Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 19)
39 câu hỏi
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
limvn=0 nên limvn+a=0
limvn=a nên limvn−a=0
limvn=0 nên limvn−a=0
limvn=a nên limvn+a=0
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số :
limvn=a nếu limvn−a=0
Cho limun=4, limvn=−1. Khi đó limun−vnbằng
3
-4
-5
5
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn hữu hạn.
Ta có: limun−vn=4−−1=5.
Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?
Nếu limun=a và limvn=b thì
limun+vn=a+b
limunvn=ab
limun−vn=a−b
limun.vn=a.b
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lí về giới hạn hữu hạn
Theo định lý về giới hạn hữu hạn, ta có: limunvn=ab (nếu b≠0).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
Ta nói dãy số uncó giới hạn -∞khi n→+∞, nếu uncó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ta nói dãy số uncó giới hạn +∞khi n→+∞, nếu uncó thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ta nói dãy số uncó giới hạn +∞khi n→+∞, nếu uncó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ta nói dãy số uncó giới hạn +∞khi n→+∞, nếu uncó thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định nghĩa dãy số dẫn tới vô cực.
Theo định nghĩa giới hạn vô cực:
Ta nói dãy số un có giới hạn +∞ khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
limqn=0,∀q∈R
limc=c với c là hằng số
lim1nk=0 với k là nguyên dương
lim−1nn=0
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được một số giới hạn đặc biệt.
Ta có limqn=0 nếu q<1
Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ?
Nếu limun=a và limvn=±∞ thì limvnun=0
Nếu limun=a, limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvn=+∞
Nếu un≥0với mọi n và limun=a thì a≥0 và limun=a
Nếu limun=+∞ và limvn=a thì limunvn=+∞
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực và giới hạn hữu hạn.
Nếu limun=a và limvn=±∞ thì limunvn=0.
Nếu limun=a>0, limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvn=+∞.
Nếu limun=+∞ và limvn=a>0 thì limunvn=+∞.
Cho limun=−2, limvn=0 và vn>0. Khi đó limunvn bằng
∞
-∞
0
+∞
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực.
Ta có limun=−2<0, limvn=0 và vn>0 nên theo định lý về giới hạn vô cực ta có limunvn=−∞.
Tính limx→1x+2019x+2020.
20192020
20212022
20182019
20202021
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.
Ta có: limx→1x+2019x+2020=1+20191+2020=20202021.
Cho limx→2gx=3, limx→2 hx=10. Tính limx→2 hx−gx.
7
-7
-13
13
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: nhận biết được hiệu của hai giới hạn (định lý về giới hạn hữu hạn)
Có limx→2hx−gx=limx→2hx−limx→2gx=10−3=7.
Cho hàm số fx=3x−8 khi x≥2x2+2x khi x<2. Tìm limx→2−fx.
0
-2
8
-14
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn trái của hàm số.
Ta có: limx→2−fx=limx→2−x2+2x=22+2.2=8.
Cho limx→ x0fx=L; limx→ x0gx=M, với L,M∈ℝ. Chọn khẳng định sai.
limx→ x0fx−gx=L−M
limx→ x0fx.gx=L.M
limx→ x0fxgx=LM
limx→ x0fx+gx=L+M
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các quy tắc tính giới hạn
Khẳng định C chỉ đúng khi M≠0
Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai.
limx→−∞x2k=+∞
limx→−∞xk=−∞
limx→−∞8xk=0
limx→+∞8xk=+∞
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các giới hạn vô cực và giới hạn 0
Khi k là số chẵn tức là k có dạng k=2m thì limx→−∞xk=limx→−∞x2m=+∞.
Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y=f(x). Hãy quan sát đồ thị và cho biết limx→−1+fx,limx→−1−fx,limx→+∞fx,limx→−∞fx lần lượt có giá trị bằng:
1;+∞;−∞;1
−∞;+∞;1;1
1;1;+∞;−∞
+∞;−∞;1;1
Yêu cầu cần đạt: nắm chắc kiến thức về giới hạn 1 bên và giới hạn tại vô cực
Chọn B
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x=a nếu
f(x)có giới hạn hữu hạn khi x→a.
limx→a+fx=limx→a−fx=+∞.
limx→afx=fa
limx→a+fx=limx→a−fx=a
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x=a nếu limx→afx=fa.
Hàm số fx=x2+1x2−5x−6 liên tục trên khoảng nào sau đây?
−6;1
−1;6
−1;+∞
−∞;6
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng
TXĐ : D=ℝ\−1;6.v
Hàm số liên tục trên các khoảng: −∞;−1;−1;6;6;+∞.
Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng −1;6.
Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu (P) tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là
Điểm A.B. Trùng với phương chiếu.
C. Đường thẳng đi qua .D. Đường thẳng đi qua hoặc chính .
Trùng với phương chiếu.
Đường thẳng đi qua A.
Đường thẳng đi qua Ahoặc chính A.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm phép chiếu song song.
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A.
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Nếu giá của ba vectơ a→,b→,c→cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu trong ba vectơ a→,b→,c→có một vectơ 0→thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu giá của ba vectơ a→,b→,c→cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu trong ba vectơ a→,b→,c→có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm ba vectơ trong không gian đồng phẳng
Dựa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng.
Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' . Chọn đẳng thức đúng.
DB'→=DA→+DD'→+DC→
AC'→=AC→+AB→+AD→
DB→=DA→+DD'→+DC→
AC'→=AB→+AB'→+AD→
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Chỉ ra được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian
Theo quy tắc hình hộp ta có DB'→=DA→+DD'→+DC→.
Cho hai đường thẳng a,b lần lượt có véc tơ chỉ phương là u→,v→ . Mệnh đề nào sau đây sai?
Nếu a⊥bthì u→.v→=0.
Nếu u→.v→=0thì a⊥b.
cos(a,b)=u→.v→u→.v→
cos(a,b)=u→.v→u→.v→
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian
Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian luôn là góc nhọn hoặc vuông nên cos(a,b)=u→.v→u→.v→.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm và điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng
Đường thẳng Δ1 có véc tơ chỉ phương u→1
Đường thẳng Δ2 có véc tơ chỉ phương u→2
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương v→
Δ1//Δ2d⊥Δ1⇒u1→ v→.u1→=0⇒v→. u2→=0⇒d⊥Δ2
Cho dãy số un có limun=7. Tính giới hạn lim5un−77un−5.
7
57
1415
711
Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản.
Ta có lim5un−77un−5=5.7−77.7−5=711.
Tính giá trị của biểu thức:
A=13+19+127+...+13n+......1+12+14+18+...+12n+......
43
1
23
56
Lời giải
Yêu cầu cần đat: Học sinh tính được tổng một cấp số nhân lùi vô hạn đơn giản.
Áp dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn: S=u11−q ta có:
Xét S1=13+19+127+...+13n+......=131−13=12.
Xét S2=1+12+14+18+...+12n+......=11−12=2.
Khi đó: A=13+19+127+...+13n+......1+12+14+18+...+12n+......=S1.S2=12.2=1.
Giới hạn của dãy số un với un=2n3+142n+3102n22+2 là:
2
153
213
218
Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản.
Ta có:
limun=lim2n3+142n+3102n22+2=limn122+1n34.n102+3n10n222+2n22=lim2+1n34.2+3n102+2n22=213.
Tính giới hạn sau: limx→−2−−x3+2x−5x2+2x.
-98
-∞
+∞
18
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Học sinh hiểu được giới hạn một bên để từ đó biết được khi nào ra +∞ hay -∞.
Ta có : limx→−2−−x3+2x−5x2+2x=−∞
Vì limx→−2−−x3+2x−5=−1limx→−2−x2+2x=0x→−2−⇒x<−2⇒x2+2x=xx+2>0
Cho limx→−∞x2−ax+6+x=5 với a∈ℝ. Giá trị của a là:
6
-10
10
-6
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Học sinh nhận biết được thế nào là dạng ∞−∞ và cách khử dạng vô định đó.
Ta có: limx→−∞x2−ax+6+x=limx→−∞x2−ax+6+xx2−ax+6−xx2−ax+6−x
=limx→−∞x2−ax+6−x2x2−ax+6−x =limx→−∞x−a+6x−x1−ax+6x2+1 =limx→−∞−a+6x−1−ax+6x2+1=a2
Theo đề bài, ta lại có: a2=5⇔a=10
Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực R?
y=x+1x−1
y=x−1x+1
y=x−1x2+1
y=x+1x2−1
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định.
Phương án A hàm số y=x+1x−1 có tập xác định là ℝ\1 nên hàm số gián đoạn tại x=1.
Phương án B hàm số y=x−1x+1 có tập xác định là ℝ\−1 nên hàm số gián đoạn tại x=-1.
Phương án D hàm số y=x+1x2−1 có tập xác định là ℝ\±1 nên hàm số gián đoạn tại x=±1.
Phương án C hàm số y=x−1x2+1 là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là R nên nó liên tục trên R.
Hàm số fx=3 khi x=−1x4+xx2+x khi x≠−1;x≠01 khi x=0 liên tục tại
x=0; x=1
Mọi điểm x∈ℝ
Mọi điểm trừ x=-1
Mọi điểm trừ x=0
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Giải thích được tính liên tục tại một điểm của hàm số.
Hàm số y=fx có TXĐ: D=R
Dễ thấy hàm số y=fx liên tục trên mỗi khoảng −∞;−1,−1;0 và 0;+∞.
Xét tại x=-1 ta có:
limx→−1fx=limx→−1x4+xx2+x=limx→−1xx+1x2−x+1xx+1=limx→−1x2−x+1=3=f−1.
→ hàm số y=fx liên tục tại x=-1
Xét tại x=0, ta có:
limx→0fx=limx→0x4+xx2+x=limx→0xx+1x2−x+1xx+1=limx→0x2−x+1=1=f0.
→ hàm số y=f(x) liên tục tại x=0.
Cho hàm số y=fx=x2−4x−2 khi x≠2 5 khi x=2.
Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho?
Hàm số liên tục trên R.
Hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 2và 2; +∞, gián đoạn tại x=2.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 4và 4; +∞, gián đoạn tại x=4.
D. Hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 5và 5; +∞, gián đoạn tại x=5.
Hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 2và 2; +∞, gián đoạn tại x=2.
Hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 4và 4; +∞, gián đoạn tại x=4.
Hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 5và 5; +∞, gián đoạn tại x=5.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định.
Trên các khoảng −∞; 2 và 2; +∞, hàm số y=x2−4x−2 là hàm phân thức hữu tỉ xác định nên liên tục.
Xét hàm số tại x=2:
limx→2fx=limx→2x2−4x−2=limx→2x+2x−2x−2=limx→2x+2=4
f2=5
Vì limx→2fx≠f2 nên hàm số gián đoạn tại x=2.
Cho hàm số y=fx=x2−a khi x<1 3 khi x≥1.
Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên R?
a=-2
a=1
a=4
a=3
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định.
Trên khoảng −∞; 1, hàm số y=x2−a là hàm đa thức nên liên tục.
Trên khoảng 1; +∞, hàm số y=3 là hàm đa thức nên liên tục.
Xét hàm số tại x=1:
limx→1−fx=limx→1−x2−a=1−a
limx→1+fx=limx→1+3=3
f1=3
Hàm số liên tục trên R khi hàm số liên tục tại x=1 ⇔limx→1−fx=limx→1+fx=f1 a=-2.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. M,Nlần lượt là trung điểm của AB và BB'. Góc giữa hai vectơ MN→ và A'C'→ bằng.
0°
60°
90°
30°
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian
MN→=12AB'→A'C'→=AC→⇒MN→ , A'C'→=12AB'→ , AC→=CAB'^
Tam giác AB'C là tam giác đều nên CAB'^=60°.
Vậy MN→ , A'C'→=60°.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và A'D'. Góc giữa hai đường thẳng MN và B'C là.
90°
45°
30°
60°
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Ta có MN//CD'⇒ góc giữa hai đường thẳng MN và B'C bằng góc giữa hai đường thẳng CD' và B'C.
Tam giác B'CD' là tam giác đều nên suy ra góc giữ hai đường thẳng CD' và B'C bằng 60°.
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và B'C bằng 60°.
Cho tứ giác ABC có ABC^=CDA^=900, AB=DC . Gọi M,N,E,F lần lượt là trung điểm củaAB,CD,AD,BC. Biết AC⊥BD . Góc giữa MNvà EFbằng
90°
30°
60°
45°
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Sử dụng tích vô hướng
Ta có:
MN→=12AD→+BC→EF→=12AB→+DC→⇒MN→.EF→=14AD→+BC→.AB→+DC→
⇒MN→.EF→=14AD→.AB→+AD→.DC→+BC→.AB→+BC→.DC→
Mà AB→.BC→=0AD→.DC→=0 Do ABC^=CDA^=900
⇒MN→.EF→=14AD→.AB→+BC→.DC→
⇒MN→.EF→=14AD→.AB→.cosBAD^+BC→.DC→.cosBCD^
⇒MN→.EF→=14AD→.AB→.cosBAD^+BC→.DC→.cos180−BAD^
Do AC⊥BD nên dễ chứng minh AB=AD;DC=CB bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông
⇒MN→.EF→=14AD→.AB→.cosBAD^−BC→.DC→.cosBAD^=0
⇒MN⊥EF. Chọn A.
Cho hình hộp ABCDEFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
BD→,AK⇀,GF→đồng phẳng.
BD→,IK⇀,GF→đồng phẳng.
BD→,EK⇀,GF→đồng phẳng
BD→,IK⇀,GC→ đồng phẳng.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Giải thích được sự đồng phẳng của ba vectơ cho trước.
+ Vì IK//(ABCD)GF//(ABCD)BD⊂(ABCD) ⇒IK→,GF→,BD→ đồng phẳng.
+ Các bộ véctơ ở câu A,C,D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng. Do đó chúng không thể đồng phẳng.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB→=b→,AC→=c→, AD→=d→.Khẳng định nào sau đây đúng?
MP→=12c→+d→−b→
MP→=12d→+b→−c→
MP→=12c→+b→−d→
MP→=12c→+d→+b→
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Thực hiện được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian
Ta có: MP→=12MC→+MD→
=12AC→−AM→+AD→−AM→=12c→+d→−2AM→
=12c→+d→−AB→=12c→+d→−b→.
Tính lim9n−2.3n−3n+12021
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được các khái niệm giới hạn, định lý, giới hạn đặc biệt vào tình huống cụ thể.
lim9n−2.3n−3n+12021=lim9n−2.3n−3n+lim12021 =lim9n−2.3n−9n9n−2.3n+3n+12021 =lim−2.3n3n1−23n+1+12021 =lim−21−23n+1+12021 =−1+12021
Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB, CD lấy điểm P, Q sao cho AP=4BP, CD=5CQ. Chứng minh AD→, BC→, PQ→ đồng phẳng.
Lời giải
AD→=AP→+PQ→+QD→ (1)
BC→=BP→+PQ→+QC→
⇒4BC→=4BP→+4PQ→+4QC→ (2)
(1), (2)⇒AD→+4BC→=5PQ→
(do AP→+4BP→=0→; QD→+4QC→=0→)
⇒PQ→=15AD→+45BC→
⇒AD→, BC→, PQ→ đồng phẳng.
Tính limx→14x−3−6x−53x3−x2−x+1.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nắm vững kỹ thuật tính giới hạn hàm số cùng với kỹ năng biến đổi.
Ta có limx→14x−3−6x−53x3−x2−x+1=limx→14x−3−6x−53x−12x+1.
Đặt t=x−1⇒x=t+1. Khi đó
limx→14x−3−6x−53x−12x+1=limt→04t+1−6t+13t2t+2=limt→04t+1−(2t+1)t2(t+2)−6t+13−(2t+1)t2(t+2).
* limt→04t+1−2t+1t2t+2=limt→0− 4t+24t+1+2t+1=−1.
* limt→06t+13−2t+1t2t+2=limt→0−8t−12t+26t+123+2t+16t+13+2t+12=−2.
Vậy limx→14x−3−6x−53x3−x2−x+1=−1+2=1.
Cho phương trình: x3cos3x+mxcosx−1xcosx+2=0
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi .
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Nắm vững được tính chất liên tục của hàm số để chứng minh phương có nghiệm.
* Xét fx=xcosx−1 có tập xác định là R và liên tục trên R.
Có f0=−1<0 và f−π=π−1>0.
Vậy ∃x1∈−π;0:fx1=0. Tức là x1cosx1=1
* Xét gx=xcosx+2có tập xác định là R và liên tục trên R.
Có g0=2>0 và gπ=−π+2<0.
Vậy ∃x2∈0;π:gx2=0. Tức là x2cosx2=−2
* Xét Fx=x3cos3x+mxcosx−1xcosx+2 có tập xác định là R và liên tục trên R.
Có Fx1=13+m.0=1>0 và Fx2=−23+0m=−8<0 nên ∃x0∈x1;x2:Fx0=0.
Vậy phương trình Fx=0 luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
Cho phương trình: m2−m+2021x3−2m2−2m+4040x2−4x+m2−m+2021=0.
Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
Lời giải
Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được định lí giá trị trung gian và kết hợp với tính năng bảng giá trị của máy tính Casio để tìm các khoảng mà phương trình có nghiệm.
* Xét f(x)=m2−m+2021x3−2m2−2m+4040x2−4x+m2−m+2021 có tập xác định là R và liên tục trên R.
Ta có:
f−1=−2m2+2m−4035=−2m+122−80692<0, ∀m
f0=m2−m+2021 =m−122+80834>0, ∀m
f1=−2<0, ∀m
f2=m2−m+2021 =m−122+80834>0, ∀m
Do đó:
* f−1.f(0)=<0 nên ∃x1∈−1;0:fx1=0
Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1,0)
* f0.f(1)=<0 nên ∃x2∈0;1:fx2=0
Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1)
* f1.f(2)=<0 nên ∃x3∈1;2:fx3=0
Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1,2)
Vì ba khoảng −1;0, (0,1) và (1,2)rởi nhau đôi một nên phương trình f(x)=0 có ít nhất ba nghiệm trên R.
Mặt khác, vì m2−m+2021>0, ∀m nên f(x) là một đa thức bậc ba nên phương trình f(x)=0 chỉ có tối đa ba nghiệm trên R.
Kết luận: Phương trình f(x)=0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
