Bộ 5 đề thi học kì 1 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Dãy số nào sau đây không phải là dãy các số hữu tỉ?
\( - 0,5;{\rm{ 3}}\frac{1}{5};{\rm{ }} - 2,75;{\rm{ 10}}{\rm{.}}\)
\(\frac{0}{3};{\rm{ }}\frac{{ - 1}}{6};{\rm{ 75\% ; }} - 10.\)
\(\sqrt 4 ;{\rm{ }}0;{\rm{ }}75\% ;{\rm{ }}5,12.\)
\( - 3\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{3}{4};{\rm{ }}\sqrt 3 ;{\rm{ }} - 10.\)
Đáp án đúng là: D
Xét các đáp án, nhận thấy:
• Dãy gồm các số \( - 0,5;{\rm{ 3}}\frac{1}{5};{\rm{ }} - 2,75;{\rm{ 10}}\) là dãy chỉ chứa các số hữu tỉ.
• Dãy gồm các số \(\frac{0}{3};{\rm{ }}\frac{{ - 1}}{6};{\rm{ 75\% ; }} - 10\) là dãy chỉ chứa các số hữu tỉ \(\left( {{\rm{75\% }} = 0,75} \right)\).
• Dãy gồm các số \(\sqrt 4 ;{\rm{ }}0;{\rm{ }}75\% ;{\rm{ }}5,12\) là dãy chỉ chứa các các số hữu tỉ \(\left( {\sqrt 4 = \sqrt {{2^2}} = 2} \right)\).
• Dãy gồm các số \( - 3\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{3}{4};{\rm{ }}\sqrt 3 ;{\rm{ }} - 10\) có \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ.
Do đó, chọn đáp án D.
Kết quả của phép tính \(0,{6^5}:0,{6^3}\) là
\(0,{6^8}.\)
\(0,{6^2}.\)
\(0,{6^{15}}.\)
\(0,{6^3}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(0,{6^5}:0,{6^3} = 0,{6^{5 - 3}} = 0,{6^2}\).
Phân số nào dưới đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
\(\frac{{15}}{{42}}.\)
\(\frac{{19}}{4}.\)
\(\frac{5}{8}.\)
\(\frac{8}{{25}}.\)
Đáp án đúng là: A
Xét các đáp án:
• Ta có \(\frac{{15}}{{42}}\) có mẫu số \(42 = 2.3.7\) do đó phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
• Ta có \(\frac{{19}}{4}\) có mẫu số \(4 = {2^2}\) do đó phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• Ta có \(\frac{5}{8}\) có mẫu số \(8 = {2^3}\), do đó phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• Ta có \(\frac{8}{{25}}\) có mẫu số \(25 = {5^2}\), do đó phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Vậy chọn đáp án A.
Một số dương \(a\) có căn bậc hai số học là
\(\sqrt a .\)
\( - \sqrt a .\)
\(\sqrt a \) và \( - \sqrt a .\)
\({a^2}.\)
Đáp án đúng là: A
Số dương \(a\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt a .\)
Giá trị tuyệt đối của \( - 3,14\) là
\(3,14.\)
\( - 3,14.\)
\(0.\)
\({\left( { - 3,14} \right)^2}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| { - 3,14} \right| = 3,14\).
Với hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(2025a = 2024b,{\rm{ }}\left( {a,b \ne 0} \right)\). Khẳng định sai là
\(\frac{a}{b} = \frac{{2024}}{{2025}}.\)
\(\frac{{2024}}{a} = \frac{{2025}}{b}.\)
\(\frac{a}{{2025}} = \frac{b}{{2024}}.\)
\(\frac{b}{{2025}} = \frac{a}{{2024}}.\)
Đáp án đúng là: C
Với hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(2025a = 2024b,{\rm{ }}\left( {a,b \ne 0} \right)\) thì ta viết được các tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{{2024}}{{2025}}\);\(\frac{{2024}}{a} = \frac{{2025}}{b};\)\(\frac{a}{{2024}} = \frac{b}{{2025}}\); \(\frac{b}{{2025}} = \frac{a}{{2024}}.\)
Do đó, khẳng định C là sai.
Biết hai đại lượng \(x\) và \(y\) tỉ lệ thuận với nhau khi \(x = 4\) thì \(y = 8,\) khi đó hệ số tỉ lệ \(k\) của \(y\) đối với \(x\) là
\(8.\)
\(32.\)
\(0,5.\)
\(2.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(x\) và \(y\) tỉ lệ thuận với nhau nên \(y = kx\).
Mà khi \(x = 4\) thì \(y = 8\) nên \(8 = 4k\) hay \(k = \frac{8}{4} = 2\).
Biết hai đại lượng \(x\) và \(y\) tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là \(a\). Nếu \(x = - 3\) thì \(y = - 12\). Vậy hệ số tỉ lệ \(a\) là
\(4.\)
\( - 4.\)
\(36.\)
\( - 36.\)
Đáp án đúng là: C
Vì hai đại lượng \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(xy = a\).
Do đó, khi \(x = - 3\), \(y = - 12\) thì \(a = - 3.\left( { - 12} \right) = 36.\)
Cho các kích thước của hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) như sau: \(HG = 38{\rm{ cm; }}BF = 26{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Hỏi độ dài của \(AB\) và \(CG\) là bao nhiêu cm?
\(AB = 26{\rm{ cm; }}CG = 38{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(AB = 28{\rm{ cm; }}CG = 64{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(AB = 12{\rm{ cm; }}CG = 38{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(AB = 38{\rm{ cm; }}CG = 26{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: D
Ta có hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) nên \(AB = HG = 38{\rm{ cm; }}CG = BF = 26{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Vậy chón đáp án D.
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có chung đặc điểm nào dưới đây?
Đều có 6 măt.
Đều có 8 đỉnh.
Các mặt đáy song song với nhau.
Mỗi đỉnh có 3 góc vuông.
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy các hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có đặc điểm chung là các mặt đáy đều song song với nhau.
Cho tia \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\). Nếu \(\widehat {xOt} = 35^\circ \) thì \(\widehat {yOt}\) bằng
\(35^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(180^\circ .\)
\(70^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Vì tia \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOt} = \widehat {tOy} = 35^\circ \).
Cho ba đường thẳng phân biệt \(a,b,c.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Nếu \(a\parallel b;{\rm{ }}b\parallel c\) thì \(a \bot c.\)
Nếu \(a \bot b;{\rm{ }}b \bot c\) thì \(a \bot c.\)
Nếu \(a \bot b;{\rm{ }}b\parallel c\) thì \(a\parallel c.\)
Nếu \(a\parallel b;{\rm{ }}b\parallel c\) thì \(a\parallel c.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có định lí: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chung song song với nhau”.
Hay nếu \(a\parallel b;{\rm{ }}b\parallel c\) thì \(a\parallel c.\)
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Một cửa hàng nhập về 100 cái áo với giá gốc \(200{\rm{ }}000\) đồng/cái. Cửa hàng đã bán 60 cái áo với giá mỗi cái lãi \(25\% \) so với giá gốc; 40 cái còn lại bán lỗ \(5\% \) so với giá gốc.
a) Khi bán 60 cái đầu, mỗi cái áo lãi \(50{\rm{ }}000\) đồng.
b) Khi bán 40 cái còn lại, mỗi cái lỗ \(10{\rm{ }}000\) đồng.
c) Số tiền thu về khi bán 100 cái áo nhỏ hơn \(22\) triệu đồng.
d) Cửa hàng đã lãi \(1,5\) triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) S
• Khi bán 60 cái áo đầu, mỗi cái áo lãi số tiền là: \(200{\rm{ }}000.25\% = 50{\rm{ }}000\) (đồng).
Do đó, ý a) đúng.
• Khi bán 40 cái áo còn lại, mỗi cái cửa hàng lỗ số tiền là: \(200{\rm{ }}000.5\% = 10{\rm{ }}000\) (đồng).
Do đó, ý b) đúng.
• Số tiền lãi thu về khi bán 60 cái áo đầu tiên là: \(25{\rm{ }}000.60 = 1{\rm{ }}500{\rm{ }}000\) (đồng).
Số tiền cửa hàng nhập 100 chiếc áo về là: \(200{\rm{ }}000.100 = 20{\rm{ }}000{\rm{ }}000\) (đồng).
Số tiền cửa hàng bán lỗ 40 chiếc áo còn lại là: \(10{\rm{ }}000.40 = 400{\rm{ 000}}\) (đồng).
Do đó, số tiền thực tế của hàng thu về khi bán 100 chiếc áo là:
\(20{\rm{ }}000{\rm{ }}000 + 1{\rm{ }}500{\rm{ }}000 - 400{\rm{ }}000 = 21{\rm{ }}100{\rm{ }}000\) (đồng)
Do đó, ý c) là đúng.
• Số tiền cửa hàng đã lãi là: \(21{\rm{ }}100{\rm{ }}000 - 20{\rm{ }}000{\rm{ }}000 = 1{\rm{ }}100{\rm{ }}000\) (đồng).
Do đó, ý d) là sai.
Nhà ông An thuê thợ làm một cái gờ bằng bê tông để xe máy lên xuống bậc thêm có hình dạng giống như hình lăng trụ đứng tam giác dưới đây.
Biết rằng \(AB = 0,25{\rm{ m; }}BC = 0,6{\rm{ m; }}AC{\rm{ = 0,65 m; }}AD = 0,9{\rm{ m}}\). Cho biết, tiền quét vôi các mặt xung quanh (trừ hai mặt đáy) của gờ là \(300{\rm{ 000}}\) đồng và tiền đổ bê tông là \(1{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\) giá \(50{\rm{ 000}}\) đồng.
a) Diện tích được quét vôi của cái gờ là \(1,35\) m2.
b) Thể tích của gờ lớn hơn \(0,05{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\)
c) Số tiền mua bê tông làm chiếc gờ này nhỏ hơn \(3,3\) triệu đồng.
d) Tổng số tiền ông An phải trả là \(3,5\) triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) S
• Diện tích được quét vôi của cái gờ là: \(\left( {0,25 + 0,6 + 0,65} \right).0,9 = 1,35\) (m2).
Do đó, ý a) là đúng.
• Thể tích của cái gờ đó là: \(\frac{1}{2}.0,6.0,25.0,9 = 0,0675\) (m3)
Do đó, ý b) là đúng.
• Đổi \(0,0675{\rm{ }}{{\rm{m}}^3} = 67,5{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\).
Do đó, số tiền để đổ bê tông cho cái gờ đó là: \(67,5.50{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}375{\rm{ }}000\) (đồng).
Do đó, ý c) là sai.
• Vậy tổng số tiền ông An phải trả là: \(3{\rm{ }}375{\rm{ }}000 + 300{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}675{\rm{ }}000\) (đồng).
Do đó, ý d) là sai.
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Ta có \(a = \sqrt 3 = 1,7320508.....\) Hãy làm tròn số \(a\) đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy.
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(1,73\)
Vì chữ số thập phân thứ ba sau dấu phẩy là \(2 < 5\) nên khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy ta được \(1,73.\)
Tìm \(x,\) biết: \(\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} = \sqrt {\frac{9}{{16}}} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: \( - 2\)
Ta có: \(\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} = \sqrt {\frac{9}{{16}}} \)
\(\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} \)
\(\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} = \frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{4}x = \frac{3}{4} - \frac{5}{4}\)
\(\frac{1}{4}x = - \frac{2}{4}\)
\(x = - \frac{2}{4}:\frac{1}{4}\)
\(x = - \frac{2}{4}.4\).
\(x = - 2.\)
Vậy \(x = - 2.\)
Cho một hình trụ đứng tam giác vuông \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 40{\rm{ cm,}}\) \(AC = 60{\rm{ cm,}}\) \(CC' = 50{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Hỏi thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác này bằng bao nhiêu mét khối?
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(0,06\)
Thể tích hình lăng trụ đứng tam giác vuông \(ABC.A'B'C'\) là: \(\frac{1}{2}.40.60.50 = 60{\rm{ }}000{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Đổi \(60{\rm{ }}000{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3} = 0,06{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\)
Vậy thể tích hình lăng trụ đứng tam giác này bằng \(0,06{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}.\)
Trong hình vẽ có \(xy\parallel mn\). Tia \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {ABn}.\) Biết \(\widehat {BAx} = 70^\circ \).
Hỏi số đo \(\widehat {ACB}\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(35\)
Vì \(xy\parallel mn\) nên \(\widehat {xAB} = \widehat {ABn} = 70^\circ \) (so le trong).
Ta có tia \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {ABn}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {CBn} = \widehat {\frac{{ABn}}{2}} = 35^\circ \).
Vì \(xy\parallel mn\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CBn} = 35^\circ \).
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng có cùng diện tích. Đội thứ nhất cày trong 5 ngày, đội thứ hai cày trong 4 ngày và đội thứ ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng ba đội có tất cả \(37\) máy? (Năng suất các máy là như nhau).
Hướng dẫn giải
Gọi số máy cày của mỗi đội lần lượt là \(x;y;z{\rm{ }}\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Vì số máy cày tỉ lệ nghịch với số ngày nên ta có: \(5x = 4y = 6z\) hay \(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = \frac{y}{{\frac{1}{4}}} = \frac{z}{{\frac{1}{6}}}\) (1).
Vì cả ba đội có tất cả \(37\) máy nên \(x + y + z = 37\) (2)
Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = \frac{y}{{\frac{1}{4}}} = \frac{z}{{\frac{1}{6}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}}} = \frac{{37}}{{\frac{{37}}{{60}}}} = 60\).
Do đó, \(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = 60\) nên \(x = \frac{1}{5}.60 = 12\) (thỏa mãn).
\(\frac{y}{{\frac{1}{4}}} = 60\) nên \(y = 60.\frac{1}{4} = 15\) (thỏa mãn).
\(\frac{z}{{\frac{1}{6}}} = 60\) nên \(z = 60.\frac{1}{6} = 10\) (thỏa mãn).
Vậy số máy cày của các đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là \(12\) máy, \(15\) máy và \(10\) máy.
(1,5 điểm) Cho hình vẽ bên , biết: \(\widehat {FDC} = 135^\circ ;\widehat {{\rm{ }}CBx} = 45^\circ ;\widehat {{\rm{ }}DCz} = 135^\circ ,{\rm{ }}Dy\parallel Bx,{\rm{ }}Dy \bot BF\) tại điểm \(F.\)
a) Chứng minh \(Cz\parallel Dy.\)
b) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {FBx}.\)
c) Kẻ tia \(Ct\) là tia đối của tia \(Cz\). Chứng minh \(Ct\) là tia phân giác của \(\widehat {DCB}\).
Hướng dẫn giải
a) Nhận thấy, \(\widehat {FDC} = \widehat {DCz} = 135^\circ \) (giả thiết)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(Cz\parallel Dy.\)
b) Vì \(Dy\parallel Bx\) và \({\rm{ }}Dy \bot BF\) nên \({\rm{ }}Bx \bot BF\) tại \(B.\)
Suy ra \(\widehat {FBx} = 90^\circ \).
Nhận thấy \(\widehat {FBC}\) và \(\widehat {CBx}\) là hai góc kề nhau nên \(\widehat {FBC} + \widehat {CBx} = \widehat {FBx}\) hay \(\widehat {FBC} + 45^\circ = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {FBC} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
Do đó, \(\widehat {FBC} = \widehat {CBx}\) và tia \(BC\) nằm giữa hai tia \(BF,Bx\) nên \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {FBx}.\)
c)
Có tia \(Ct\) là tia đối của tia \(Cz\) nên \(\widehat {tCz}\) là góc bẹt.
Có \(\widehat {tCD}\) và \(\widehat {DCz}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {tCD} + \widehat {DCz} = 180^\circ \) hay \(\widehat {tCD} + 135^\circ = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {tCD} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
Vì \(Cz\parallel Dy\) và \(Dy\parallel Bx\) nên \(Cz\parallel Bx\). Do đó, \(Bx\parallel Ct\).
Suy ra \(\widehat {CBx} = \widehat {BCt} = 45^\circ \) (so le trong)
Do đó, \(\widehat {DCt} = \widehat {BCt} = 45^\circ \).
Mà \(Ct\) là tia nằm giữa hai tia \(CD\) và \(CB\).
Do đó, \(Ct\) là tia phân giác của \(\widehat {DCB}\).
(0,5 điểm) Cho \(S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\). Chứng minh \(S < \frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)
\(4S = 4\left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}} \right)\)
\(4S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}}\)
\(4S - S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + \frac{4}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}} \right)\)
\(3S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + \frac{5}{{{4^4}}} + .... + \frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \frac{1}{4} - \frac{2}{{{4^2}}} - \frac{3}{{{4^3}}} - \frac{4}{{{4^4}}} - .... - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)
\(3S = 1 + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{{{4^2}}} - \frac{2}{{{4^2}}}} \right) + \left( {\frac{4}{{{4^3}}} - \frac{3}{{{4^3}}}} \right) + \left( {\frac{5}{{{4^4}}} - \frac{4}{{{4^4}}}} \right) + .... + \left( {\frac{{2023}}{{{4^{2022}}}} - \frac{{2022}}{{{4^{2022}}}}} \right) - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)
\(3S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{4^{2023}}}}\)
Nhận thấy \(3S < 1\).
Đặt \(A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}}\)
\(4A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2021}}}}\)
\(4A - A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2021}}}} - \left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + .... + \frac{1}{{{4^{2022}}}}} \right)\)
\(3A = 4 - \frac{1}{{{4^{2022}}}}\)
Nhận thấy \(4 - \frac{1}{{{4^{2022}}}} < 4\) hay \(3A < 4\) suy ra \(A < \frac{4}{3}\).
Do đó, \(3S < A\) nên \(S < \frac{A}{3}\) hay \(S < \frac{4}{9} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\)
Vậy \(S < \frac{1}{2}.\)
