Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 21)
25 câu hỏi
lim4n+20192n+1 bằng
4
2
2019
12
Ta có lim4n+20182n+1=lim4+2018n2+1n=2
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm. Khẳng định nào sau đây đúng?
GA=GB=GC=GD
GA→+GB→+GC→+GD→=0→
GA→=GB→=GC→=GD→
GA+GB+GC+GD=0
Lời giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Khi đó ta có G là trung điểm của MN và:
GA→+GB→=2GM→
GC→+GD→=2GN→
Cộng hai vế tương ứng ta được
GA→+GB→+GC→+GD→=2GM→+2GN→=0→.
limx→+∞x3−2019x−2020 bằng
0
1
-∞
+∞
Lời giải
Ta có:limx→+∞x3−2019x−2020=limx→+∞x31−2019x2−2020x3.
Vì limx→+∞x3=+∞ và limx→+∞1−2019x2−2020x3=1>0
nên theo quy tắc 2, limx→+∞x3−2x+1=+∞.
limun, với un=5n2+3n−7n2bằng
0
5
3
-7
Ta có limun=lim5n2n2+3nn2−7n2=lim5+3n−7n2=5
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, biết AB→=a→, AC→=b→ và AD→=c→. Đẳng thức nào sau đây đúng?
DM→=12a→+c→−2b→
DM→=12b→+c→−2a→
DM→=12a→+b→−2c→
DM→=12a→+b→−c→
Ta có DM→=12DB→+DC→=12DA→+AB→+DA→+AC→=12AB→+AC→−2AD→=12a→+b→−2c→
lim3n−4.2n−1−33.2n+4n bằng
+∞
-∞
0
1
lim3n−4.2n−1−33.2n+4n=lim3n−2.2n−33.2n+4n=lim34n−2.24n−3.14n3.24n+1=0
Cho hàm số fx=x3−3x2+1. Giá trị limx→−∞fx bằng
-3
+∞
3
-∞
Lời giải
Ta có: limx→−∞fx=limx→−∞x3−3x2+1=limx→−∞x31−3x+1x3.
Do limx→−∞x3=−∞ và limx→−∞1−3x+1x3=1 nên limx→−∞fx=−∞.
limx→−∞3x2−2x bằng
-∞
+∞
3
-3
Ta có limx→−∞3x2−2x=limx→−∞3x1−2x2x=limx→−∞−3x1−2x2x=limx→−∞−31−2x2=−3
limx→1+3x−4x−1 bằng
+∞
-4
3
-∞
Lời giải
Ta có: limx→1+3x−4=−1, limx→1+x−1=0 và x−1>0, ∀x>1 (do x→1+)
Do đó limx→1+3x−4x−1=−∞.
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x=1?
y=2x+1x2+1
y=x3+x+1
y=xx2−1
y=sinx
Lời giải
Xét hàm số y=xx2−1, hàm số này không xác định tại x=1. Do đó hàm số gián đoạn tại x=1.
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Đẳng thức nào sau đây sai ?
AC1→+A1C→=2AC→
AC1→+CA1→+2C1C→=0→
CA1→+AC→=CC1→
AC1→+CD→=A1D1→
Lời giải
+ AC1→+A1C→=AC→+CC1→+A1A→+AC→=2AC→.
+ AC1→+CA1→+2C1C→=AC1→+C1C→+CA1→+C1C→=AC→+C1A1→=0→.
+ CA1→+AC→=AA1→=CC1→.
+ AC1→+CD→=AC1→+C1D1→=AD1→.
Tính lim−2n3+2n+1
+∞
2
-2
-∞
Lời giải
lim−2n3+2n+1=limn3−2+2n2+1n3.
Vì lim n3=+∞ và lim−2+2n2+1n3=−2 nên lim−2n3+2n+1=−∞.
Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và BAC^=BAD^=60°. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
30°
45°
60°
90°
Ta có AB→.CD→=AB→.AD→−AC→=AB.AD.cosBAD^−AB.AC.cosBAC^=0.
Do đó AB→⊥CD→, tức AB⊥CD. Vậy AB,CD=900.
Tính I=limn2−2n+3−n
I=1
I=-1
I=0
I=+∞
Ta có I=limn2−2n+3−n =limn2−2n+3−nn2−2n+3+nn2−2n+3+n=limn2−2n+3−n2n2−2n+3+n
=lim−2n+3n2−2n+3+n=lim−2+3n1−2n+3n2+1=−21+1=−1.
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân tại A,SA vuông góc với đáy, M là trung điểm của BC, J là trung điểm của BM. Khẳng định nào sau đây đúng?
BC⊥SAM
BC⊥SAC
BC⊥SAB
BC⊥SAJ
Ta có SA⊥ABC⇒SA⊥BC 1.
ΔABC cân tại A⇒AM⊥BC 2.
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥SAM.
Hàm số fx=x+1x2−5x+4 liên tục trên khoảng nào sau đây?
(−∞;4)
(−1;2)
1;+∞
(2;3)
Lời giải
Ta có f(x) là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là D=ℝ\1;4 nên f(x) liên tục trên các khoảng −∞;1, 1;4, 4;+∞.
Do đó f(x) liên tục trên (2,3).
Cho hình chóp SABC đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và SB. Mệnh đề nào sau đây sai?
CM⊥SB
NC⊥AB
AN⊥BC
MN⊥MC
Ta có: SA⊥ABC⇒SA⊥CM (1)
ΔABC đều ⇒AB⊥CM (2)
Từ (1) và (2) ta có CM⊥SAB. Tức CM⊥SB, CM⊥MN.
Lại có: MN//SA⇒MN⊥ABC⇒MN⊥AB (3)
Từ (2) và (3) ta có AB⊥CMN. Tức AB⊥NC.
Giả sử AN⊥BC. Do SA⊥ABC⇒AS⊥BC nên BC⊥SAB, dẫn đến BC⊥AB, vô lý. Do đó điều giả sử là sai.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
fx=1−x−1+xx khi x<0m+1−x1+x khi x≥0 liên tục tại x=0
m=1
m=-2
m= -1
m= 0
Lời giải
Ta có: limx→0+fx=limx→0+m+1−x1+x=m+1
limx→0−fx=limx→0−1−x−1+xx=limx→0−−2xx1−x+1+x=limx→0−−21−x+1+x=-1
f0=m+1
f(x) liên tục tại x=0 khi và chỉ khi limx→0+fx=limx→0−fx=f0⇔m+1=−1⇒m=−2.
Cho hai dãy un, vn thỏa mãn vn=un+1−un, ∀n≥1, trong đó u1=1 và vn là cấp số cộng có v1=3, công sai là 3. Đặt Sn=u1+u2+...+un. Tính limSnn3.
+∞
34
1
12
Lời giải
Ta có: vn=v1+n−1d= 3+3n−1=3n
Do un=un−un−1+un−1−un−2+...+u2−u1+u1 = vn−1+vn−2+...+v1+1.
Nên un3n−1+n−2+...+1+13nn−12+1=3n2−3n+2232n2−32n+1
Từ đó ta có: u1+u2+u3+...+un3212+22+...+n2−321+2+...+n+n.1
=32nn+12n+16−32nn+12+n=n3+n2
⇒limSnn3=lim12+12n2=12.
Biết rằng limx→01+2020x2019−1x=ab với a, b∈Z, b>0 và ab là phân số tối giản. Tính a-b.
2019
2020
-1
1
Lời giải
Đặt y=1+2020x2019. Do x→0 nên y→1.
Ta có limx→01+2020x2019−1x = 2020.limy→1y−1y2019−12020.limy→1y−1y−1y2018+y2017+...+y+1
2020.limy→11y2018+y2017+...+y+1= 20202019.
Tức a=2020, b=2019. Vậy a−b=2020−2019=1.
Xét tính liên tục của hàm số fx=x2−1x−1 khi x≠12 khi x=1 trên tập xác định của nó.
Lờigiải
Hàm số fx=x2−1x−1 khi x≠12 khi x=1 có tập xác định là R.
+ Với mọi x∈−∞ ; 1 thì fx=x2−1x−1
Ta có: ∀x0∈−∞ ; 1, limx→x0fx=limx→x0x2−1x−1=x02−1x0−1=f(x0)
Nên hàm số f liên tục trên −∞ ; 1 (1)
+ Với mọi x∈1 ; +∞ thì fx=x2−1x−1
Ta có: ∀x0∈1 ; +∞, limx→x0fx=limx→x0x2−1x−1=x02−1x0−1=f(x0)
Nên hàm số f liên tục trên 1 ; +∞ (2)
+ Tại x=1:
Ta có f1=2 và limx→1fx=limx→1x2−1x−1=limx→1x+1=2
⇒ limx→1fx=f(1)
Tức hàm số f liên tục tại x=1 (3)
Từ (1), (2) và (3). Suy ra, hàm số f liên tục trên R.
Kết luận: Hàm số f liên tục trên R.
Tính lim11.3+13.5+15.7+...+12n−12n+1
Lờigiải
Ta có: 1(2k−1).(2k+1)=1212k−1−12k−1 ,∀k∈ℕ*
Do đó: 11.3+13.5+15.7+...+12n−12n+1
=121−13+13−15+15−17+...+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1.
Nên lim11.3+13.5+15.7+...+12n−12n+1
=limn2n+1=limnn2+1n
=lim12+1n=12+0=12.
Kết luận: lim11.3+13.5+15.7+...+12n−12n+1=12.
Tính limx→02x+4+5x+83−3x+1−3x2+3x
Lờigiải
Ta có:
2x+4+5x+83−3x+1−3x2+3x
=2x+4−2+5x+83−2−3x+1−1x+3x
=2x2x+4+2x+3x+5x5x+832+25x+83+22x+3x−3x3x+1+1x+3x
=22x+4+2x+3+55x+832+25x+83+4x+3−33x+1+1x+3
Do đó limx→02x+4+5x+83−3x+1−3x2+3x
=limx→022x+4+2x+3+55x+832+25x+83+4x+3−33x+1+1x+3
=22+23+54+4+43−31+13
=16+536−12=−736.
Kết luận: limx→02x+4+5x+83−3x+1−3x2+3x=−736.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA⊥(ABCD) , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông.
Ta có : SA⊥(ABCD)CD⊂(ABCD)⇒SA⊥CD (1).
+ Gọi I là trung điểm của AD, khi đó ABCI là hình vuông. Do đó CI=12AD nên tam giác ACD vuông tại C. Tức AC⊥CD (2).
Từ (1) và (2) ta có CD⊥SC. Tức ΔSCD vuông tại C.
Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB, CD, DA sao cho AM→=13AB→, BN→=23BC→, AQ→=12AD→ và DP→=kDC→. Tìm để bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giả sử M, N, P, Q đồng phẳng:
Ta có: (MNPQ)∩(BAC) = MN, (MNPQ)∩(DAC) = PQ, (BAC)∩(DAC) = AC.
Do MN, PQ, AC đôi một không trùng nhau và MN//AC nên PQ//AC. Từ đây có k=12.
Thử lại, thấy k=12 thỏa mãn.
