điểm A(-1;2) nên ta có: -1+b=2 ⇒b=3: ⇒d1: y=x+3. 

1.                           Lập bảng giá trị:

Vẽ đồ thị

2.A(4;  y)∈(P):y=14x2⇒y=14.42=4⇒A(4; 4)Đường thẳng (d): y=x-m qua A(4;4)⇔4=4−m⇔m-0Vậy m=0 thì (d): y=x-m đi qua A(4;4)

A(4;  y)∈(P):y=14x2

⇒y=14.42=4⇒A(4;4)

Đường thẳng (d): y=x-m qua A(4;4)⇔4=4-m⇔m=0 

Vậy m=0 thì (d): y=x-m đi qua A(4;4).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=2x-m+3 và parabol P:y=x2.

1.Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0)

Thay x==2 và y=0 vào phương trình đường thẳng (d): y=2x-m+3, ta có:

0=2.2−m+3⇔m=7

Vậy: với m=7 thì đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0).

2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x12−2x2+x1x2=16.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x2=2x−m+3⇔x2−2x+m−3=0

Ta có: Δ'=−12−m−3=−m+4

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ⇔Δ'>0⇔−m+4>0⇔m<4

Theo hệ thức Vi-et, ta có: x1+x2=2x1.x2=m−3⇔x2=2−x1x1.x2=m−3

Thay x2=2−x1 vào biểu thức: x12−2x2+x1x2=16 ta có:

x12−22−x1+x12−x1=16⇔x12−4+4x1−x12=16⇔4x1=20⇔x1=5⇒x2=−3

Thay vào biểu thức: x1.x2=m−3 ta được:

m−3=−15⇔m=−12 (tm)

Vậy: m=-12.

Thay x=4 vào ta có: y=2x+b=2.4+b=8+b.

Mà y=5⇒8+b=5⇔b=−3..

a) Vẽ đồ thị của (P).

Ta có:

Vậy đồ thị hàm số y=12x2 đi qua các điểm C−4;8, D−2;2, O0;0, A2;2, F4;8.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

12x2=14x+32⇔2x2−x−6=0 1Δ=−12−4.2.−6=49

Vì Δ>0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1=1+494=2⇒y=2x2=1−494=−32⇒y=98

Suy ra đường thẳng (d) cắt (P) tạo thành hai điểm phân biệt A2;2, B−32;98.

Khi đó:

T=x1+x2y1+y2=2+−322+98=425

Vậy T=425.

a) Bảng giá trị:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): −x2=−2x+1

⇔x2−2x+1=0⇔(x−1)2=0⇔x=1⇒y=−12=−1

Vậy tọa độ giao điểm là A(1; -1).

a) Bảng giá trị

Đồ thị:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x2=2x-m⇔x2-2x+m=0 (*).

(P) và (d) có điểm chung duy nhất ⇔(*) có nghiệm duy nhất ⇔Δ'=0⇔1−m=0⇔m=1.

Để đồ thị hàm số y=2x+m đi qua điểm K(2;3)⇔3=2.2+m⇔m=−1

Hàm số đồng biến trên R khi 3m−2>0⇔m>23.

a) Hàm số nghịch biến trên R ⇔ 2m−3<0 ⇔m<32

b) Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -6 ⇔5m−1=−6⇔ m=−1 (TM)

a) Đồ thị hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

 −2x2=2x−4⇔x2+x−2=0⇔x−1x+2=0⇔x=1x=−2.

+) Với x=-2 thay vào (P): y=−2x2 ta được y=-8. Ta có giao điểm A(-2;-8).

+) Với x=1 thay vào (P): y=−2x2 ta được y=-2 . Ta có giao điểm B(1;-2).

Vậy (P) và (d) giao nhau tại hai điểm A(-2;-8) và B(1; -2).

Thay x=4 vào ta có: y=2x+b=2.4+b=8+b.

Mà y=5⇒8+b=5⇔b=−3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: m+2x=x+m2+2⇔m+1x=m2+2⇔x=m2+2m+1=m−1+3m+1 (với m≠−1).

Do đó x∈ℤ⇔3⋮m+1⇔m+1∈±1;±3⇒m∈−4;−2;0;2.

+) Với m=0: x=2y=4 (Thỏa mãn).

+) Với m=-2: x=−6y=0 (Thỏa mãn).

+) Với m=-4: x=−6y=12 (Thỏa mãn).

+) Với m=2: x=2y=8 (Thỏa mãn).

Vậy m∈−4;−2;0;2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đồ thị hàm số y=−12x2 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, bề lõm hướng xuống và đi qua các điểm 0; 0, 2; −2; −2; −2; 4; −8; −4; −8.

Đồ thị y=−12x2:

∆ song song với y=-2x+5 suy ra m=−2n≠5

Phương trình hoành độ giao điểm của Δ và (P): −12x2=−2x+n

⇔x2−4x+2n=0 (*)

Để Δ và (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì Δ'=0⇔4−2n=0⇔n=2 (thỏa mãn)

Vậy m=−2; n=2

1/ Vẽ đồ thị: (như hình vẽ bên)

Tọa độ giao điểm của (P) và (d)

PT hoành độ giao điểm:  2x2−x−1=0

có hai nghiệm -12; 1

 suy ra tọa độ hai giao điểm là:A−12;12 và B(1;2)

2/ Tính độ dài AB

AB=xB−xA2+yB−yA2=1−−122+2−122=322+322=322(đ.v.đ.d)

1) * Hàm số y=−12x2 xác định với  ∀x∈R

Bảng giá trị:

* Hàm số y=x-4 là đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (1;-3);(2;-2)

Đồ thị:

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol: y=−12x2 và đường thẳng y=x-4

−12x2=x−4⇔−x2=2x−8⇔x2+2x−8=0

 phương trình bậc hai có Δ'=9 nên có hai nghiệm

x=−1+91=2 hoặc  x=−1−91=−4

Với  x=2⇒y=2−4=−2

Với x=−4⇒y=−4−4=−8

Vậy có tọa độ giao điểm là (2;-2) và (-4;-8).

Ta có m2−m+2017=m−122+80674>0, ∀m∈ℝ.

Do đó hàm số y=m2−m+2017x+2018 đồng biến trên R với ∀m∈ℝ.

Đ/s: m∈ℝ

a)  Với y=−8 ⇒−x22=−8 ⇔x2=16 ⇔x=±4. 

Vậy tìm được hai điểm M±4;−8.

b)  Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

 −x22=x+m⇔x2+2x+2m=0. 

Δ'=1−2m.

Để đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

 ⇔Δ'=1−2m>0⇔m<12.

Theo định lý Viet ta có x1+x2=−2x1.x2=2m.

Lại có y1=x1+my2=x2+m.

Từ x1+y1x2+y2=334

⇔x1+x1+mx2+x2+m=334

⇔2x1+m2x2+m=334 

⇔4x1x2+2mx1+x2+m2=334 

⇔8m−4m+m2=334 

⇔m2+4m−334=0 

⇔m=32Lm=−112TM .

Vậy m=−112.

Đường thẳng (d) song song với (d1) khi và chỉ khi m=5       m−2≠−1⇔m=5

d//d'⇔−1=m2−2m+2≠3⇔m2=1m≠1⇔m=±1m≠1⇔m=−1

a) Thay tọa độ A=(0;5) vào y=mx+5 ta có:

5=m.0+5 ( luôn đúng với mọi m)

Vậy (d) luôn đi qua A=(0;5) với mọi m

b) PT hoành độ giao điểm:

x2−mx−5=0 (1)

Lập luận PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với ∀m

Lập luận có: x1<0<x2 nên x1>x2⇔x1+x2<0

Áp dụng định lí viet, thay x1+x2=m

Ta có: x1>x2⇔m<0

(d) có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm  (0;2) và (-2;0).

(P) có đồ thị là một parabol đi qua năm cặp điểm (0;0); (1;1); (1;-1); (2;4); (-2;4)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)  và (d) là nghiệm của phương trình

x2=x+2

x2−x−2=0

Phương trình có dạng a-b+c=0 nên phương trình có nghiệm x1=−1 và x2=2 

Thay x1=−1⇒y1=1

Thay x2=2⇒y2=4

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (-1;1) và (2;4)

Vẽ Parabol P:y=2x2Bảng giá trị:

Do đường thẳng y=2x-m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1 nên 0=−2−m⇔m=−2  1;

Mặt khác đường thẳng y=(m+1)x-1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1 nên 0=−1m+1−1⇔−m−2=0⇔m=−2  (2);

Từ (1) và (2) suy ra m=-2 thì cả hai đường thẳng trên cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1.

Thay tọa độ điểm M(1;3) vào phương trình đường thẳng (d): y=mx+2 ta được:

3=m+2⇔m=1.

Vậy đường thẳng (d) là: y=x+2.

Phương trình: x2−2x+m−1=0 (m là tham số)

        Δ'=−12−m−1 = 2-m.

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2 khi và chỉ khi Δ'≥0⇔m≤2.

Khi đó: x1+x2=2x1x2=m−1.

Từ 2x1−x2=7 ta có x1+x2=22x1−x2=7 ⇔x1=3x2=−1.

Thay vào x1x2=m−1 ⇔3.−1=m−1 ⇔m=−2tm.

Vậy với m=-2 thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 2x1−x2=7.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số: y=14x2

Bảng giá trị

b) Cho đường thẳng(D): y=32x+m đi qua điểm C(6;7). Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P).

Thay tọa độ C(6;7) vào (D) ta được:

7=32.6+m. Tìm được m=-2

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P):

14x2=32x−2⇔14x2−32x+2=0

Giảiphươngtrình ta được

x1=2⇒y1=1x2=4⇒y2=4

Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (2;1);(4;4).

a) 1⇔x2−(2m−1)x+m2−m−1=0

Δ=2m−12−4.m2−m−1=4m2−4m+1−4m2+4m+4=5>0

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thứcVi-ét ta có :

S=x1+x2=2m−1 (a)P=x1x2=m2−m−1 (b)

Theo đề : x1−x22=x1−3x2⇔x12−2x1x2+x22=x1−3x2⇔x1+x22−4x1x2=x1−3x2

⇔2m−12−4m2−m−1=x1−3x2⇔x1−3x2=5(c)

Từ (a) và (c), ta được : x1=123m+1x2=12m−3.

Thay vào (b): 123m+1.12m−3=m2−m−1⇔143m2−8m−3=m2−m−1

⇔3m2−8m−3=4m2−m−1⇔m2+4m−1=0⇔m=−2−5m=−2+5.

Vậy có hai giá trị cần tìm của m : m=−2−5, m=−2+5.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng

−x2=x−2⇔x2+x−2=0 

Vì a+b+c=1+1−2=0 nên phương trình có hai nghiệm:

x1=1; x2=−2 

Với x=1 thì y=1−2=−1 

Với x=-2 thì y=-2-2=-4 

⇒A(1;−1) và  B(−2;−4)

Dễ thấy (d) cắt Oy tại điểm C(0;-2). Do đó:

SOAB=SOAC+SOBC=2⋅12+2⋅22=3 (đvdt).

1. Giải phương trình với m=3.

Thay m=3 ta có phương trình x2−2x−3=0.

Ta thấy a−b+c=1+2−3=0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1=−1; x2=3.

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện

x1x2+12−2x1+x2=0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi  Δ'=1+m>0⇔m>−1. (*)

Khi đó, theo định lý Vi-et, ta có: x1+x2=2x1x2=−m.     (1)

Thay (1) vào đề bài ta được:

x1x2+12−2x1+x2=0⇔−m+12−2.2=0⇔m−12=4⇔m=2m=−1 .

Kết hợp với điều kiện (*) ta được m=3.

Thay x=3; y=0 vào hàm số y=mx+3 ta được: 3m+3=0⇔m=−1.

Vậy với m=-1 thì đồ thị hàm số y=mx+3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

a) Thay A(-1;-3) vào (P) ta được: -3=-3(-1)² (đúng).

Vậy A∈(P).

b) Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax+b (a≠0).

Do A−1;−3 và B(2;3) thuộc AB nên ta có:

−3=a−1+b3=a2+b⇔−a+b=−32a+b=3⇔−a+b=−33a=6⇔b=−1a=2 (nhận).

Phương trình hoành độ giao điểm của AB và (P) là: −3x2=2x−1.

⇔3x2+2x−1=0.

⇔x=−1x=13

Suy ra xC=13 và yC=−3132=−13.

a) Để hàm số nghịch biến trên R thì: 3a−6<0⇔a<2.

b) Cho ba điểm (0;0), (-1;1) và (1;1) thuộc parabol (P)

và hai điểm (2;0), (0;2) thuộc đường thẳng (d)

Đặt fx=x2+2m+1x+m2+2m−1.

Theo yêu cầu bài toán ta có: f1≠0⇔m≠−2+2, m≠−2−2.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì Δ'>0.

Ta có:

Δ'=m+12−m2+2m−1=2>0

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Mặt khác,

1x1−1+1x2−1=2⇔3x1+x2−2x1x2−4=0⇔m2+5m+4=0⇔m=−1, m=−4.

Đối chiếu với điều kiện ta có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m=−1, m=−4.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=3, nghĩa là 3a+b=0 (1).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ x=3, nghĩa là 0.a+b=-2 (2).

Từ (1) và (2) ta có: a=23; b=− 2.

Khi đó hàm số là y=23x−2.

1) Với m=-4 thì phương trình 1⇔x2−2x−4=0.

Tính Δ'=1+4=5.

Hai nghiệm phương trình x1=1−5∨x2=1+5.

2) Ta có hệ thức Viet x1+x2=1  (1)x1x2=m    (2)  và x1=3x2  (3).

Từ (1) và (3), ta có x1=14;x2=34, khi đó m=x1x2=34.

Đồ thị:

Để (d) không đi qua A thì tọa độ điểm A không thỏa mãn phương trình của (d), tức là:

 6≠4.1+m⇔m≠2

Xét phương trình hđgđ của d1 và (d2): −x−2=−2x⇔x=2⇒y=−4

Vậy giao điểm I của d1 và d2 có tọa độ I(2;-4).

Để để parabol (P) đi qua I(2; -4) thì tọa độ I phải thỏa mãn phương trình của (P), tức là:

−4=a.22⇔a=−1

Đồ thị hàm số y=2x-1 đi qua hai điểm A12; 0 và B(0;-1), nên ta có đồ thị dạng như sau:

- Bảng giá trị

Phương trình hoành độ giao điểm 2x2=x+3⇔2x2−x−3=0⇔x1=−1 hoặc x2=1,5 x1=4,5 hoặc A(-1;2). Vậy tọa độ giao điểm là A(-1;2) và B(1,5;4,5)

Bảng giá trị

Đồ thị

Đường thẳng (d): y=ax+b, đi qua A(-1;10) và B(3;-2) nên ta có:

10=−a+b−2=3a+b⇔12=−4a−2=3a+b⇔a=−3b=7  

Vậy (d): y=-3x+7.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2=2x+m−6.

 ⇔x2−2x−m+6=0(*) .

Điều kiện để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt là Δ=m−5>0⇔m>5.

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*), khi đó

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương cần thêm điều kiện x1+x2=2>0x1x2=−m+6>0⇔m<6.

Vậy điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ đều dương là: 5<m<6 .

Tìm m để đường thẳng y=(m-1)x+3 song song với đường thẳng y=2x+1m−1=23≠1⇔m=3

xA=−1⇒yA=12.−12=12xB=2⇒yB=12.22=2. 

Vậy tọa độ điểm A−1;12; B2;2.

Giả sử phương trình đường thẳng (d) là y=ax+b 

Vì (d) đi qua A−1;12 nên 12=−a+b.                  (1) 

Vì (d) đi qua B(2;2) nên 2=2a+b.                      (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ:

 −a+b=122a+b=2⇔a=12b=1 .

Vậy phương trình đường thẳng (d) là  y=12x+1.

1. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

Bảng giá trị

Đồ thị

2. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng trên. Tìm tọa độ của điểm M bằng phương pháp đại số.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y=3x và y=-x+4:

3x=-x+4

⇔4x=4⇔x=1

Với x=1, y=3 nên M(1;3).

a) Vẽ đồ thị:

Phương trình hđgđ của (P) và (d) : x2=−x+2.

⇔x2+x−2=0⇔x2−x+2x−2=0⇔x−1x+2=0⇔x=1∨x=−2.

+ x=1⇒y=1 

+ x=−2⇒y=4 

Vậy A(-2;4), B(1;1).

ABCD là hình thang vuông có hai đáy BD=yB=1;AC=yA=4  Đường cao  CD=xB−xA=3

Vậy SABDC=121+4.3=7,5 (đvdt).

Đồ thị hàm số y=ã+6 đi qua A(1;2) khi và chỉ khi: a+6⇔a=-4

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2x2=m (1).(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, tức là m>0.Với m>0, (1)(1)⇔x=±m/2. Suy ra A(−m/2;m),  B(m/2;m).AB=2⇔2m/2=2⇔2m=2⇔m=2(thỏa m>0). Vậy m=2 là giá trị cần tìm 

a) Đồ thị (P) đi qua các điểm O(0;0), (1;-1); (-1;-1); (2;-4); (-2;-4)

Đồ thị (d) đi qua các điểm (-1;-1); (0;-3)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

    −x2=−2x−3Û x² – 2x – 3 = 0

   ⇔x=−1x=3 (vì a-b+c=0)

  ⇒y−1=−1, y(3)=-9

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là (-1;-1); (3;-9).

a) Đồ thị

    Đồ thị (P) đi qua các điểm O(0;0), (1;1); (-1;1);

                                      (2;4); (-2;4)

            Đồ thị (d) đi qua các điểm (1;1); (0;2)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

x2=−x+2⇔x2+x−2=0⇔x−1x+2=0⇔x=1x=−2⇒y1=1; y−2=4

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là (-2;4); (1;1)

(d): y=(2m-1)x +3 song song đường thẳng d':y=5x+6

          ⇒2m−1=53≠6⇒2m=6⇒m=3

            Vậy m=3 thì (d)//(d')

Bảng giá trị 

Đồ thị

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d1 là:

−x22=x+m−2⇔x2+2x+2m−4=0Δ=22−42m−4=−8m+20 

Để (P) cắt d1 tại hai điểm phân biệt ⇔Δ>0⇔−8m+20>0⇔m<52

            Vậy m<52 thì (P) cắt (d₁ )tại hai điểm phân biệt.

b) Phương trình hoành độ giao điểm

12x2=x+4⇔x2−2x−8=0⇔x=−2x=4

Với x=−2⇒y=2

Với x=4⇒y=8

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (-2;2) và (4;8)