Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 16)
39 câu hỏi
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n2+12n+3
n−2n2
n+12n+1
12n+1
Ta có lim12n+1=lim1n2+1n=02=0
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
2n+1n+5
1n+1
34n
2n+1n2+1
Ta có lim2n+1n+5=lim2+1n1+5n=21=2
lim2n−1n3+5 bằng
0
-∞
+∞
2
Ta có lim2n−1n3+5=lim2n2−1n31+5n3=01=0
lim1+5n4n−5n+1 bằng
+∞
-∞
0
-15
Ta có lim1+5n4n−5n+1=lim15n+145n−5=1−5=−15
Cho dãy số un thỏa mãn limun−3=0. Tìm limun=0
limun=2
limun=-3
limun=0
limun=3
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số ta có limun−3=0⇒limun=3
Dãy số nào có giới hạn khác 0
un=1n
un=1n2
un=1−1n
un=12n
Lời giải
lim1n=lim1n2=lim12n=0.
lim1−1n=1≠0.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng tổng quát un=12n. Tính tổng của cấp số nhân đó
1
12
2
14
Lời giải
Gọi công bội của cấp số nhân q là
un=12n⇒u1=12;u2=14⇒q=12
Tính tổng của cấp số nhân là S=u11−q=1
Có bao nhiêugiá trị của a để giới hạn limx→ax2+3x+2=0
1
0
2
3
Lời giải
limx→ax2+3x+2=0⇔a2+3a+2=0⇔a=−1a=−2.
Vậy có hai giá trị của a.
Tính I=limx→0x2−x+3
0
3
6
-5
Lời giải
Ta có I=limx→0x2−x+3=02−0+3=3
limx→−∞x3+x+3 bằng
3
+∞
-∞
-3
Lời giải
Ta có limx→−∞x3+x+3=limx→−∞x31+1x2+3x3=−∞.
(Vì limx→−∞x3=−∞ và limx→−∞1+1x2+3x3=1>0).
Tính N=limx→+∞6x+2x+1.
6
2
1
-1
Lời giải
Ta có N=limx→+∞6x+2x+1=limx→+∞6+2x1+1x=6
limx→3−3x+2x−3 bằng
-∞
+∞
2
-3
Lời giải
Ta có limx→3−3x+2x−3=−∞ (vì limx→3−3x+2=3.3+2=11>0 và limx→3−x−3=0; x−3<0).
Nếu limx→0fx=5 thì limx→03x−4fx bằng bao nhiêu?
-17
-1
1
-20
Lời giải
Ta có: limx→0fx=5 nên limx→03x−4fx=limx→0(3x)−4limx→0fx =3.0−4.5=−20.
Cho các hàm số y=cosx I, y=sinx II và y=tanx III. Hàm số nào liên tục trên R ?
I, II
(I)
I, II, III
(III)
Lời giải
Ta có:Hàm số y=cosx có tập xác định là R nên liên tục trên R.
Hàm số y=sinx có tập xác định là 0; +∞ nên không liên tục trên R .
Hàm số y=tanx có tập xác định là ℝ\π2+kπ, k∈ℤ nên không liên tục trên R .
Tìm m để hàm số fx=x2−1x−1 khi x≠1m+2 khi x=1 liên tục tại điểm x0=1.
m=3
m=0
m=4
m=1
Lời giải
TXĐ: D=ℝ⇒x0=1∈D.
Ta có : f1=m+2.
limx→1x2−1x−1=limx→1x+1x−1x−1=limx→1x+1=2.
Hàm số fx liên tục tại điểm x0=1 khi và chỉ khi limx→1fx=f1⇒m+2=2⇔m=0.
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Lời giải
Do phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên không thể có đáp án A.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Các vectơ nào sau đây đồng phẳng?
AB→, AD→, AA'→
BA→, BC→, B'D'→
BC→, BB'→, BD'→
DA→, A'D→, A'C→
Lời giải
Ta có BA→, BC→ chứa trong mp(ABCD) và B'D'→song song với mp(ABCD) nên các vectơ BA→, BC→ và B'D'→ đồng phẳng.
Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
IJ→=12AD→+CB→
IJ→=12AC→+DB→
IJ→=12AD→+BC→
IJ→=12CA→+DB→
Lời giải
Ta có: IJ→=IA→+AD→+DJ→.
IJ→=IB→+BC→+CJ→.
Suy ra: 2IJ→=IA→+IB→+AD→+BC→+DJ→+JC→=0→+AD→+BC→+0→=AD→+BC→.
Vậy: IJ→=12AD→+BC→.
Trong không gian cho 3 đường thẳng a,b,c. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Nếu a⊥bvà a⊥cthì a // c.
Nếu a // bvà c⊥athì c⊥b.
Nếu a⊥cvà b⊥cthì a⊥b.
Nếu a⊥bvà b⊥cthì a⊥c.
Lời giải
Cho 2 đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng thứ 3 vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng đó thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Vậy: Nếu a // b và c⊥a thì c⊥b là khẳng định đúng.
Trong không gian cho 2 vectơ a→ và b→. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a→⊥b→⇔a→.b→=0
a→⊥b→⇔a→.b→=0→
a→⊥b→⇔a→=b→
a→⊥b→⇔a→, b→=900
Lời giải
Phương án A sai nếu a→=0→ hoặcb→=0→ .
Phương án B sai vì tích của 2 vec tơ là 1 số.
Phương án C sai.
Theo định nghĩa, 2 đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90° nên D đúng.
Cho dãy số un với un=2n+n2+5n.4n. Tính limun.
4
2
1
0
Lời giải
Ta có: un=2n+n2+5n.4n=2n+n2+5nn.4nn=2+1+5n24n=14n2+1+5n2.
Vì lim5n2=0 nên lim2+1+5n2=3 và lim14n=0. Do đó limun=0.
Vậy limun=0.
Cho dãy số un với un=1+2+3+...+n1010n2+1011. Khi đó limun+1 bằng
20202021
20192020
20212020
20212022
Lời giải
Ta có: un=1+2+3+...+n1010n2+1011=un=1+2+3+...+n1010n2+1011=n2+n2020n2+2022.
Do đó
limun+1=limn2+n2020n2+2022+1
=lim1+1n2020+2022n2+1= 12020+1 = 20212020.
Vậy limun+1=20212020.
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0?
lim3n2+nn2+7
lim2−n3+n2n2−4
lim4n−5n2n2−4
lim2n+4n23n3+5
Lời giải
Ta có:
+) lim3n2+nn2+7 = lim3+1n1+7n2 = 3.
+) lim2−n3+n2n2−4 = lim2n3−1+1n1n−4n3 = -∞.
+) lim4n−5n2n2−4 = lim4n−51−4n2 = -5.
+) lim2n+4n23n3+5 =lim2n2+4n3+5n3 =0.
Vậy lim2n+4n23n3+5=0
limx→−3x2+2x−3x+3 bằng
4
0
-2
-4
Ta có limx→−3x2+2x−3x+3=limx→−3x−1x+3x+3=limx→−3x−1=−4
Cho hàm số f(x)=2x2−4x+5. Khẳng định nào dưới đây đúng?
limx→−∞f(x)=−∞
limx→−∞f(x)=+∞
limx→−∞f(x)=2
limx→−∞f(x)=−2
Lời giải
Hàm số f(x)=2x2−4x+5xác định trên R .
f(x)=2x2−4x+5=x22−4x+5x2=x2−4x+5x2.
Vì limx→−∞x=+∞và limx→−∞2−4x+5x2=2>0 nên limx→−∞2x2−4x+5=+∞
limx→2+x2+x−1x2−4 bằng
-∞
3
0
+∞
Lời giải
Ta có: limx→2+x2+x−1=5>0.
limx→2+x2−4=0 và x2−4>0 khi x→2+.
Suy ra limx→2+x2+x−1x2−4=+∞.
Cho hàm số fx=x3−8x−2 khi x≠2mx+1 khi x=2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục tại x=2.
m=172
m=152
m=132
m=112
Lời giải
Ta có: Hàm số f(x) xác định trên R.
Ta có f2=2m+1 và limx→2fx=limx→2x3−8x−2=limx→2x2+2x+4=12.
(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)
Để f(x) liên tục tại x=2 thì limx→2fx=f2⇔2m+1=12⇔m=112.
Cho hàm số fx=x2−1x−1 khi x≠12 khi x=1v. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
f(1) không tính được.
limx→1fx=0.
f(x) gián đoạn tại x=1.
f(x) liên tục tại x=1.
Lời giải
Ta có: Hàm số f(x) xác định trên R
limx→1fx=limx→1x2−1x−1=limx→1x+1=2 và f1=2.
Suy ra hàm số đã cho liên tục tại x=1.
Giá trị của tham số a để hàm số fx=x−1x−1 khi x>1ax−12 khi x≤1 liên tục tại điểm x=1 là
-1
-12
1
12
Lời giải
Ta có: Hàm số f(x) có tập xác định 0;+∞
Ta có: limx→1+fx=limx→1+x−1x−1=limx→1+x−1x−1x+1= limx→1+1x+1=12
limx→1−fx=limx→1−ax−12=a−12 và f1=a−12
Hàm số liên tục điểm x=1 ⇒a−12=12⇔a =1 .
Tìm m để hàm số fx=x−1−1x−2khi1≤x≠21−mkhix=2 liên tục tại điểm x=2
32
2
1
12
Lời giải
Ta có:
limx→2x−1−1x−2=limx→2x−2x−2x−1+1=limx→21x−1+1=12
Hàm số liên tục tại điểmx=2 khi và chỉ khi limx→2f(x)=f(2)⇔12=1−m⇔m=12
Cho tứ diện có tABCDrọng tâm G . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây đúng ?
GA→+GB→+GC→+GD→=2IJ→
GA→−GB→+GC→−GD→=0→
GA→+GB→+GC→+GD→=GI→−GJ→
AB→+DC→=2IJ→
Lời giải
Ta có: AB→+DC→=AI→+IJ→+JB→+DI→+IJ→+JC→=AI→+DI→+JB→+JC→+2IJ→=0→+0→+2IJ→=2IJ→
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh 2a . Tích vô hướng AC→.AD'→ bằng:
a
2a2
4a2
4a2
Ta có:
Tam giác ACD' là tam giác đều cạnh 22a nên AC→.AD'→=2a2.2a2.cos600=4a2
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Góc giữa hai đường thẳng AC và DA' bằng:
30○
90°
45°
60°
+ Có AC∥A'C' nên AC;DA'^=A'C'; DA'^=C'A'D^=60○(Vì tam giác C'A'D là tam giác đều cạnh bằng a2).
Cho tứ diện ABCDcó AC=6; BD=8 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC Biết AC⊥BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN
MN=10
MN=7
MN=10
MN=5
+ Gọi P là trung điểm của CD. Dễ thấy MP∥AC và NP∥BD( Tính chất đường trung bình); mà AC⊥BD⇒MP⊥NP hay tam giác MNP vuông tại P.
+ Lại có MP=12AC=3;NP=12BD=4⇒MN=MP2+NP2=32+42=5.
Cho tứ diện ABCD có AB⊥AC; AB⊥BD. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chọn khẳng định đúng:
AB⊥PQ
AB⊥CD
BD⊥AC
AC⊥PQ
+ Có PQ→=PA→+AC→+CQ→PQ→=PB→+BD→+DQ→⇒PQ→=12AC→+BD→.
+ Vậy PQ→.AB→=12AC→+BD→.AB→=12.AB→.AC→+BD→.AB→=0⇒AB⊥PQ.
(Vì AB⊥AC; AB⊥BD ).
Tính giới hạn sau: limn→∞1+12+...+12n1+13+...+13n
Tử và mẫu là tổng các số hạng của cấp số nhân nên ta có:
1+12+...+12n=1−121−12n+1=21−12n+1.
1+13+...+13n=1−131−13n+1=321−13n+1.
⇒limn→∞1+12+...+12n1+13+...+13n=limn→∞21−12n+1321−13n+1=43limn→∞1−12n+11−13n+1=43.
Vậy: limn→∞1+12+...+12n1+13+...+13n=43.
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D'. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnhAB, BC,C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng MN vàAP.
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN//AC nên: MN,AP^=AC,AP^.
Vì ΔA'D'P vuông tại D' nên A'P=A'D'2+D'P2=a2+a22=a52.
ΔAA'P vuông tại A' nên AP=A'A2+A'P2=a2+a522=3a2.
ΔCC'P vuông tại C' nên CP=CC'2+C'P2=a2+a24=a52.
Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC= a2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:
CP2=AC2+AP2−2AC.AP.cosCAP^⇒cosCAP^=12⇒CAP^=45°<90°
Vậy AC;AP^=CAP^=45° hay MN;AP^=45°.
Tùy theo giá trị của tham số m, tính giới hạn limx→−∞8x3+5x2+13−9x2+3x+5+mx.
Tính giới hạn limx→−∞8x3+5x2+13−9x2+3x+5+mx.
.
§Nếu m=-5 thì limx→−∞8x3+5x2+13−9x2+3x+5−5x
=limx→−∞8x3+5x2+13−2x−9x2+3x+−5+3x
=limx→−∞8x3+5x2+133−(2x)38x3+5x2+132+2x⋅8x3+5x2+13+4x2−9x2+3x−52−3x29x2+3x−5−3x
=limx→−∞8x3+5x2+1−8x38x3+5x2+132+2x⋅8x3+5x2+13+4x2−9x2+3x−5−9x2x⋅9+3x−5x2−3x
=limx→−∞x25+1x2x28+5⋅1x+1x332+28+5⋅1x+1x33+4−x3−5x−x9+3x−5x2+3
=52+4+4+33+3
=1
§ Nếu m<−5 thì limx→−∞8x3+5x2+13−9x2+3x−5+mx
=limx→−∞8x3+5x2+13−2x−9x2+3x−5+3x+(m+5)x
=+∞.
§ Nếu m>-5 thì limx→−∞8x3+5x2+13−9x2+3x−5+mx
=limx→−∞8x3+5x2+13−2x−9x2+3x−5+3x+(m+5)x
Chứng minh phương trình −cos2x.sin2x+mcosx−3m+1sin2x−cosx−3=m luôn có nghiệm với mọi m>1
Lời giải
cos2x.sin2x−mcosx+3m−1sin2x+cosx+1=m⇔−cos4x+cos2x−mcosx+3m−1−cos2x+cosx+2=mcosx≠−1
Điều kiện: cosx≠−1.
Với điều kiện trên ta có
Phương trình⇔cos4x−cos2x+mcosx−3m+1=mcos2x−cosx−2
⇔cos4x−m+1cos2x+2mcosx−m+1=0.
Xét hàm số fx=cos4x−m+1cos2x+2mcosx−m+1 là hàm liên tục trên R nên cũng liên tục trên 0;π2. Mặt khác fπ2=1−m<0 (vì m>1) và f0=1−m+1+2m−m+1=1>0.
Suy ra: f0.fπ2<0.
Do đó phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiệm x0∈0;π2 (thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình −cos2x.sin2x+mcosx−3m+1sin2x−cosx−3=m luôn có nghiệm với mọi m>1 (đpcm)
