Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Đề số 4)
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, tích \({a^2}.{a^{\frac{1}{2}}}\) bằng
\({a^{\frac{5}{2}}}\).
\(a\).
\({a^{\frac{3}{2}}}\).
\({a^{\frac{1}{4}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^2}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{2}}}\).
Đặt \(a = {\log _2}5\). Khi đó \({\log _{25}}32\) bằng
\(\frac{5}{{2a}}\).
\(\frac{{5a}}{2}\).
\(\frac{2}{{5a}}\).
\(\frac{{2a}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
\({\log _{25}}32 = {\log _{{5^2}}}{2^5} = \frac{5}{2}{\log _5}2 = \frac{5}{{2{{\log }_2}5}} = \frac{5}{{2a}}\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\sqrt {\frac{1}{\pi }} } \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\sqrt[{2024}]{\pi }} \right)^x}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\sqrt[{2024}]{\pi } > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt[{2024}]{\pi }} \right)^x}\) đồng biến trên tập xác định của nó.
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\log x < 1\) là
\(S = \left( { - \infty ;10} \right)\).
\(S = \left( {0;10} \right)\).
\(S = \left( {10; + \infty } \right)\).
\(S = \left( { - \infty ;1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \(\log x < 1\)\( \Leftrightarrow x < 10\).
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {0;10} \right)\).
Cho \({\log _a}b = 2\) với \(a,b\) là số thực dương và \(a\) khác 1. Tính giá trị biểu thức \(T = {\log _{{a^2}}}{b^6} + {\log _a}\sqrt b \).
\(T = 7\).
\(T = 6\).
\(T = 5\).
\(T = 8\).
Đáp án đúng là: A
\(T = {\log _{{a^2}}}{b^6} + {\log _a}\sqrt b \)\( = 3{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _a}b\)\( = 3.2 + \frac{1}{2}.2 = 7\).
Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x\). Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
\(a < c < b\).
\(c < a < b\).
\(a < b = c\).
\(b < c < a\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có: \(0 < a < 1\).
Các hàm số \(y = {b^x},y = {\log _c}x\) đồng biến trên tập xác định của nó nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b > 1\\c > 1\end{array} \right.\).
Xét đồ thị hàm số \(y = {\log _c}x\), ta có \({\log _c}2 > 1 \Leftrightarrow c < 2\).
Xét đồ thị hàm số \(y = {b^x}\), ta có \({b^1} > 2 \Leftrightarrow b > 2\).
Do đó \(0 < a < c < b\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Góc giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(BC\) bằng
Góc giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(DC\).
Góc giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(AD\).
Góc giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(BD\).
Góc giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(SC\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD//BC\).
Do đó \(\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,DA} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\). Hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm
\(B\).
\(D\).
\(O\).
\(A\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm A.
Cho hình chóp\(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào dưới đây sai?
\(SA \bot AB\).
\(SA \bot BC\).
\(SA \bot AC\).
\(SB \bot AB\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot AB\), \(SA \bot BC\), \(SA \bot AC\).
Cho các đường thẳng \(a,b\) và các mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow b//\left( \alpha \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\).
Đáp án đúng là: A
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) và các cạnh bên bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(SD\). Số đo góc \(\left( {MN,SC} \right)\) bằng
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(NH//SC\).
Do đó \(\left( {SC,MN} \right) = \left( {NH,MN} \right) = \widehat {MNH}\).
Ta có \(MN = NH = \frac{a}{2};MH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vì \(M{N^2} + H{N^2} = M{H^2}\) nên \(\Delta MNH\) vuông tại \(N\).
Do đó \(\widehat {MNH} = 90^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) lấy điểm \(S\) sao cho \(SA = a\). Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(BC \bot AB\) và \(BC \bot SA\) suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AB \bot BC\\SB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA}\).
Vì \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {SBA} = 45^\circ \).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(a,b\) là hai số thực dương và biểu thức \(A = 3{\log _2}a + {\log _2}b\).
a) Nếu \(a = 4;b = 2\) thì \(A = 6\).
b) Biểu thức \(A = {\log _2}\left( {{a^3}b} \right)\).
c) Nếu \({a^3}b = 8\). Giá trị của biểu thức \(A\) bằng 3.
d) Nghiệm của phương trình \({\log _2}x = 2A\) là \(x = {a^3}{b^2}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Nếu \(a = 4;b = 2\) thì \(A = 3{\log _2}4 + {\log _2}2\)\( = 3{\log _2}{2^2} + {\log _2}2 = 6 + 1 = 7\).
b) \(A = 3{\log _2}a + {\log _2}b\)\( = {\log _2}{a^3} + {\log _2}b\)\( = {\log _2}\left( {{a^3}b} \right)\).
c) Nếu \({a^3}b = 8\) thì \(A = {\log _2}8 = 3\).
d) \({\log _2}x = 2A = 2{\log _2}\left( {{a^3}b} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{\left( {{a^3}b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow x = {\left( {{a^3}b} \right)^2} = {a^6}{b^2}\).
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\). Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và kẻ \(AM \bot BC\).
a) Đường thẳng \(SG\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
b) \(SM \bot BC\).
c) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SMA}\).
d) Giá trị góc \(\alpha \) giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Vì hình chóp \(S.ABC\) đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\).
b) Vì \(GM\) là hình chiếu của \(SM\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(SM \bot BC\).
c) Có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SMA} = \widehat {SMG}\).
d) Vì \(\Delta ABC\) đều có \(AM\) là đường trung tuyến, \(G\) là trọng tâm nên \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Có \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
d) Tam giác \(SGM\) vuông tại \(G\) nên \(\cos \widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = 60^\circ \).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ - x}}\) là \(\left( {a; + \infty } \right)\). Tìm \(a\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
\({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ - x}}\)\( \Leftrightarrow {5^{x + 2}} < {5^{3x}}\)\( \Leftrightarrow x + 2 < 3x\)\( \Leftrightarrow x > 1\).</>
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1; + \infty } \right)\). Do đó \(a = 1\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'D\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 60
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(A'D = A'C' = DC'\)\( \Rightarrow \Delta A'DC'\) là tam giác đều.
Vì \(AC//A'C'\) nên \(\left( {AC,A'D} \right) = \left( {A'C',A'D} \right) = \widehat {DA'C'} = 60^\circ \).
Trong vật lí, sự phân rã các chất phóng xạ được cho bởi công thức \(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}\). Trong đó, \({m_0}\) là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t = 0\)), \(m\left( t \right)\) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \(t\) và \(T\) là chu kì bán rã. Hạt nhân Poloni (\({P_0}\)) là chất phóng xạ \(\alpha \)có chu kì bán rã 138 ngày. Giả sử lúc đầu có 100 Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết quả đến phần chục).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 60,5
Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là \(m\left( {100} \right) = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,5\) (gam).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Góc giữa hai đường thẳng \(BK\) và \(SC\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 90
Vì \(\Delta ABK = \Delta BCH\) (\(AB = BC,AK = BH,\widehat {KAB} = \widehat {CBH} = 90^\circ \)) nên \(\widehat {BHC} = \widehat {BKA}\).
Có \(\widehat {ABK} + \widehat {BKA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABK} + \widehat {BHC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow BK \bot CH\)(1).
Mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BK\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(BK \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow BK \bot SC\).
Do đó \(\left( {BK,SC} \right) = 90^\circ \).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\log _{\frac{1}{2}}}x;y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) và \(y = {2^x}\). Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào đã cho?
Hướng dẫn giải
Đây là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x\).
Hàm số trên đồng biến nên \(a > 1\).
Mà đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;1} \right)\) nên đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\).
Một ngân hàng \(X\), quy định về số tiền nhận được của khách hàng sau \(n\) năm gửi tiền vào ngân hàng tuân theo công thức \(P\left( n \right) = A{\left( {1 + 8\% } \right)^n}\), trong đó \(A\) là số tiền gửi ban đầu của khách hàng. Hỏi số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi là bao nhiêu để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng triệu).
Hướng dẫn giải
Để số tiền ít nhất mà khách hàng nhận được lớn hơn 850 triệu đồng thì
\(850 < A{\left( {1 + 8\% } \right)^3} \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674,8\).</>
Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi là 675 triệu đồng.
Kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó (đơn vị đo góc là độ, làm tròn đến hàng phần chục).
Hướng dẫn giải
Giả sử Kim tự tháp có dạng hình chóp đều \(S.ABCD\).
Theo đề có \(SO = 98,CD = 180\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(OH \bot CD\) và \(OH = \frac{{AD}}{2} = 90\).
Ta có \(CD \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow CD \bot SH\).
Do đó góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó là góc \(\widehat {SHO}\).
Ta có \(\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{98}}{{90}} \Rightarrow \widehat {SHO} \approx 47,4^\circ \).
