Bộ 7 Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án (Đề 6)
23 câu hỏi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{1 + 3x - {x^2}}}\)bằng:
+¥
2
−2
1
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{1 + 3x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}\left( {2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{x} - 1} \right)}} = - 2.\)
Đạo hàm của hàm số y = cosx là:
y' = sinx
y' = −cotx
y' = −sinx
y' = tanx
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có y' = (cosx)' = −sinx.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - 3{x^2} + 6x + 1} \right)\) bằng:
−¥
1
−3
3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - 3{x^2} + 6x + 1} \right) = - {3.2^2} + 6.2 + 1 = 1.\)
Cho hàm số f(x) = 2x3 – 8. Giá trị f'(−2) bằng:
24
16
−24
4
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có f'(x) = 6x2 Þ f'(−2) = 24.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng:
90°
60°
30°
45°
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có SA ^ (ABC) Þ AC là hình chiếu của SC lên (ABC)
Þ [SC,(ABC)] = \(\widehat {SCA}.\)
Tan\(\widehat {SCA}\)= \(\frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4} + 5{x^2} - 3} \right)\) bằng
+¥
−¥
−1
1
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4} + 5{x^2} - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( { - 1 + \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right) = - \infty .\)
Hàm số y = \(\frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm là y' = \(\frac{m}{{{{(x + 1)}^2}}}\), giá trị của P = 2m – 1 là:
7
4
−9
3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có y = \(\frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\) Þ y' = \(\frac{4}{{{{(x + 1)}^2}}}\)Þ m = 4
Þ P = 2.4 – 1 = 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
SA ^ (ABC)
BC ^ (SAB)
BD ^ (SAC)
CD ^ (SBC)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
∙SA ^ AB, SA ^ AC Þ SA ^ (ABC);
∙BC ^ AB, BC ^ SA Þ BC ^ (SAB);
∙BD ^ AC, BD ^ SA Þ BC ^ (SAC).
Vậy đáp án D sai.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 – 3x2 + 1 tại điểm M(1;−1) là:
y = 2x – 3
y = -x + 1
y = -2x + 1
y = -2x + 3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có y = x4 – 3x2 + 1 Þ y' = 4x3 – 6x Þ y'(1) = −2.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1;−1) là:
y = −2(x – 1) – 1 = −2x + 1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{5 - 3x}}{{x + 2}}\) bằng:
+¥
11
5
−¥
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{5 - 3x}}{{x + 2}} = \frac{{5 - 3.( - 2)}}{{ - 2 + 2}} = \frac{{11}}{{{0^ - }}} = + \infty \)
Phát biểu nào sau đây là đúng?
(sin3x)' = 3.cos3x
(sin3x)' = −3.cos3x
(sin3x)' = 3.sin3x
(sin3x)' = cos3x
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có (sin3x)' = (3x)'.cos3x = 3.cos3x
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và có SA = SC, SB = SD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
SA ^ (ABCD)
SO ^ (ABCD)
SC ^ (ABCD)
SB ^ (ABCD)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có
∙SA = SC Þ Tam giác SAC cân tại S
Þ SO là đường cao tam giác SAC Þ SO ^ AC (1)
∙SB = SD Þ Tam giác SBD cân tại S
Þ SO là đường cao tam giác SBD Þ SO ^ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO ^ (ABCD).
Cho hàm số f(x)={3-4x+1x-2 khix≠2a khix=2. Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi a bằng:
\( - \frac{2}{3}\)
2
\( - \frac{4}{3}\)
\(\frac{2}{3}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: f(2) = m
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3 - \sqrt {4x + 1} }}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{9 - (4x + 1)}}{{(x - 2)\left( {3 + \sqrt {4x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 4(x - 2)}}{{(x - 2)\left( {3 + \sqrt {4x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 4}}{{\left( {3 + \sqrt {4x + 1} } \right)}} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array}\]
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì f(2) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\) Û m = \( - \frac{2}{3}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 7} - 2x} \right)\) bằng:
−¥
2
−1
+¥
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 7} - 2x} \right)\)
= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 7} } \right) - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\)
= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {4 - \frac{4}{x} + \frac{7}{{{x^2}}}} } \right) - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \)= +¥ − 2¥ = −1.
Đường thẳng y = ax + b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 – 3x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2, giá trị của a + b bằng:
26
−8
−9
10
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có y' = 3x2 – 3 Þ y'(2) = 9 và y = 1
Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là: y = 9(x – 2) + 1 = 9x – 17.
Þ a = 9, b = −17 Þ a + b = −8.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = 2t4 – 9t2 + 3, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 (giây) là:
64 (m/s)
12(m/s)
100(m/s)
28(m/s)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có v = S' = 8t3 – 18t Þ v(2) = 28 (m/s).
Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}}\,\,khi\,x \ne 2}\\{5x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 2}\end{array}} \right.\) tại x0 = 2.
Hướng dẫn giải
Tại x0 = 2, ta có: f(2) = 5.2 – 3 = 7.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - x - 6}}{{x - 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2(x - 2)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)}}{{x - 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 3) = 7\)
Vì f(2) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\)= 7 nên hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2.
Chứng minh rằng phương trình 2x4 – 3x3 – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Hướng dẫn giải
Đặt f(x) = 2x4 – 3x3 – 5, f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.
Do đó f(x) liên tục trên đoạn [1;2]
f(1) = −6, f(2) = 3 Þ f(1).f(2) = −18 < 0
Þ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng [1;2].
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) = \(\frac{1}{3}\)x3 + 2x2 – \(\frac{2}{3}\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = −4x + 2022.
Hướng dẫn giải
Ta có y = \(\frac{1}{3}\)x3 + 2x2 – \(\frac{2}{3}\) Þ y' = x2 + 4x
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = −4x + 2022 nên y'(x0) = −4
Ta có x02 + 4x0 = −4 Û x02 + 4x0 + 4 = 0 Û x0 = -2 Þ y0 = \(\frac{{14}}{3}\).
y'(−2) = −4
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = y'(x0)(x – x0) + y0
Þ Phương trình tiếp tuyến y = −4(x + 2) + \(\frac{{14}}{3}\) = −4x − \(\frac{{10}}{3}\).
Giải bất phương trình f'(x) > −1, biết rằng f(x) = (x2 – 2x)(x – 3).
Hướng dẫn giải
f'(x) = (x2 – 2x)'. (x – 3) + (x – 3)'. (x2 – 2x)
= (2x – 2).(x – 3) + (x2 – 2x) = 3x2 – 10x + 6
f'(x) > −1 Û 3x2 – 10x + 6 > −1 Û 3x2 – 10x + 7 > 0
Tập nghiệm của bất phương trình là : S = (−¥;1) È \(\left( {\frac{7}{3}; + \infty } \right)\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh AB = \(a\sqrt 2 \), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a.
Chứng minh CD ^ (SAD).
Hướng dẫn giải
Ta có SA ^ (ABCD) mà CD Ì (ABCD) Þ SA ^ CD (1)
ABCD là hình vuông Þ CD ^ AD (2)
Từ (1) và (2) Þ CD ^ (SAD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a2, SA ⊥ (ABCD) và SA = 3a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Hướng dẫn giải
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) Þ \(\widehat {SCA}\) là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
Ta có AC = 2a (đường chéo hình vuông ABCD)
Tan \(\widehat {SCA}\)= \(\frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{2a}} = \frac{3}{2}\) Þ \(\widehat {SCA}\)= 56°18’
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh AH ^ BD và tính độ dài đoạn AH.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right\}\)Þ BD ^ (SAC) mà AH Ì (SAC) Þ AH ^ BD.
Ta lại có: ∆SAC vuông tại A Þ AH = \(\frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}\).
