Bộ 12 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023 - 2024) có đáp án - Đề 4
39 câu hỏi
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình bình hành tâm\[O\]. Gọi\[I,J\]lần lượt là trung điểm\[SA,SC\]. Đường thẳng \[IJ\] song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
\(BD\).
\(BC\).
\(SO\).
\(AC\).
Chọn D
Xét tam giác \(\Delta SAC\)có \(I,J\)lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\)
\( \Rightarrow IJ\)là đường trung bình trong tam giác \(\Delta SAC\)
\( \Rightarrow IJ//AC\)
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{4x + 2}}\).
\(1\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{ - 1}}{4}\).
\(\frac{{ - 1}}{2}\)
Chọn B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{4x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{2}{x}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian trung bình của học sinh lớp 11 tập thể dục trong ngày là:
\(48\).(phút)
\(49,5\).(phút)
\(50\).(phút)
\(47,14\).(phút)
Chọn B
Các giá trị đại diện của các nhóm số liệu tương ứng là:
\(\frac{{0 + 20}}{2} = 10;\frac{{20 + 40}}{2} = 30;\frac{{40 + 60}}{2} = 50;\frac{{60 + 80}}{2} = 70;\frac{{80 + 100}}{2} = 90\)
Cỡ mẫu \(n = 5 + 9 + 12 + 10 + 4 = 40\)
Do đó, số trung bình của hs lớp 11 tập thể dục trong ngày là:
\(\overline x = \frac{1}{{40}}.(10.5 + 30.9 + 50.12 + 70.10 + 90.4) = 49,5\).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2024}^ - }} \frac{1}{{x - 2024}}\) bằng:
\( - \frac{1}{{2024}}\).
\(2024\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
Chọn D
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2024}^ - }} \left( {x - 2024} \right) = 0\] và \[x - 2024 < 0,\]khi \[x \to {2024^ - }\]
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2024}^ - }} \frac{1}{{x - 2024}} = - \infty \)
ThốngkêđiểmtrungbìnhmônToáncủamột sốhocsinhlớp11đượcchoởbảngsau:
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có bao nhiêu nhóm?
5.
6.
7.
12.
Chọn C
Góc có số đo \[{108^ \circ }\] đổi ra rađian là:
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
Chọn B
Ta có: \({180^0} = \pi (radian) \Rightarrow {1^0} = \frac{\pi }{{180}}(radian)\). Do đó, \({108^0} = 108.\frac{\pi }{{180}}(radian) = \frac{{3\pi }}{5}\)
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\], gọi \[I\], \[I'\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[A'B'\]. Qua phép chiếu song song đường thẳng \[AI'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến \[I\] thành?
\[C'\].
\(A'\).
\[B'\].
\(I'\).
Chọn C
Do \(AI'//IB'\) mà \(B' \in \left( {A'B'C'} \right)\). Qua phép chiếu song song đường thẳng \[AI'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến \[I\] thành \(B'\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^3}}} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{6}{{{x^3}}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^{2024}}}} = 0\)
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{6}{{{x^3}}} = \mathop {6.\lim }\limits_{x \to - \infty } {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} = 6.0 = 0\)
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
\( - 1;1; - 1;1\).
\(4;8;16;32\).
\(3;5;7;10\).
\(4;6;8;10\).
Chọn D
Do số hạng sau hơn số hạng trước 2 đơn vị nên dãy \(4;6;8;10\) là dãy số cấp số cộng.
Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K.\) Hàm số \(y = f(x)\)liên tục tại điểm \({x_0}\) khi nào?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \ne f({x_0}).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0}).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = - f({x_0}).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 2f({x_0}).\)
Chọn B
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} - 3x + 4} - 2}}{{2x}}\) bằng
\( - \frac{3}{8}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{2}{3}\).
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} - 3x + 4} - 2}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 3x + 4 - 4}}{{2x.(\sqrt {{x^2} - 3x + 4} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x.\left( {x - 3} \right)}}{{2x.(\sqrt {{x^2} - 3x + 4} + 2)}}\)\(\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - 3}}{{2.(\sqrt {{x^2} - 3x + 4} + 2)}} = \frac{{ - 3}}{{2.(\sqrt 4 + 2)}} = \frac{{ - 3}}{8}\)
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thoả mãn \(\lim {u_n} = 6\) và \(\lim {v_n} = 2\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right)\) bằng
\(4\).
\(8\).
\( - 4\).
\(12\).
Chọn A
\[\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 6 - 2 = 4\]
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(MN//BD.\)
\(MN//AC\)
\(MN//CD.\)
\(MN//BC.\)
Chọn B
Xét tam giác \(\Delta SAC\)có \(M\) và \(N\)lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\)
\( \Rightarrow MN\)là đường trung bình trong tam giác \(\Delta SAC\)
\( \Rightarrow MN//AC\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Chọn B
Xét hàm số \(y = \cos x.\)
Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\)
\(y\left( x \right) = \cos (x)\). \(y\left( { - x} \right) = \cos ( - x) = \cos (x),\forall x \in \mathbb{R}\).
\({y_{(x)}} = {y_{( - x)}}\). Do đó hàm số \(y = \cos x\) là hàm chẵn.
Cho hình hộp\[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng\[\left( {ABD} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\[\left( {A'B'D'} \right)\].
\[\left( {ABB'} \right)\].
\[\left( {AB'D'} \right)\].
\[\left( {DC'D'} \right)\]
Chọn A
Có hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] nên hai đáy \[(ABCD)//(A'B'C'D') \Rightarrow \left( {ABD} \right)//\left( {A'B'D'} \right)\]
Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?
\(1,3,5,7,...\).
\(2,4,6,8,...\)
\(1,2,3,4,...\).
\(2,4,8,16,...\).
Chọn B
Dãy số \(2,4,8,16,...\) có tính chất: \(4 = 2.2\)\(8 = 4.2\)\(16 = 8.2\)
Do đó dãy số có tính chất số liền sau bằng số liền trước nhân với 2.
Vậy dãy số trên là dãy số cấp số nhân.
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} - 12x + 35}}{{25 - 5x}}\).
\(\frac{2}{5}\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\( - \frac{2}{5}\).
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} - 12x + 35}}{{25 - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 7} \right)}}{{5.(5 - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 7}}{{ - 5}} = \frac{{5 - 7}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}\)
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB,\,SC\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(MN\,{\rm{//}}(ABC)\).
\(MN\,{\rm{//}}\,(SAC)\).
\(MN\,{\rm{//}}\,(SBC)\)
\(MN\,{\rm{//}}\,(SAB)\).
Chọn A
Xét tam giác \(\Delta SBC\)có \(M,\,N\)lần lượt là trung điểm \(SB,\,SC\)
\( \Rightarrow MN\)là đường trung bình trong tam giác
\( \Rightarrow MN//BC\) mà \(BC \subset \left( {ABC} \right)\).
Nên \(MN\,{\rm{//}}(ABC)\)
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)\) bằng?
\[0\].
\[7\].
\[9\].
\[5\].
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 7 = 9\)
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD.\) Gọi \(M,\)\(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\)và \(SC\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Chọn D
Xét tam giác \(\Delta SAC\)có \(M\) và \(N\)lần lượt là trung điểm \(SA,SC\)
\( \Rightarrow MN\)là đường trung bình trong tam giác \(\Delta SAC\)
\( \Rightarrow MN//AC\) mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB\) cắt \(CD\) tại \(E\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(F\), \(S\) là điểm không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là giao điểm của \[EF\] với \(AD\) và \(BC\). Giao tuyến của \(\left( {SEF} \right)\) với \(\left( {SAD} \right)\) là
\(SN\).
\(DN\).
\(SM\).
\(MN\).
Chọn C
Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\), có \(EF \cap AD = \left\{ M \right\}\)nên \(M\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SEF} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)
Mà \(\left( {SEF} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) có S là điểm chung thứ hai.
\( \Rightarrow \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right)\) = \(SM\).
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[A'B'\], \[M\]là trung điểm của\[AB\] . Giao tuyến của \(\left( {AHC'} \right)\) với \(\left( {CA'C'} \right)\) là.
\(C'I\)với \[I\] là giao điểm của \(AH\) và \(A'C\).
\(C'I\)với \[I\] là giao điểm của \(CA\) và \(A'C\).
\(C'I\)với \[I\] là giao điểm của \(C'A\) và \(A'C\).
\(C'I\)với \[I\] là giao điểm của \(MH\) và \(A'C\).
Chọn C
Ta có: \(\left( {AHC'} \right)\) và \(\left( {CA'C'} \right)\) có chung điểm \(C'\).
Xét mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\). Gọi \[I\] là giao điểm của \(C'A\) và \(A'C\)
Giao tuyến của \(\left( {AHC'} \right)\) với \(\left( {CA'C'} \right)\) là \(C'I\).
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[A'B'\], M là trung điểm của \(AB\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(MC//\left( {BB'C'C} \right).\)
\(MC//\left( {ABC} \right).\)
\(MC//\left( {ABB'A'} \right).\)
\(MC//\left( {A'B'C'} \right)\)
Chọn D
Ta có hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] nên \(\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\)
Mà \(MC \subset \left( {ABC} \right)\) Do đó \(MC//\left( {A'B'C'} \right)\).
Công thức nào sau đây đúng?
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = 2\alpha + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn A
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({u_2} = 5.\)
\({u_2} = 6.\)
\({u_2} = 3.\)
\({u_2} = 2.\)
Chọn C
Ta có: \({u_2} = {u_1} + d = 2 + 3 = 5\)
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {40;60} \right)\] là.
\[20\].
\[50\].
\[10\].
\[40\].
Chọn B
Ta có giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {40;60} \right)\] là: \(\frac{{40 + 60}}{2} = 50\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình thang cạnh đáy\[AB\]. Gọi \(d\)là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SCD} \right).\)Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AD\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AB.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BD.\)
Chọn C
Ta có: \[S\]là điểm chung của hai mặt phẳng.
Mặt khác, \[AB\parallel CD\] nên giao giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng qua \(S\)và song song với \(AB.\)
Nghiệm của phương trình \[\tan x = 1\] là:
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn C
Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số hữu hạn
\(\frac{1}{3},\frac{1}{{{3^2}}},\frac{1}{{{3^3}}},\frac{1}{{{3^4}}},\frac{1}{{{3^5}}}....\)
\(5,10,15,20,25....\)
\(2,0,4,6,8,...\)
\(8,15,22,29,36.\)
Chọn D
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại \(x = 1\)?
\[y = \sin x\].
\[y = 5{x^2} - 2x + 6\]
\[y = \frac{{5x + 7}}{{x - 1}}\].
\[y = \tan x\].
Chọn C
Hàm số \[y = \frac{{5x + 7}}{{x - 1}}\]không xác định tại \(x = 1\) nên hàm số gián đoạn tại \(x = 1\)
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BC\]. Trên cạnh \[BD\] lấy điểm \[P\] sao cho \[BP = 2DP\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
\(NP{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {ABD} \right)\).
Chọn D
Xét \[\Delta ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BC\]\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác \[ \Rightarrow MN\parallel AB\]
Mà \[AB \subset \left( {ABD} \right)\] nên \[MN\parallel \left( {ABD} \right)\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?
\(SB\)và \(CD\).
\(AC\)và \[BD\]
\(SD\)và \(BC\).
\(AB\) và \(CD\).
Chọn B
Trong mp\[\left( {ABCD} \right)\], \(AC\)và \[BD\] là hai đường chéo của hình bình hành nên \(AC\)và \[BD\] cắt nhau.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}}\) bằng?
\[1\].
\[0\].
\[2\].
\[3\].
Chọn A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{{1^2} - 2.1 + 3}}{{1 + 1}} = 1\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{} \left( {2n} \right) = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{} \frac{1}{{{n^7}}} = n\)
\(\mathop {\lim }\limits_{} {\left( {\frac{2}{9}} \right)^n} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{} c = {c^2}\).
Chọn C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{} {q^n} = 0,\left| q \right| < 1\)mà \[\left| {\frac{2}{9}} \right| < 1\] nên \(\mathop {\lim }\limits_{} {\left( {\frac{2}{9}} \right)^n} = 0\)
Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\)\(\left( {k > 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\)
\(\lim {q^n} = 0\)\(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\lim {u_n} = c\)(\({u_n} = c\)là hằng số ).
Chọn C
Tìm tập xác định của hàm số:\(y = \tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Điều kiện: \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,,k \in Z\)
Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\,\,\)
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng đầu \[{u_1} = 2\] và công sai \[d = - 5\]. Tính tổng\[\;20\]số hạng đầu của cấp số cộng trên.
Ta có: \[{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\]
\[{S_{20}} = \frac{{20\left[ {2.2 + 19.( - 5)} \right]}}{2} = - 910\]
Tính các giới hạn sau: \(a/I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\), \[b/J = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 3}}{{7{x^2} + x}}\]
a) \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 3) = - 1\).
b) \[J = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 9}}{{7{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{x}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^2}}}}}{{\frac{{7{x^2}}}{{{x^2}}} + \frac{x}{{{x^2}}}}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x} + \frac{9}{{{x^2}}}}}{{7 + \frac{1}{x}}}\]\[ = \frac{1}{7}\]
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\], \[M\] là một điểm trên cạnh \[SC\], \[N\] là điểm trên cạnh \[BC\]. Tìm giao tuyến của hai mặt thẳng \[\left( {SAD} \right)\] và \[\left( {AMN} \right)\].
Ta có: \[A \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {AMN} \right)\](1)
Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[O = AC \cap BD,\,\,J = AN \cap BD\].
Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi \[I = SO \cap AM\]
Trong \[\left( {SBD} \right)\]gọi \[K = IJ \cap SD \Rightarrow K \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {AMN} \right)\]. (2)
Từ (1) và (2) ta có \[AK = \left( {SAD} \right) \cap \left( {AMN} \right)\]
