Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

Ta cóQ=2002a+2017b+2996a−5501b=2002a+8008a+2017b+2017b−(5012a+7518b)=2002(1a+4a)+2017(1b+b)−2506(2a+3b)≥2002.21a.4a+2017.21b.b−2506(2a+3b)   (BDT CoSi)≥2002.4+2017.2−2506.4=2018.

Do đó Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2018 khi a=12 và b=1

Ta có

4A=(x+y+z+t)2(x+y+z)(x+y)xyzt≥4(x+y+z)t(x+y+z)(x+y)xyzt.=4(x+y+z)2(x+y)xyz≥4.4(x+y)z(x+y)xyz.=16(x+y)2xy≥16.4xyxy≥64.⇒A≥16

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x+y+z+t=2x+y+z=tx+y=zx=y⇔x=y=14z=12t=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi  x=y=14,z=12,t=1

Ta có a5bc+b5ca+c5ab=a6abc+b6abc+c6abc  =(a3)2abc+(b3)2abc+(b3)2abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

a5bc+b5ca+c5ab=(a3)2abc+(b3)2abc+(b3)2abc≥(a3+b3+c3)2abc+abc+abc   =(a3+b3+c3)(a3+b3+c3)3abc

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a3,b3,c3 ta được:

a3+b3+c3≥3a3b3c33=3abc

Do đó:

a5bc+b5ca+c5ab≥(a3+b3+c3)(a3+b3+c3)3abc≥(a3+b3+c3)3abc3abc=a3+b3+c3(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Đặt x=a+b; y=b+c; z=a+c;⇒1x+1y+1z=2017P=1x+2y+z+1x+y+2z+12x+y+zTa có: 1x+1y≥4x+y1y+1z≥4y+z1x+1x≥4x+z⇒1x+1y+1z≥21x+y+1y+z+1x+z≥412x+y+z+12y+x+z+12z+x+y⇒P≤141x+1y+1z=20174

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=34034

Với x;y>0xy=1ta có: x+y2≥4xy=4⇒x+y≥2

Đặt t=x+y; t≥2

Khi đó: M=x2+y2+3x+y+1=x+y2−2xy+3x+y+1=t2−2+3t+1=t3+t2−2t+1t+1

=t−2t2+3t+1+3t+1t+1=t−2t2+3t+1t+1+3≥3(Vì t≥2).

Vậy minM=3⇔t=2⇔x+y=2xy=1⇔x=y=1

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3=ab+bc+ac≥3a2b2c23⇒abc≤1,(1)a+b+c2≥3ab+bc+ac=9⇒a+b+c≥3,(2)Từ 1 và 2 ⇒a+b+c≥3abc.Đặt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1⇒x,y,z>0; z≥x⇒P=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z2≥2x2+y2+z2⇒P≥2x2+y2+z2≥2xy+yz+xz.(*)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1⇔xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4⇔xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12⇔xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12≥3a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34⇒P≥2.34=32.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z⇒a=b=c=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32.

Cách 2: Vì Vì a≥c⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12

⇒P≥2a+12+2b+12+2c+12

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

1x+12+1y+12≥11+xy

⇔1+xyx2+y2+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx2+y2−2xy+2xy+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+21+xyxy+x+y+1−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+xy−x−y+1xy+x+y+1≥0⇔xyx−y2+x−y2+xy+12−x+y2≥0⇔xyx−y2+xy−12≥0.

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12

⇒P≥1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+12≥11+ab+11+bc+11+ac.

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

x+y+z1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z⇒P≥11+ab+11+bc+11+ac≥93+ab+bc+ac=96=32.

Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.

Điều kiện 1≤a≤90≤b, c≤9a, b, c∈ℕ(*)

Ta có abc¯−ac¯=2.cb→+bc→ ⇔100a+10b+c−10a+c=210c+b+10b+c

⇔90a=2b+21c⇒90a≤2.9+21.9⇒a≤2,3⇒a=1a=2

+ TH1: a=1⇒2b+21c=1⇒1−2b=21c≥0⇒b≤12⇒b=0⇒c=121

+ TH2: a=2⇒2b+21c=2⇒2−2b=21c≥0⇒b≤1⇒b=0⇒c=221b=1⇒c=0

Kết hợp với (*) ta được a=2, b=1, c=0 thỏa mãn.Vậy a=2, b=1, c=0

Từ giả thiết: a+b+c=1⇒1−a=b+c ;1−b=a+c ;1−c=a+b 

Suy ra a+2b+c≥41−a1−b1−c

⇔(a+b)+(b+c)≥4a+bb+cc+a 

Đặt x=a+b ; y=b+c ; z=c+a  x,y,z≥0 

Suy ra x+y+z=2,ta phải chứng minh x+y≥4xyz 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :  x+y+z=x+y+z≥2(x+y).z  suy ra 2≥2(x+y).z 

suy ra 1≥x+yz, do x+y≥0 suy ra x+y≥(x+y)2z  (1)

Mặt khác   x+y2≥4xy, do z≥0 suy x+y2z≥4xyz (2)

Từ (1) và (2) suy ra x+y≥4xyz suy ra bài toán được chứng minh.

Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2=x1+y2+y1+z2+z1+x2+11+y2+11+z2+11+x2=M+N

Xét M=x1+y2+y1+z2+z1+x2, áp dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có:

x1+y2=x1+y2−xy21+y2=x−xy21+y2≥x−xy22y=x−xy2

Tương tự: y1+z2≥y−yz2; z1+x2≥z−zx2;

Suy ra M=x1+y2+y1+z2+z1+x2≥x+y+z−xy+yz+zx2=3−xy+yz+zx2

Lại có: x2+y2+z2≥xy+yz+zx⇒x+y+z2≥3xy+yz+zx⇒xy+yz+zx≤3

Suy ra: M≥3−xy+yz+zx2≥3−32=32

Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z.

Xét N=11+y2+11+z2+11+x2, ta có: 

3−N=1−11+y2+1−11+z2+1−11+x2

             =y21+y2+z21+z2+x21+x2≤y22y+z22z+x22x=x+y+z2=32

Suy ra: N≥3−32=32.

Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z=1

Từ đó suy ra: Q≥3. Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z=1

Vậy Qmin=3⇔x=y=z=1

+ Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ca⇒2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca

⇒P=a2+b2+c2≥ab+bc+ca=9

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔a=b=c≥1ab+bc+ca=9⇔a=b=c=3.

+ Tìm giá trị lớn nhất.

Vì a≥1b≥1c≥1⇒a−1b−1≥0b−1c−1≥0c−1a−1≥0⇒ab−a−b+1≥0bc−b−c+1≥0ca−c−a+1≥0

⇒ab+bc+ca−2a+b+c+3≥0

⇒3≤a+b+c≤ab+bc+ca+32=6

⇒a+b+c2≤36

⇒a2+b2+c2+2ab+bc+ca≤36

⇒P≤36−2ab+bc+ca=18

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1.

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1.

a) Xét hiệu: 

141x+1y−1x+y=x+y4xy−1x+y=x+y2−4xy4xyx+y=x−y24xyx+y≥0(do x>0; y>0)

Vậy 1x+y≤141x+1y⋅

Dấu "=" xảy ra ⇔x=y⋅

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

13a+2b+c=13a+2b+c≤1413a+12b+c    1

Chứng minh được với a; b; c>0 ta có 9a+b+c≤1a+1b+1c⋅

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

1413a+12b+c  ≤1413a+192b+1c=1413a+29b+19c   2

Từ (1) và (2) suy ra 13a+2b+c≤1413a+29b+19c

Chứng minh tương tự ta được:

1a+3b+2c≤1419a+13b+29c;  12a+b+3c≤1429a+19b+13c

Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤14⋅231a+1b+1c=14⋅23⋅16=83

Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c1a+1b+1c=16⇔a=b=c=316.

Vậy 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤83(đpcm)

Ta có: P=x2+2+2x2+2=x2+22+2x2+2+x2+22≥2x2+22.2x2+2+x2+22=2+x2+22≥2+0+22=3

Dấu "=" xảy ra khi x2+22=2x2+2x2=0⇔x=0

Vậy GTNN của P bằng 3 khi x=0

Ta có a1−a+b1−b+c1−c>2

⇔aa+b+c−a+ba+b+c−b+ca+b+c−c>2⇔ab+c+ba+c+ca+b>2⇔2a2ab+c+2b2ba+c+2c2ca+b>2⇔a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b>1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

 a+b+c≥2ab+cb+a+c≥2ba+cc+a+b≥2ca+b⇒a2ab+c≥aa+b+cb2ba+c≥ba+b+cc2ca+b≥ca+b+c

⇒a2ab+c+b2ba+c+c2ca+b≥a+b+ca+b+c=1

Dấu “=” xảy ra khi a=b+cb=c+ac=a+b⇒a=b=c=0 ( vô lý vì a, b, c>0).

Vậy a1−a+b1−b+c1−c>2.

Đặt a=x2; b=y2 (a≥0; b≥0) thì P=(a−b)(1−ab)(1+a)2(1+b)2

Vì a≥0; b≥0 nên:

(a−b)(1−ab)=a−a2b−b+ab2≤a+ab2=a1+b2≤a1+2b+b2=a1+b2 

Lại có: (1+a)2=(1−a)2+4a≥4a

⇒P≤a(1+b)24a(1+b)2=14

Dấu bằng xảy ra: ⇔a=1b=0⇔x=±1y=0

Vậy max P=14⇔x=±1y=0 .

Ta có: P=2x2+y2+35xy+2xy=2x2+y2+1xy+32xy+2xy+2xy.

Với a>0, b>0 ta có 1a+1b≥4a+b (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cô-si).

Áp dụng (*) cho hai số dương 2x2+y2; 1xy ta được:

2x2+y2+1xy=21x2+y2+12xy≥2.4x2+y2+2xy=8x+y2>842=12.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương , ta có:

2xy≤x+y≤4⇒xy≤4⇒2xy≥24=1232xy+2xy≥232xy.2xy=16.

Do đó P=2x2+y2+1xy+32xy+2xy+2xy≥12+16+12=17.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x2+y2=2xyxy=4x=yx+y=4⇔x=y=2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17khi x=y=2.

Ta có S1=2ab+ac+bc,

S2=4πa2+b2+c24=πa2+b2+c2.

Do đó:

S1S2=2ab+ac+bcπa2+b2+c2=22ab+2ac+2bcπ2a2+2b2+2c2

 

Mặt khác 22ab+2ac+2bcπ2a2+2b2+2c2≤2π

Do đó, tỉ lệ S1S2 lớn nhất là 2π. Điều này xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Q=x3+y3+x2+y2=x+yx2−xy+y2+x+y2−2xy=2x+y2−3xy+4−2xy=24−3xy+4−2xy=12−8xyMà x+y=2⇔y=2−x⇒Q=12−8x2−x=8x2−16x+12=8x−12+4≥4

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 4 tại x=y=1

Đặt A=xyz31+x1+y+yzx31+y1+z+zxy31+z1+x

Từ giả thiết, ta có: xy+yz+zx=xyz⇔1x+1y+1z=1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương, ta có: 

xyz31+x1+y+1+x64x+1+y64y≥3xyz31+x1+y⋅1+x64x⋅1+y64y3=316z(1).

Tương tự, ta có:

Cộng (1), (2), (3), ta được:

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

P=3x+2y+6x+8y=3x2+6x+2y4+8y+1,5x+1,5y

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

P≥6+4+1,5(x+y)=6+4+1,5.6=19

Dấu bằng xảy ra khi: 3x2=6x2y4=8yx+y≥6⇔x=±2y=±4x+y≥6⇔x=2y=4

Vậy P_min = 19 tại x=2y=4.

3a2+2ab+3b2=2(a+b)2+(a−b)2≥2(a+b)2

⇒3a2+2ab+3b2≥2(a+b)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Chứng minh tương tự ta có: 3b2+2bc+3c2≥2(b+c)

3c2+2ca+3a2≥2(c+a)

P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2 (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a+1≥2a;b+1≥2b;c+1≥2c

⇒a+b+c≥2(a+b+c)−3=3 (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Từ (1) và (2) suy ra: P≥62. Đẳng thức xảy ra ⇔a=b=c=1.

Vậy minP=62, khi a=b=c=1.

Có x−y=2⇒y=x−2 ⇒Q=3x2+y2+8=3x2+x−22+8=4x2−4x+12=2x−12+11≥11

⇒  Giá trị nhỏ nhất của Q bằng 11. Khi x=12y=−32.

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: C=x2+y2+xy=ax+y2+bx−y2=a+bx2+y2+2a−bxy.

Suy ra a+b=1a−b=12⇔a=34b=14.

Hay ta có: C=34x+y2+14x−y2=34.1+14x−y2≥34

Dấu “=” xảy ra khi x=yx+y=1⇔x=y=12.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là minC=34 khi x=y=12.

Cách 2:

Do x+y=1⇒y=1−x. Khi đó, ta có:

C=x2+y2+xy=x2+1−x2+x1−x=x2−x+1=x−122+34≥34.

Dấu “=” xảy ra khi x=12x+y=1⇔x=y=12.

Vậy, minC=34 khi x=y=12.

+ Áp dụng:  a,b≥0 ta có ab≤a+b2, dấu bằng xảy ra khi a=b.

P=x(y+3z)+y(y+z)2=124x(y+3z)+122y(y+z)≤12.4x+(y+3z)2+12.2y+(y+z)2=x+y+z=3

Suy ra P≤3.

P=3⇔4x=y+3z2y=y+zx+y+z=3x>0; y>0; z>0⇔x=y=z=1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 khi x=y=z=1