Bộ 12 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023 - 2024) có đáp án - Đề 11
38 câu hỏi
Góc lượng giác có tia đầu \(OA\), tia cuối \(OB'\) trên hình vẽ có số đo bằng:
\(\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\( - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\( - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
Từ hình vẽ suy ra góc lượng giác đề cho có số đo \(\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Cung tròn có số đo là \[\frac{{5\pi }}{4}\]. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
\[5^\circ \].
\[15^\circ \].
\[172^\circ \].
\[225^\circ \].
Chọn D
Ta có: \[\frac{{5\pi }}{4} = \frac{5}{4}{.180^o} = {225^o}\]
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số\(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
Hàm số\(y = \cos x\) là hàm số lẻ.
Hàm số\(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
Hàm số\(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
Chọn B
Theo SGK, các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là hàm số lẻ, còn hàm \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Cho phương trình \(\cos x = a\), với a < 1: Gọi α (rad) là một cung thỏa mãn \(\cos \alpha = a\). Khi đó phương trình có tất cả các nghiệm là:
Chọn B
Ta có: \(\cos x = a = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)
Cho dãy số (un) cho bởi
. Chọn câu đúng?
Dãy bị chặn
Dãy không bị chặn
Dãy bị chặn trên
Dãy bị chặn dưới
Chọn B
Dễ dàng ta thấy dãy số này không bị chặn.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu lần lượt là \(5;{\mkern 1mu} {\rm{ }}9;{\rm{ }}{\mkern 1mu} 13;{\mkern 1mu} {\rm{ }}17;{\rm{ }}...\) Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng.
\({u_n} = 5n + 1.\)
\({u_n} = 5n - 1.\)
\({u_n} = 4n + 1.\)
\({u_n} = 4n - 1.\)
Chọn C
Ta có: \(5 = 4.1 + 1;{\mkern 1mu} {\rm{ }}9 = 4.2 + 1;{\rm{ }}{\mkern 1mu} 13 = 4.3 + 1;{\mkern 1mu} {\rm{ }}17 = 4.4 + 1;{\rm{ }}...\)
Do đó số hạng tổng quát của dãy là: \({u_n} = 4n + 1.\)
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
\(2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}16;{\rm{ }} \ldots \)
\(1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}...\)
\({1^2};{\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{{\rm{4}}^2};{\rm{ }}...\)
\(a;{\rm{ }}{a^3};{\rm{ }}{a^5};{\rm{ }}{a^7};{\rm{ }} \cdots \;\left( {a \ne 0} \right).\)
Chọn C
Ta có: \(\frac{{{2^2}}}{{{1^2}}} \ne \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}}\) nên \({1^2};{\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{{\rm{4}}^2};{\rm{ }}...\) không là CSN.
Cho bảng khảo sát về tiền điện của một số hộ gia đình:
Các nhóm số liệu ở bảng trên có độ dài là bao nhiêu?
\(45.\)
\(48.\)
\(50.\)
\(54.\)
Chọn C
Ta có: \(400 - 350 = 50\) nên độ dài của nhóm là \(50.\)
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc nó xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
Chọn C
Câu C sai vì không nói rõ 2 đường thẳng thế nào với nhau.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt trung điểm cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
P, Q, R, S
M, P, R, S
M, R, S, N
M, N, P, Q
Chọn B
Nhìn hình dễ dàng thấy M, P, R, S không đồng phẳng.
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Khẳng định nào sau đây sai?
Có duy nhất một mặt phẳng song song với \(a\) và \(b.\)
Có duy nhất một mặt phẳng qua \(a\) và song song với \(b.\)
Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm \(M\), song song với \(a\) và \(b\) (với \(M\) là điểm cho trước).
Có vô số đường thẳng song song với \(a\) và cắt \(b.\)
Chọn A
Cho hình chóp \[S.ABCD\], gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SC\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[MN//\,\left( {SBC} \right)\].
\[MN//\,\left( {ABCD} \right)\].
\[MN//\,\left( {SAB} \right)\].
\[MN//\,\left( {SCD} \right)\].
Chọn B
Ta có: \[MN\] là đường trung bình \[\Delta SAC\]
\[ \Rightarrow MN//AC\]
Mà \[AC \subset \left( {ABCD} \right)\]
Nên \[MN//\,\left( {ABCD} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(SA\) và \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(PQ\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\).
\(PQ \subset \left( {ABCD} \right)\).
\(PQ//\left( {ABCD} \right)\).
\(PQ\) và \(CD\) chéo nhau.
Chọn C
Ta có: \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ//AB\) (định lí Ta-let đảo)
Mà \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\)
Nên \(PQ//\left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,SD\). Mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn C
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAD\) nên \(MN//AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {OMN} \right)//\left( {ABCD} \right)\)
Tính giới hạn
bằng
-274
- ∞
+ ∞
274
Chọn D
\(\lim \frac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{1 - 4{n^5}}} = \lim \frac{{{n^3}{{\left( {\frac{2}{n} - 3} \right)}^3}{n^2}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{{n^5}\left( {\frac{1}{{{n^5}}} - 4} \right)}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{n} - 3} \right)}^3}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{1}{{{n^5}}} - 4}} = \frac{{{{\left( {0 - 3} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 4}} = \frac{{27}}{4}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {n + 3} - \sqrt {n + 2} \). Mệnh đề đúng là
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).
Chọn D
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {n + 3} - \sqrt {n + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {n + 3} - \sqrt {n + 2} } \right)\left( {\sqrt {n + 3} + \sqrt {n + 2} } \right)}}{{\sqrt {n + 3} + \sqrt {n + 2} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 3 - (n + 2)}}{{\sqrt n .\left( {\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + \sqrt {1 + \frac{2}{n}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt n .\left( {\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + \sqrt {1 + \frac{2}{n}} } \right)}} = 0\end{array}\]
Giá trị của \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)\] bằng
\[2\].
\[1\].
\[ + \infty \].
\[0\].
Chọn D
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = {2.1^2} - 3.1 + 1 = 0\]
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \,\infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right)\)
\( + \,\infty \).
\( - \,\infty \).
\(2\).
\[0\].
Chọn B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \,\infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \,\infty } {x^3}\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = - \,\infty \)
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\).
\(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{x}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Chọn B
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) không xác định tại \(x = - 1\) nên gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}\).
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x} \).
\(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\).
\(f(x) = \frac{1}{{\sin x}}\).
Chọn C
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\) xác định trên R nên liên tục trên R.
Đơn giản biểu thức \(C = {\rm{cos}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - a} \right) - {\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - a} \right) + {\rm{cos}}\left( {a - \frac{{7\pi }}{2}} \right) - {\rm{sin}}\left( {a - \frac{{7\pi }}{2}} \right)\)
\(2{\rm{sin}}a\).
\( - 2{\rm{sin}}a\).
\(2{\rm{cos}}a\).
\( - 2{\rm{cos}}a\).
Chọn B
\[\begin{array}{l}C = {\rm{cos}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - a} \right) - {\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - a} \right) + {\rm{cos}}\left( {a - \frac{{7\pi }}{2}} \right) - {\rm{sin}}\left( {a - \frac{{7\pi }}{2}} \right)\\ = {\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{2}{\rm{cos}}a + {\rm{sin}}\frac{{3\pi }}{2}{\rm{sin}}a - \left( {{\rm{sin}}\frac{{3\pi }}{2}{\rm{cos}}a - {\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{2}{\rm{sin}}a} \right)\\ + {\rm{cos}}a{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{2} + {\rm{sin}}a{\rm{sin}}\frac{{7\pi }}{2} - \left( {{\rm{sin}}a{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{2} - \cos a{\rm{sin}}\frac{{7\pi }}{2}} \right)\\ = 0.{\rm{cos}}a - {\rm{sin}}a - \left( { - {\rm{cos}}a - 0.{\rm{sin}}a} \right) + 0.{\rm{cos}}a - {\rm{sin}}a - \left( {{\rm{sin}}a.0 + \cos a} \right)\\ = - {\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a - {\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a = - 2\sin a\end{array}\]
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x - 1}}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi } \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;k2\pi } \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;x \ne k\pi } \right\}\).
Chọn C
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}\cos x - 1 \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 1\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k2\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]
Suy ra TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;k2\pi } \right\}\)
Phương trình \[\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\] có tất cả các nghiệm là:
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C
\[\cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \]
Cho dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là:
\({u_n} = \frac{1}{n}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).
\({u_n} = \frac{{ - 1}}{{{2^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{{\left( { - 2} \right)}^n}}}\).
Chọn B
Xét dãy số \({u_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\). Ta có: \({u_1} = \frac{1}{{{2^{1 - 1}}}} = 1,{\rm{ }}{u_2} = \frac{1}{{{2^{2 - 1}}}} = \frac{1}{2},{\rm{ }}{u_3} = \frac{1}{{{2^{3 - 1}}}} = \frac{1}{4},...\)
Đo chiều cao của 100 học sinh trường THPT Tam Phước, cho bảng số liệu sau:
Nhóm : 1 2 3 4 5 6
Chiều cao(cm) : \(\left[ {150;153} \right)\)\(\left[ {153;156} \right)\) \(\left[ {156;159} \right)\) \(\left[ {159;162} \right)\) \(\left[ {162;165} \right)\) \(\left[ {165;168} \right)\)
Số học sinh : 7 13 40 21 13 6
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:
\[160,52\].
\[161,52\]
\[162,25\;\].
\[161,14\].
Chọn D
Ta có: Tứ phân vị thứ 3 nằm trong nhóm thứ 4 \(\left[ {159;162} \right)\).
Suy ra tứ phân vị thứ 3 là: \({Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}}\left( {{a_5} - {a_4}} \right) = 159 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (7 + 13 + 40)}}{{21}}\left( {162 - 159} \right) = 161,14\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(MN//\left( {ABC} \right)\).
\(MN//\left( {SBC} \right)\).
\(MN//SC\).
\(MN = 2SB\).
Chọn A
Ta có \(MN\) là đường trung bình \(\Delta SAB\) nên \(MN//AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN//\left( {ABC} \right)\)
Trong không gian cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(C{\rm{D}}\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BC{\rm{D}}\). Đường thẳng \(AG\) cắt đường thẳng nào sau đây?
\(DN\).
\(CM\).
\(MN\).
\(C{\rm{D}}\).
Chọn C
Trong mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\), ta thấy \(AG\) cắt \(MN\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD\) và \(ACD\). Khẳng định nào sau đây SAI?
\({G_1}{G_2}{\rm{ // }}\left( {ABD} \right)\).
\({G_1}{G_2}\,{\rm{ // }}\left( {ABC} \right)\).
\(B{G_1}\), \(A{G_2}\) và \(CD\) đồng quy.
\({G_1}{G_2}\, = \frac{2}{3}AB\).
Chọn D
\(\Delta ABM\) có: \(\frac{{M{G_2}}}{{AM}}{\rm{ = }}\frac{{M{G_1}}}{{BM}}{\rm{ = }}\frac{1}{3}{\rm{ }} \Rightarrow {G_1}{G_2}{\rm{// }}\left( {ABD} \right) \Rightarrow \frac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\) nên câu D sai.
\[\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} - n} \right)\] bằng
\( - 3\).
\( + \infty \).
\(0\).
\( - \frac{3}{2}\).
Chọn D
\[\begin{array}{l}\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} - n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n + 1} + n} \right)}} = \lim \frac{{{n^2} - 3n + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 3n + 1} + n}}\\ = \lim \frac{{ - 3n + 1}}{{n\sqrt {1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + n}} = \lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{{ - 3}}{2}\end{array}\]
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}} & x > 3\\ax + 1 & & x \le 3\end{array} \right.\). Tìm a để hàm số liên tục trên R
\(a = 0\).
\(a = 1\).
\(a = 2\).
\(a = 3\).
Chọn A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 2} \right) = 3 - 2 = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {ax + 1} \right) = 3a + 1\)
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại \(x = 3\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) \Leftrightarrow 3a + 1 = 1 \Leftrightarrow a = 0\)
Số nghiệm phương trình \(\frac{{{\rm{sin}}3x}}{{{\rm{cos}}x + 1}} = 0\) thuộc đoạn \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) là
\(7\).
\(6\).
\(4\).
\(5\).
Chọn B
ĐKXĐ: \({\rm{cos}}x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \)
\(\frac{{{\rm{sin}}3x}}{{{\rm{cos}}x + 1}} = 0 \Rightarrow {\rm{sin}}3x = 0 \Leftrightarrow 3x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}\)
So sánh với điều kiện ta có: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,x = k2\pi \).
Khi \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), theo giả thiết \(x \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) suy ra \(2\pi \le \frac{\pi }{3} + k\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 2 \le \frac{1}{3} + k \le 4 \Leftrightarrow \frac{5}{3} \le k \le \frac{{11}}{3}\) mà \(k \in Z\) nên \[k \in \{ 2;3\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{7\pi }}{3};\frac{{10\pi }}{3}} \right\}\].
Khi \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \), theo giả thiết \(x \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) suy ra \(2\pi \le \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 2 \le \frac{2}{3} + k \le 4 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{{10}}{3}\) mà \(k \in Z\) nên \[k \in \{ 2;3\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{8\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3}} \right\}\].
Khi \(x = k2\pi \), theo giả thiết \(x \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) suy ra \(2\pi \le k2\pi \le 4\pi \Leftrightarrow 1 \le k \le 2\) mà \(k \in Z\) nên \[k \in \{ 1;2\} \Rightarrow x \in \left\{ {2\pi ;4\pi } \right\}\].
Vậy có 6 nghiệm thỏa mãn là: \[x \in \left\{ {\frac{{7\pi }}{3};\frac{{8\pi }}{3};\frac{{10\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3};2\pi ;4\pi } \right\}\].
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]biết \[{u_5} = 18\] và \[4{S_n} = {S_{2n}}\]. Tìm số hạng đầu tiên \[{u_1}\]và công sai \[d\]của cấp số cộng.
\[{u_1} = 2\];\[d = 4\].
\[{u_1} = 2\]; \[\,d = 3\].
\[{u_1} = 2\]; \[d = 2\].
\[{u_1} = 3\];\[d = 2\].
Chọn A
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 18\\4{S_n} = {S_{2n}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 18\\4.\frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = \frac{{2n\left[ {2{u_1} + (2n - 1)d} \right]}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 18\\2.\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = 2{u_1} + (2n - 1)d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 18\\4{u_1} + 2(n - 1)d = 2{u_1} + (2n - 1)d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 18\\2{u_1} - d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\,\left( {AD//BC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
\(SI\) (\(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\)).
\(SJ\) (\(J\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD\)).
\(SO\) (\(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)).
\(SP\) (\(P\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\)).
Chọn A
Ta có: \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\). Suy ra \(I\) là điểm chung thứ 2 của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Vậy \(SI\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. \[M,\,N,\,K\] lần lượt là trung điểm của \[DC,\,BC,\,SA.\] Gọi \[H\] là giao điểm của \[AC\] và \[MN\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[MN\] chéo \[SC\].
\[MN\,{\rm{//}}\,\left( {SBD} \right)\].
\[MN\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\].
\[MN \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ H \right\}\].
Chọn C
Ta có: \[MN\, \subset \left( {ABCD} \right)\] nên câu C sai.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 
có kết quả bằng
23
-43
34
53
Chọn A
Cấp số nhân lùi vô hạn: có số hạng đầu \[{u_1} = 1\] và công bội \[q = - \frac{1}{2}\] nên có tổng là: \[S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{2}{3}\].
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - \sqrt {3x - 2} }}{{{x^2} - 1}}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} - \frac{{\sqrt {3x - 2} - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} - \frac{{3(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)(\sqrt {3x - 2} + 1)}}} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} - \frac{3}{{(x + 1)(\sqrt {3x - 2} + 1)}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\end{array}\)
Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm được chỉ ra: 
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3\)
\(f(2) = m\)
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Rightarrow m = 3\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] đáy là hình bình hành, gọi \[G\] là trọng tâm tam giác\[SAB\], gọi \[M\] thuộc cạnh \[AD\] thỏa mãn \[2MA = MD\].
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SMB} \right)\).
b) Chứng minh rằng: \[MG//\left( {SDC} \right)\].
a) 2 mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SMB} \right)\)có S chung
Gọi \(I = AC \cap BM\)
Suy ra giao tuyến là SI
b) Gọi E trên SA sao cho \(AE = \frac{1}{3}SA\)
N là trung điểm AB
Chỉ ra được \(ME//SD,GE//AN//CD\)
Suy ra \(\left( {MGE} \right)//\left( {SCD} \right) \Rightarrow MG//\left( {SCD} \right)\).
