Bộ 5 đề thi giữa kì Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Mệnh đề “Mọi số thực đều có bình phương không âm” nếu dùng ký hiệu toán học sẽ là \(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} \ge 0\).

Chọn A.

Phủ định của mệnh đề “9 > 4” là $9\le 4$. Chọn B.

Ta có \(A = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\). Chọn D.

Chì có phương án C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,y\]. Chọn C.

Thay \(x = 2023;y = 1\)vào các bất phương trình của từng phương án ta thấy phương án D thỏa. Chọn D.

Ta có $45°<\alpha <90°$ thì $\cos \alpha >0$. Chọn C.

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{12}}{2} = 6\).

Diện tích của tam giác \(ABC\) là: \(S = pr = 6 \cdot 1 = 6\). Chọn C.

\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Chọn D.

Ta có \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 \]. Chọn A.

Nếu một tam giác có một góc bằng 60⁰ thì tam giác đó là đều là mệnh đề sai vì hai góc còn lại có thể chọn tùy ý sao cho tổng bằng 120⁰ nên không đảm bảo đó là tam giác đều. Chọn A.

Đường thẳng \(x - y = 1\) đi qua hai điểm \(\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;0} \right)\).

Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x - y \le 1\).

Vậy bất phương trình có miền nghiệm như hình vẽ là \(x - y \le 1\). Chọn B.

Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}\).

Vậy \(E = \frac{{\cot \alpha  + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha  + \tan \alpha }} = \frac{{\left( {\cot \alpha  + 3\tan \alpha } \right)\tan \alpha }}{{\left( {2\cot \alpha  + \tan \alpha } \right)\tan \alpha }} = \frac{{1 + 3{{\tan }^2}\alpha }}{{2 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{1 + 3 \cdot \frac{5}{4}}}{{2 + \frac{5}{4}}} = \frac{{19}}{{13}}\). Chọn B.

a) Đúng. Ta có \[x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 2\]. Do đó \(A = \left[ { - 2; + \infty } \right)\).

Ta có \(2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\). Do đó \(B = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\).

b) Đúng.

c) Sai. Vì \(A \cap B = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)\).

d) Sai. Ta có \(A \cap B = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)\) nên \(A \cap B\) có các phần tử nguyên là \( - 2; - 1;0\). Do đó số phần tử nguyên của tập hợp\(A \cap B\) là 3. 

a) Sai. Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}BC\) và \(MN\,{\rm{//}}\,BC\).

b) Đúng. Điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\). (1)

c) Sai. Xét nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa \(C\), ta có \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(N\) và \(C\) cùng phía \(AB\) hay cùng phía \(MB\), mà \(MN\,{\rm{//}}\,BC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

d) Đúng. Ta có \(P\) đối xứng \(M\) qua \(N\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng, dễ thấy \(\overrightarrow {MN}  \ne \overrightarrow 0 \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. (2)

Từ \((1)\) và \((2)\), suy ra \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC} \).

Bốn ly “Giọt lệ thiên thần” có giá \(600\,000\) đồng nên một ly “Giọt lệ thiên thần” có giá \(150\,000\)đồng.

Ba ly “Giọt lệ ác quỷ” có giá \(540\,000\) đồng nên một ly “Giọt lệ ác quỷ” có giá \(180\,000\) đồng.

Tổng số tiền phải chi trả của cửa hàng trong một tháng là \(17\,000\,000\) đồng.

Để cửa hàng có lãi thì thu nhập của cửa hàng phải lớn hơn \(17\,000\,000\) đồng nên ta có:

\(150\,000x + 180\,000y > 17\,000\,000\)\( \Leftrightarrow 15x + 18y > 1\,700\).

Vậy \(a = 15\,;\,\,b = 18 \Rightarrow T = 2a + b = 2 \cdot 15 + 18 = 48\).

Đáp án: 48.

Ta có \({P^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = 1 - 2\sin x \cdot \cos x\).

Theo giả thiết: \(\sin x + \cos x = 0,2 \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 0,04\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x \cdot \cos x + {\cos ^2}x = 0,04 \Rightarrow 1 + 2\sin x \cdot \cos x = 0,04\)\( \Rightarrow 2\sin x \cdot \cos x =  - 0,96\).

Do đó \({P^2} = 1 + 0,96 = 1,96 \Rightarrow P = 1,4\) (vì \(P \ge 0\)).

Đáp án: 1,4.

Tổng quãng đường mà phương tiện di chuyển từ \(A\) qua \(C\) đến \(B\) là: \(70 + 100 = 170\,{\rm{km}}\).

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: \(170:20 = 8,5\) lít.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\):

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos 60°=7900\Rightarrow AB=10\sqrt{79}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(km)}$.

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: \(10\sqrt {79} \,:20 = \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 4,44\) lít.

Thể tích nhiên liệu tiết kiệm được: \(8,5 - 4,44 = 4,06\) lít.

Đáp án: 4,06.

Ta có \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \], với D là đỉnh của hình vuông ABDC.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{\sqrt 2 }^2}}  = 2.\)

Đáp án: 2.

Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc \((x,y \in \mathbb{N})\).

Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 10y \le 600\\4x + 3y \le 240\end{array} \right.\].

Mỗi tháng khi bán \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc lợi nhuận thu được là

\[F\left( {x;y} \right) = 400x + 750y\] (nghìn đồng).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \[F\left( {x;y} \right)\] khi \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \[OABC\] với tọa độ các đỉnh \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;60} \right),B\left( {24;48} \right),C\left( {60;0} \right)\].

Tính giá trị của biểu thức \[F\] tại các đỉnh của tứ giác này

\[F\left( {0;0} \right) = 0,\quad F\left( {0;60} \right) = 45000,\quad F\left( {24;48} \right) = 45600,\quad F\left( {60;0} \right) = 24000.\]

So sánh các giá trị thu được của \[F\] ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \[F\left( {24;48} \right) = 45600.\]

Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[24\] kệ sách và \[48\] bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

a) Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại \(C\) là \(t\) (giờ, \(t > 0\)).

Quãng đường \(BC\) là \(20t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Quãng đường \(AC\) là \(30t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có

$\frac{BC}{\sin \alpha }=\frac{AC}{\sin B}\iff \sin \alpha =\frac{BC\cdot \sin B}{AC}=\frac{20t\cdot \sin 124°}{30t}\approx \mathrm{0,5527}\Rightarrow \alpha \approx 34°$.

Vậy tàu \(A\) chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu \(B\) một góc $34°$.

b) Xét tam giác \(ABC\), ta có $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{A}\right)=180°-\left(124°+34°\right)=22°$.

Áp dụng định lí sin, ta có

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\iff BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}\iff 20t\approx \frac{50\cdot \sin 34°}{\sin 22°}\iff t\approx \mathrm{3,73}$ (giờ).

Vậy sau khoảng \(3,73\) giờ thì tàu \(A\) đuổi kịp tàu \(B\).

Ta có tổng lực tác dụng lên vật: \({\vec F_1} + {\vec F_2} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} \) (với \(C\) là điểm sao cho \(AMBC\) là hình bình hành).

Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: \(\left| {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC\).

Ta có: \(MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {{{\vec F}_1}} \right| = 400\;{\rm{N}}\), \[MB = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 300\;{\rm{N}}\].

Mặt khác, do $\widehat{AMB}=90°$ nên \(AMBC\) là hình chữ nhật.

Khi đó \(MC = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} = \sqrt {{{400}^2} + {{300}^2}} = 500\,\,{\rm{(N)}}\).

Vậy cường độ của lực tác động lên vật bằng 500 N.