Bộ 7 Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án (Đề 5)
20 câu hỏi
Hàm số nào dưới đây liên tục trên ℝ?
f(x) = x2 – 1.
f(x) = \(\frac{1}{{x - 1}}.\)
f(x) = \(\sqrt x - 1.\)
f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt x }}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đáp án B: tập xác định D = ℝ\{1}.
Đáp án C: tập xác định D = [0;+¥).
Đáp án D: tập xác định D = (0;+¥).
Đáp án A; tập xác định D = ℝ.
Vậy hàm số f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt x }}\)liên tục trên ℝ.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = 2.\) Tính f'(1).
f'(1) = −2.
f'(1) = 2.
f'(1) = 1.
f'(1) = 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa, ta có: \[f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\]Þ f'(1) = 2.
Trên khoảng (0;+¥), hàm số y = \(\sqrt x \) có đạo hàm là
y' = \(\frac{1}{2}\sqrt x .\)
y' = \(\frac{2}{{\sqrt x }}.\)
y' = \(\frac{1}{{\sqrt x }}.\)
y' = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có y = \(\sqrt x \) Þ y' = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Tính đạo hàm của hàm số y = sin2x + 1.
y' = 2cos2x.
y' = −2cos2x.
y' = cos2x.
y' = −cos2x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có y = sin2x + 1
Þ y' = (2x)'.cos2x = 2cos2x.
Đạo hàm của hàm số y = \(\frac{1}{{5x + 1}}\) là
y' = \(\frac{1}{{{{(5x + 1)}^2}}}\)
y' = \( - \frac{5}{{{{(5x + 1)}^2}}}\)
y' = \( - \frac{1}{{{{(5x + 1)}^2}}}\)
y' = \(\frac{5}{{{{(5x + 1)}^2}}}\)
Ta có y=15x+1⇒y'=−55x+12
Vậy ta chọn đáp án B.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x3 + 3x + 2 tại điểm M(2;0) có hệ số góc bằng
3.
−15.
−9.
9.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: y' = −3x2 + 3 Þ y'(2) = −9.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số y tại điểm M(2;0) bằng −9.
Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5. Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) < 0 là
(−¥;−3) È (1;+¥).
(−¥;−1) È (3;+¥).
(−3;1).
(−1;3).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: f'(x) = 3x2 – 6x – 9
Giải f'(x) < 0 Û 3x2 – 6x – 9 < 0
Û x2 – 2x – 3 < 0 Û −1 < x < 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cũng vuông góc với đáy. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
(ABCD).
(SAC).
(SAB).
(SAD).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có (SAB) và (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy
Þ SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BD.
Mà AC ^ BD (đường chéo hình thoi ABCD).
Þ BD ^ (SAC) mà BD Ì (SBD) Þ (SAC) ^ (SBD).
Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc được xác định bởi v(t) = 6t – t2 (m/s), t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
3(m/s).
6(m/s).
9(m/s).
12(m/s).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: a(t) = v'(t) = 6 – 2t = 0
Þ t = 3(s) Þ v(3) = 9(m/s).
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là 9 m/s.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f(x) - 3} \right] = 4.\) Tính f(2).
f(2) = 7.
f(2) = −7.
f(2) = 1.
f(2) = −1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f(x) - 3} \right] = 4\) Û f(2) – 3 = 4 Û f(2) = 7.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng nửa cạnh đáy. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A’BC).
\(\frac{{2a\sqrt 7 }}{7}.\)
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
\(a\sqrt 3 .\)
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi H là trung điểm BC.
Trong mặt phẳng AA’H dựng AK ^ A’H tại K.
Þ d[A,(A’BC)] = AK.
AH = a\(\sqrt 3 \), AA’ = a.
AK = \[\frac{{AA'.AH}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{{{\sqrt {{a^2} + \left( {a\sqrt 3 } \right)} }^2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10] sao cho đồ thị hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 – mx2 + (m + 9)x + 2022 có đúng hai tiếp tuyến với hệ số góc bằng 3?
13.
6.
15.
17.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tập xác định: D = ℝ.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x;y) là: k = y' = x2 – 2mx + m + 9.
Theo đề bài, ta có: k = 3
Û x2 – 2mx + m + 9 = 3
Û x2 – 2mx + m + 6 = 0 (1)
Đồ thị hàm số có đúng 2 tiếp tuyến với hệ số góc bằng 3
Û phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Û ∆' = (−m)2 – (m + 6) = m2 – m – 6 > 0
Û \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 3}\\{m < - 2}\end{array}} \right.\).
Vì m Î [−10;10] và m nguyên nên m Î [−10;-3] È [4;10].
Vậy có 15 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5x - 10}}{{{x^2} + x - 6}}\)
Hướng dẫn giải
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5x - 10}}{{{x^2} + x - 6}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{5}{{(x + 3)}} = 1.\)
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - 3 - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right).\)
Hướng dẫn giải
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - 3 - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right).\)
\(\mathop { = \lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2 - \frac{3}{x} - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty .\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 – 15.
b) y = x.cosx.
c) y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \).
Hướng dẫn giải
a) Ta có y = x4 – 2x2 – 15.
Do đó y' = 4x3 – 4x.
b) Ta có y = x.cosx.
Do đó y' = (x)'.cosx + x.(cosx)' = cosx – x.sinx.
c) Ta có y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \)
Do đó y' = \(\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Cho hàm số y = \(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tiếp của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Hướng dẫn giải
Với x = 2 Þ y = 5 Þ M(2;5).
Ta có y' = \( - \frac{3}{{{{(x - 1)}^2}}}.\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y'(2) = −3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3(x – 2) + 5 Û y = −3x + 11.
Vậy phương trình tiếp tiếp của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là y = −3x + 11.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = \(\frac{1}{2}\)AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là SA = \(2\sqrt 2 a.\)
Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB).
Hướng dẫn giải
Ta có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC (1).
Lại có ABCD là hình thang vuông tại B nên AB ^ BC (2).
Từ (1), (2) suy ra BC ^ (SAB) Þ (SBC) ^ (SAB).
Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng (SAB) dựng AH ^ SB tại H, chứng minh được AH ^ (SBC).
Từ đó d[A,(SBC)] = AH.
Trong tam giác SAB ta có:
AH = \(\frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}\)= \(\frac{{\left( {2a\sqrt 2 } \right).2a}}{{\sqrt {{{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\)
Vậy d[A,(SBC)] = \(\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\)
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm AD
Suy ra tứ giác ABCM là hình vuông
Do đó AC ^ BM.
Ta thấy BC // MD, BC = MD = 2a
Suy ra tứ giác BCDM là hình bình hành nên BM // CD.
Từ đó Þ CD ^ AC và ta có CD ^ SA (do SA ^ (ABCD)) nên CD ^ (SAC).
Trong mặt phẳng (SAC) dựng AK ^ SC tại K, chứng minh được AK ^ (SCD) (3).
Lại có AD ^ SA, AD ^ AB Þ AD ^ (SAB) (4).
Từ (3) và (4) Þ [(SAB),(SCD)] = (AK,AD) = \(\widehat {KAD}.\)
Ta có AC = \(2a\sqrt 2 \) và SA = \(2a\sqrt 2 \) Þ AK = 2a.
Trong tam giác vuông AKD vuông tại K ta có:
cos\(\widehat {KAD}\)= \(\frac{{AK}}{{AD}}\)= \(\frac{1}{2}\)Þ \(\widehat {KAD}\)= 60°.
Vậy [(SAB),(SCD)] = 60°.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Biết tiếp tuyến của đồ thị các hàm số y = f(x4) và y = x2.f(2x2 – 1) tại điểm có hoành độ bằng −1 vuông góc với nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 4[f(1)]2 – 4f(1) – 5.
Huớng dẫn giải
∙ y = f(x4) Þ y' = (4x3).f'(x4)
Þ K1 = y'(1) = 4.f'(1).
∙ y = x2.f(2x2 – 1) Þ y' = 2x.f(2x2 – 1) + 4x3.f'(2x2 – 1).
Þ K2 = y'(1) = 2f(1) + 4f'(1).
Theo đề bài ta có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau nên K1.K2 = −1
Û 4.f'(1).[2f(1) + 4f'(1)] = −1.
Đặt t = f'(1) Þ f(1) = \( - \frac{1}{{8t}} - 2t\)
Þ |f(1)| ≥ \(2\sqrt {\frac{1}{{8t}}.2t} = 1\)
Þ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(1) \le - 1}\\{f(1) \ge 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2f(1) - 1 \le - 3}\\{2f(1) - 1 \ge 1}\end{array}} \right.\)
Þ |2f(1) – 1| ≥ 1 Þ (2f(1) – 1)2 ≥ 1.
Khi đó: T = [2f(1) – 1]2 – 6 ≥ 1 – 6 = −5.
Vậy MinT = −5 khi f(1) = 1.
