Chuyên đề 2: Bất đẳng thức có đáp án

Ta có: a4+b4≥aba2+b2⇒aba4+b4+ab≤ababa2+b2+ab=1a2+b2+1

Tương tự có: bcb4+c4+bc≤1b2+c2+1;cac4+a4+ca≤1c2+a2+1

Suy ra VT≤1a2+b2+1+1b2+c2+1+1c2+a2+1

Đặt a2=x3;b2=y3'c2=z3 ta có: xyz = 1 ( do abc = 1)

Suy ra: VT≤1x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1

Dễ cm đc x3+y3≥xyx+y

VT≤1xyx+y+1+1yzy+z+1+1zxz+x+1

VT≤zxyzx+y+z+xxyzy+z+x+yzxyz+x+y

VT≤zx+y+z+xx+y+z+yzx+y+z=1

Vậy VT≤1 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Đặt P=a3b+b3c+c3a.

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

a3b+ab≥2a2b3c+bc≥2b2c3a+ac≥2c2.

⇒P=a3b+b3c+c3a≥2a2+b2+c2−ab+bc+ac, mà a+b+c+ab+bc+ac=6.

⇒P≥2a2+b2+c2+a+b+c−6.

Có a−b2+b−c2+a−c2≥0⇒2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca⇒3a2+b2+c2≥a+b+c2.

Suy ra P≥23a+b+c2+a+b+c−6.

Có ab+bc+ca≤a2+b2+c2⇒3ab+bc+ac≤a+b+c2.

Do đó 6=a+b+c+ab+bc+ac≤a+b+c+13a+b+c2⇒13a+b+c2+a+b+c−6≥0.⇒a+b+c≥3, a+b+c2≥9.

Suy ra P≥23.9+3−6=3. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy a3b+b3c+c3a≥3.

Bất đẳng thức cần chứng minh 12+a+12+b+12+c≤1

⇔b+2c+2+a+2c+2+a+2b+2≤a+2b+2c+2

⇔ab+bc+ca+4a+b+c+12≤abc+2ab+bc+ca+4a+b+c+8

⇔ab+bc+ca+4a+b+c+12≤1+2ab+bc+ca+4a+b+c+8

⇔ab+bc+ca≥3

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có ⇔ab+bc+ca≥3abc23≥3.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Hoàn tất chứng minh.

Từ a + b = 4ab ⇒4ab≥2ab⇒ab≥14 .

Chứng minh được BĐT: Với x, y > 0 ta có a2x+b2y≥a+b2x+y (*) .

Áp dụng (*) ta có

a4b2+1+b4a2+1=a24ab2+a+b24a2b+b≥a+b24ab(a+b)+(a+b)

= a+b4ab+1=4ab4ab+1=1−14ab+1≥12

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=12 .

Áp dụng bất đẳng thức xy+yx≥2 cho hai số x > 0; y > 0 ta chứng minh được x+y+z1x+1y+1z≥9 .

12+13+...+1400=212+2+13+3+...+1400+400<212+1+13+2+...+1400+399

Ta có 212+1+13+2+...+1400+399

=2−1+3−2+...+400−399

=2−1+400=38

Vậy 12+13+...+1400<38

Ta chứng minh bất đẳng thức 1x+y≤141x+1y với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

1x+y≤141x+1y⇔1x+y≤x+y4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x2+2xy+y2−4xy≥0

⇔x2−2xy+y2≥0⇔(x−y)2≥0 (luôn đúng)

Do đó: 1x+y≤141x+1y với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

1a+b+2c=1(a+c)+(b+c)≤14(1a+c+1b+c)⇒aba+b+2c≤ab41a+c+1b+c

Tương tự ta có: bcb+c+2a≤bc41b+a+1c+acac+a+2b≤ca41c+b+1a+b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤ab41a+c+1b+c+bc41b+a+1c+a+ca41c+b+1a+b

=14aba+c+abb+c+bcb+a+bcc+a+cac+b+caa+b=14ab+bca+c+ab+cac+b+bc+cab+a=14b(a+c)a+c+a(b+c)c+b+c(b+a)b+a=14(a+b+c)

Do đó VT≤14VP (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Ta có a+2b+c≥4(1−a)(1−b)(1−c)⇒a+2b+c≥4(b+c)(a+c)(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

a+b+b+c≥2(a+b)(b+c)⇒(a+2b+c)2≥4(a+b)(b+c)⇒(a+2b+c)2(a+c)≥4(a+b)(b+c)(a+c) 

Áp dụng bất đẳng thức cô si

a+2b+c+a+c2≥(a+2b+c)(a+c)⇒2(a+b+c)2≥(a+2b+c)(a+c)⇒1≥(a+2b+c)(a+c) ⇒1≥(a+2b+c)(a+c)⇒a+2b+c≥(a+2b+c)2(a+c)

⇒a+2b+c≥4(a+b)(a+c)(b+c)

7x–2>4x+3⇔3x>5⇔x>53

Vậy nghiệm của bất phương trình là x>53

A=2+18=2+2.32=2+32=42

Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z

ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2

≥ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2

⇒a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z      (*)

Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz≤y+z2;zx≤z+x2;xy≤x+y2

⇒T≥x2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2

=2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z

=2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

T≥2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673

T=21x+21y+3y+3x=x3+623x+3x+21y+73y+23y=x3+3x+21y+73y+623x+23y≥2+14+62+2=80

Dấu "=" xảy ra ⇔x=3y=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3.

Ta có xy+yz+zx≤x+y+z33≤13 nên 2017xy+yz+zx≥6051

Áp dụng BĐT x+y+z1x+1y+1z≥9 , ta có:

(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)  1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx≥9⇔(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)  1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx≥9

Hay 1x2+y2+z2 +  2xy+yz+zx≥9

Từ đó ta có: P=1x2+y2+z2 +  2xy+yz+zx+  2017xy+yz+zx≥9+6051=6060

⇔P≥6060Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x=y=z=13

Ta có a3+b3+4=a3+b3+1+3≥3ab+3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Vì ab + 1 > 0 nên M=a3+b3+4ab+1≥3ab+1ab+1=3.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b = 1.

+) Vì a2+b2=2 nên a≤2;b≤2. Suy ra a3+b3+4≤2a2+b2+4=22+4.

Mặt khác 1ab+1≤1 do ab+1≥1. Suy ra M=a3+b3+4ab+1≤22+4.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a2+b2=2ab=0⇔a;b=0;2∨a;b=2;0.

Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 4+22 đạt được khi a;b=0;2∨a;b=2;0

Ta có: x+y=1⇒y=1−x thay vào A ta được:

A=2x2−y2+x+1x+1=2x2−(1−x)2+x+1x+1=2x2−x2−2x+1+x+1x+1=x2+2x+x+1x=x2−x+14+4x+1x−14=x−122+4x+1x−14

Dễ thấy x−122≥0,∀x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 4x+1x≥24x.1x=4

Suy ra x−122+4x+1x−14≥0+4−14=154

Dấu "=" xảy ra khi x=12

Vậy Amin=154 khi x=12.

P=15xy+5x+2y+5P=15xy+5x+2y+5P=15xy+5(x+y)+y+5≥15xy+5y+8⇔P≥15xy+xy20+5y+8+y+820−xy+y+820

Ta lại có: xy+y+820=y(x+1)+820≤x+y+124+820≤35

Khi đó:

P≥15xy+xy20+5y+8+y+820−xy+y+820⇔P≥15+1−35⇔P≥35

Vậy PMin=35⇔x=1y=2

Với x>y, xy=1, ta có

P=x2+y2x−y=(x−y)2+2xyx−y=x−y+2x−y

Vì x>y⇒x−y>0; 2x−y>0 và xy = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x−y; 2x−y, ta có

x−y+2x−y≥22(x−y)x−y=22=22

Suy ra minP=22.

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔x−y=2x−y⇔(x−y)2=2⇔x−y=2⇔x=y+2.

Mà xy=1⇒(y+2)y=1⇔y2+2y=1⇔y2+2y−1=0⇔y=6−22y=−6−22

Vậy minP=22 tại x=2+62y=−2+62hoặc x=2−62y=−2−62.

P=  3−x3−y=9−3x+y+xy=18−6x+y+2xy2     = 17+x2+y2−6x+y+2xy2=8+x+y2−6x+y+92     = x+y−322+4.

Từ x2+y2=1 chỉ ra đượcx+y2≤2⇒ −2 ≤x+y≤2;

Suy ra −2 −3≤x+y−3≤2−3<0.

P= x+y−322+4≥2−322+4=19−622⋅

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 19−622 khi x=y=22⋅

Ta có a3+b3+4=a3+b3+1+3≥3ab+3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Vì ab + 1 > 0 nên M=a3+b3+4ab+1≥3ab+1ab+1=3.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 3 đạt được khi a = b = 1.

+) Vì a2+b2=2 nên a≤2,b≤2. Suy ra a3+b3+4≤2a2+b2+4=22+4.

Mặt khác 1ab+1≤1 do ab+1≥1. Suy ra M=a3+b3+4ab+1≤22+4.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a2+b2=2ab=0⇔a;b=0;2∨a;b=2;0.

Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 4+22 đạt được khi a;b=0;2∨a;b=2;0

Đặt a=x; b=2y; c=3z , ta được: a,b,c>0;  a+b+c=2.

Khi đó: S=abab+2c+bcbc+2a+acac+2b .

Xét abab+2c=abab+a+b+cc=aba+cb+c≤12aa+c+bb+c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi aa+c=bb+c.

Tương tự ta có: bcbc+2a ≤12bb+a+cc+a  ;acac+2b≤12aa+b+cc+b.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bb+a=cc+a; aa+b=cc+b.

Cộng các vế ta được: S≤12a+ba+b+b+cb+c+a+ca+c=32.

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 32  khi và chỉ khi a=b=c=23 hay giá trị lớn nhất của S bằng 32  khi và chỉ khi x=23; y=13; z=29.

Ta có a2+b2+ab=3⇔a2+b2=3−ab thay vào P ta được.

P=a4+b4−ab=a2+b22−2a2b2−ab=3−ab2−2a2b2−ab=9−6ab+a2b2−2a2b2−ab=9−7ab−a2b2=−ab2+2.ab.72+494+494+9=−ab+722+854

Vì a2+b2=3−ab, mà a+b2≥0⇔a2+b2≥−2ab⇒3−ab≥−2ab⇔ab≥−3. (1)

Và a−b2≥0⇔a2+b2≥2ab⇒3−ab≥2ab⇔ab≤1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra −3≤ab≤1⇔−3+72≤ab+72≤72+1⇔12≤ab+72≤92

⇔14≤ab+722≤814⇔−814≤−ab+722≤−14⇔−814+854≤−ab+722+854≤−14+854⇔1≤−ab+722+854≤21 

Vậy Max P = 21. Dấu = xảy ra khi ab=−3a2+b2=6⇔a=3b=−3vb=3a=−3.

Min P = 1. Dấu = xảy ra khi ab=1a2+b2=2⇔a=1b=1 hoặc a=-1b=-1.

Ta có: (a−b)2≥0⇔a2+b2≥2ab⇔(a+b)2≥4ab;a2+b2≥(a+b)22

Từ giả thiết a+b+3ab=1⇒a+b=1−3ab≥1−34a+b2

⇔3a+b2+4a+b−4≥0⇔a+b+23a+b−2≥0⇔a+b≥23 (vì a, b > 0)

3aba+b=1−(a+b)a+b=1a+b−1≤32−1=12a2+b2≥a+b22≥29⇔−a2+b2≤−29P=6aba+b−a2−b2=23aba+b−a2+b2≤1−29=79

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 79 khi a=ba+b+3ab=1⇔a=b=13

Ta có: (a−b)2≥0⇔a2+b2≥2ab⇔(a+b)2≥4ab;a2+b2≥(a+b)22

Từ giả thiết a+b+3ab=1⇒a+b=1−3ab≥1−34a+b2

⇔3a+b2+4a+b−4≥0⇔a+b+23a+b−2≥0⇔a+b≥23.3aba+b=1−(a+b)a+b=1a+b−1≤32−1=12.a2+b2≥a+b22≥29⇒−a2+b2≤−29.P=12aba+b−a2−b2=4.3aba+b−a2+b2≤2−29=169.

Giá trị lớn nhất của P bằng 169 khi a=ba+b+3ab=1⇔a=b=13.

x2+y2+z2=3xyz⇒xyz+yxz+zxy=3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương xyz;yxz ta có: xyz+yxz≥2xyz.yx=2z

Tương tự ta cũng có: yxz+zxy≥2x; zxy+xyz≥2y

⇒xyz+yxz+yxz+zxy+zxy+xyz≥2z+2x+2y⇒xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z⇒1x+1y+1z≤3

Lại có: x4+yz≥2x4yz=2x2yz⇒x2x4+yz≤12yz=14.2.1y.1z≤14(1y+1z)

Tương tự y2y4+xz≤14(1x+1z);z2z4+xy≤14(1x+1y)

Suy ra

P=x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤14(2x+2y+2z)=12(1x+1y+1z)≤32=>P≤32

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 32 khi x = y = z = 1.

Ta có:

2a2+ab+2b2=54a+b2+34a−b2≥54a+b2⇒2a2+ab+2b2≥52a+b

Tương tự:

2b2+bc+2c2≥52b+c ; 2c2+ca+2a2≥52c+a

⇒P≥52a+b+52b+c+52c+a=5a+b+c⇒P≥20195

Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=20193=673

Vậy minP=20195⇔a=b=c=673

Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

9aba+3b+2c≤abc+a+abc+b+a2;9bcb+3c+2a≤bca+c+bca+b+b2;9cac+3a+2b≤cab+a+cab+c+c2 

Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được

9A≤abc+a+abc+b+a2+bca+c+bca+b+b2+cab+a+cab+c+c2⇔9A≤abc+a+bca+c+abc+b+cab+c+bca+b+cab+a+a+b+c2⇔9A≤32.a+b+c=9⇒A≤1.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2

Vậy MaxA=1⇔a=b=c=2..

Điều kiện x≠0

Ta có A=x2−3x+2019x2=1−3x+2019x2

Đặt t=1xt≠0 ta được:

A=1−3t+2019t2=2019t2−1673t+1=2019≥t2−2t11346+113462−2019113462+1=2019t−113462+26892692≥26892692

với mọi t thuộc R

Dấu “=” xảy ra khi t=11346tm . Vậy minA=26892692 khi t=11346⇒x=1346tm

Ta có:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2

x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0

Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z

|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z

Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz =t2 khi đó ta có

P=12(x+y+z)2+4(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=t22+8t=t22+2+8t−2

Áp dụng BĐT Cô si ta có: t22+2≥2t22.2=2t (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

2t+8t≥22t.8t=8 (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6