Bộ 12 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023 - 2024) có đáp án - Đề 9
37 câu hỏi
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
Chọn C
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\,;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = - \infty \). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\).
\( - \infty \).
\(2\).
\(0\).
\( + \infty \).
Chọn C
Cho hàm số 
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + 1} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2}\).
Chọn C
Xét \(x \to {1^ + }\) \((x > 1)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right)\).
Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
\(a\;{\rm{//}}\;\left( \beta \right)\) và \(\left( \beta \right)\;{\rm{//}}\;\left( \alpha \right)\).
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b\;{\rm{//}}\;\left( \alpha \right)\).
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b \subset \left( \alpha \right)\).
\(a\) và \[\left( \alpha \right)\] không có điểm chung.
Chọn D
Nếu \(a\) và \[\left( \alpha \right)\] không có điểm chung thì \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nhóm số liệu rời rạc \[{k_1} - {k_2}\]với \[{k_1},{k_2} \in \mathbb{N},{k_2} = {k_1} + 5\] là nhóm gồm các giá trị nào?
\[{k_1}\] và \[{k_2}\].
\({k_1},{k_1} + 1,...,{k_2}\).
\({k_1} + 1,{k_1} + 2,...,{k_2}\).
\({k_1},{k_1} + 1,...,{k_2} + 1\).
Chọn B
Khảo sát thời gian đọc sách trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {30;60} \right)\] là
\[60\].
\(40\).
\(30\).
\(45\).
Chọn D
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {30;60} \right)\] được tính bằng công thức: \(\frac{{30 + 60}}{2} = 45\).
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại \(x = 1\)?
Chọn D
Xét đồ thị ở câu D ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = m\) (với \(m\) là một số khác 1 và \(m\) âm).
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\).
Vậy đồ thị của câu D có hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
\( - 3; - 1;1;2;4\).
\( - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{5}{2}; - \frac{7}{2}; - \frac{9}{2}\).
\(1;1;1;1;1\).
\( - 8; - 6; - 4; - 2;0\).
Chọn B
Xét dãy: \( - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{5}{2}; - \frac{7}{2}; - \frac{9}{2}\), ta thấy \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^ * }\) (tức là số hạng đứng sau luôn bé hơn số hạng đứng trước) nên dãy số đã cho ở câu B là dãy số giảm.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Chọn D
Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước nên phương án D sai.
Dãy số \[\left( {{F_n}} \right)\] được cho bởi hệ thức truy hồi \[\left\{ \begin{array}{l}{F_1} = 1,\,\,{F_2} = 1\\{F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}\left( {n \ge 3} \right)\end{array} \right.\] được gọi là dãy số Fibonacci. Số hạng thứ 5 của dãy số Fibonacci là:
\[3\].
\[13\].
\[5\].
\[8\].
Chọn C
Với \(n = 5\) ta có \({F_5} = {F_4} + {F_3}\).
Trong đó \({F_3} = {F_2} + {F_1} = 1 + 1 = 2\) và \({F_4} = {F_3} + {F_2} = 2 + 1 = 3\).
Suy ra: \({F_5} = {F_4} + {F_3} = 3 + 2 = 5\).
Điểm kiểm tra giữa học kì I của lớp 11T được thống kê theo bảng sau:
Độ dài các nhóm của mẫu số liệu là
\(2\).
\(1\).
\(6\).
\(4\).
Chọn A
Gọi \(a\) là số ở đầu mút trái, \(b\) là số ở đầu mút phải của các nhóm của mẫu số liệu.
Ta có: \(b - a = 2\) là độ dài của nhóm.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1\)và công sai \(d = 2\). Số hạng tổng quát của dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) là
\[{u_n} = 2n\].
\[{u_n} = n + 2\].
\[{u_n} = 2n - 1\].
\[{u_n} = 2n + 1\].
Chọn C
Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1\).
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
\(2,\,2,\,2,\,2\).
\[a,{a^3},{a^5},{a^7}\] với \[a \ne 0\].
\[{1^2},{2^2},{3^2},{4^2}\].
\(2,\,4,\,8,\,16.\)
Chọn C
Xét câu A, dãy số này là một cấp số nhân với công bội \(q = 1\).
Xét câu B, dãy số này là một cấp số nhân với công bội \(q = {a^2}\) với \(a \ne 0\).
Xét câu D, dãy số này là một cấp số nhân với công bội \(q = 2\).
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\sin x}}.\)
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn C
Hàm số \(y = \frac{{2023}}{{\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Vậy \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.
Hỏi góc lượng giác nào sau đây có số đo là \( - {180^{\rm{o}}}\)?
\(\left( {OA,OB} \right)\).
\(\left( {OA,OB'} \right)\).
\(\left( {OA,OA'} \right)\).
\(\left( {OA,OA} \right)\).
Chọn C
Theo hình vẽ, số đo các góc lượng giác \(\left( {OA,OA'} \right) = 180^\circ + k360^\circ \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Với \(k = - 1\) ta được \(\left( {OA,OA'} \right) = - 180^\circ \).
Dãy số nào dưới đây là dãy số hữu hạn?
Dãy các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn \[100\].
Dãy các số nguyên tố lớn hơn \[11\].
Dãy các số chính phương.
Dãy các số tự nhiên chia hết cho \[3\].
Chọn A
Dãy các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn \[100\] là một dãy hữu hạn, có số hạng đầu là 0 và số hạng cuối là 100.
Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?
\(\frac{1}{6},\,\frac{2}{6},\,\frac{3}{6},\,\frac{4}{6},\,\frac{5}{6}\).
\(2,\,3,\,5,\,7,\,11\).
\( - 2,\,0,\,2,\,4,\,6\).
\(0,\,1,\,2,\,3,\,4\).
Chọn B
Xét câu A, dãy số này là một cấp số cộng với công sai \(d = \frac{1}{6}\).
Xét câu C, dãy số này là một cấp số cộng với công sai \(d = 2\).
Xét câu D, dãy số này là một cấp số cộng với công sai \(d = 1\).
Mệnh đề nào sau đây sai ?
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Chọn B
Xét câu B, hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \).
Trong không gian cho đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[(\alpha )\] song song với nhau. Phát biểu nào sau đây sai?
Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng \[a\] và song song với \[(\alpha )\].
Nếu một mặt phẳng \[(\beta )\]chứa đường thẳng \[a\] và cắt \[(\alpha )\]theo giao tuyến \[b\] thì \[b\] song song với \[a\].
Trong mặt phẳng \[(\alpha )\] có vô số đường thẳng chéo nhau với đường thẳng \[a\].
Trong mặt phẳng \[(\alpha )\]có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng \[a\].
Chọn D
Trong mặt phẳng \[(\alpha )\]có vô số đường thẳng song song với đường thẳng \[a\].
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\)?
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
\(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(y = \frac{x}{{x - 1}}\).
Chọn A
Xét câu A, hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)xác định khi và chỉ khi \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\).
Vậy hàm số này gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).
Cho \({\rm{cos}}\alpha = \frac{2}{5}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi .\) Tìm giá trị lượng giác \({\rm{sin}}\alpha .\)
\(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{21}}{{25}}\).
\( - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Chọn D
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) (thuộc cung IV) nên \(\sin \alpha < 0\).
Vậy \({\rm{sin}}\alpha = - \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành (Xem hình vẽ).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
\(AD\).
\(AC\).
\(DC\).
\(BD\).
Chọn A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAD) \cap (SBC)\\AD//BC\end{array} \right.\)
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\), song song với \(AD\) hoặc \(BC\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,SD\). Mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ON//SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ON//\left( {SBC} \right)\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}OM//SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//\left( {SBC} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}ON \subset \left( {OMN} \right)\\OM \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right.\) nên suy ra \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\).
Giá trị của \(\sin \frac{\pi }{8} \cdot \sin \frac{{3\pi }}{8}\) bằng:
\[\frac{{\sqrt 2 }}{4}\].
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
\[ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
\[ - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\].
Chọn A
Áp dụng công thức \(\sin a.\sin b = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\) với \(a = \frac{\pi }{8}\) và \(b = \frac{{3\pi }}{8}\) ta được:
\(\sin \frac{\pi }{8}.\sin \frac{{3\pi }}{8} = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{8}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{8} - \frac{{3\pi }}{8}} \right)} \right] = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Số học sinh xem ti vi từ \(60\) phút đến dưới \(80\) phút là
\(5\).
\(12\).
\(9\).
\(10\).
Chọn D
Dựa vào bảng trên ta thấy số học sinh thuộc nửa khoảng \(\left[ {60;80} \right)\) là 10.
Cho hình tứ diện ABCD như hình vẽ.
Gọi \[M,N,K\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
MN song song với mặt phẳng \[(ACD)\].
MN song song với mặt phẳng \[(ABC)\].
AD song song với mặt phẳng \[(BCD)\].
AD song song với mặt phẳng \[(MNK)\].
Chọn A
Xét câu A:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\) và \(MN \not\subset \left( {ACD} \right)\) nên \(MN//\left( {ACD} \right)\).
Cho\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho \[4\]. Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là
\({u_n} = n + 4\).
\({u_n} = \frac{n}{4}\).
\({u_n} = 4n\).
\({u_n} = {n^4}\).
Chọn C
Các số nguyên dương chia hết cho 4 là: 4; 8; 12; 16; 20;…
Các số này có dạng \(4n\) với \(n \in {\mathbb{N}^ * }\).
Vậy số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 4n\) với \(n \in {\mathbb{N}^ * }\).
Cho hình tứ diện\[ABCD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB\]và \(CD\)song song.
\[AB\] và \(CD\) cắt nhau.
Tồn tại một mặt phẳng chứa \[AB\]và \(CD\).
\[AB\] và \(CD\)chéo nhau.
Chọn D
Theo hình vẽ thì \[AB\] và \(CD\)chéo nhau.
\[\mathop {\lim \,}\limits_{n \to + \infty } \,{n^2}\] bằng
\(1.\)
\( - \infty .\)
\( + \infty .\)
\(0.\)
Chọn C
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào dưới đây có giới hạn bằng 0 ?
\({u_n} = n.\)
\({u_n} = \frac{1}{n}.\)
\({u_n} = {2^n}.\)
\({u_n} = {n^5} - 1.\)
Chọn B
Xét câu B ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\).
Cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\tan \alpha \ge 0\).
\({\rm{tan}}\alpha < 0\).
\(\tan \alpha = 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
Chọn B
Vì góc lượng giác có số đo \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) (thuộc cung II) nên \(\cos \alpha < 0\) và \(\sin \alpha > 0\).
Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) nên suy ra \(\tan \alpha < 0\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây sai?
\[\left( {ABB'A'} \right){\rm{ // }}\left( {A'B'C'{\rm{ }}D'} \right)\].
\(BD = B'D'\).
\(BB'{\rm{//}}\;CC'\).
\(\left( {ABB'A'} \right){\rm{ // }}\left( {CDD'C'} \right)\).
Chọn A
Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
\[\sin 5x = - 5\].
\[\sin x = \frac{{ - 3}}{2}\].
\[\sin 3x = \frac{{ - 2}}{3}\].
\[\sin x = - 5\].
Chọn C
Phương trình \(\sin \alpha = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\).
Xét câu C ta có: \(\left| { - \frac{2}{3}} \right| = \frac{2}{3} < 1\) nên phương trình này có nghiệm.
Các câu A, B, D đều có \(\left| m \right| > 1\) nên phương trình vô nghiệm.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\), công bội \(q = 2\). Ta có \({u_5}\) bằng:
\(9\).
\(48\).
\(24\)
\(11\).
Chọn B
Ta có \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).
Với \(n = 5\) ta được: \({u_5} = {u_1}.{q^4} = {3.2^4} = 48\).
Cho một hình chóp có đáy là ngũ giác. Số mặt của hình chóp đó là?
\(5\).
\(6\).
\(9\).
\(10\).
Chọn B
Theo hình ta thấy hình chóp có đáy là ngũ giác có 6 mặt.
a) Tìm giới hạn hàm số sau: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{{x^2} - 4}}\].
b) Nhân dịp Tết sắp đến, chuột Mickey quyết định vẽ tranh bằng màu Acrylic đỏ để trang hoàng cho căn nhà của mình. Chuột Mickey lấy một tờ giấy hình tam giác ABC vuông tại A có \(AB = 25\;{\rm{cm}}\), góc B bằng \[{75^{\rm{o}}}\], sau đó từ A vẽ \(A{A_1}\) vuông góc BC, từ \({A_1}\) vẽ A1A2 vuông góc AC, sau đó lại vẽ A2A3 vuông góc BC. Tiếp tục quá trình trên Mickey có được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3…bằng màu Acrylic đỏ. (Xem hình vẽ).
Biết rằng cứ 1cm thì tốn 2ml màu. Tính độ dài đường gấp khúc AA1A2A3… và số ml màu mà Mickey dùng để vẽ.
a) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4x + 1 - {3^2}}}{{\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\]\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to 2} \frac{4}{{\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{6}\].
Cho hình tứ diện SABC. Gọi M là trung điểm AC, G và H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SBC.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SGC) và (SAH).
b) Gọi K là điểm trên đoạn thẳng SM sao cho SM = 4SK. Đường thẳng BM cắt mặt phẳng (KGH) tại I. Tính tỉ số \(\frac{{IB}}{{IM}}\).
Lời giải
a) Xét hai mặt phẳng (SAH) và (SCG):
S là điểm chung thứ nhất.
Gọi N, P lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi O là giao điểm của AP và CN.
Do \(AP \subset \left( {SAH} \right)\) và \(CN \subset \left( {SCG} \right)\) nên suy ra O là điểm chung thứ hai.
Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {SGC} \right)\]và \[\left( {SAH} \right)\]là \(SO\).
b) Xét hai mặt phẳng \[\left( {KGH} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\], có
K là điểm chung;
\(GH\parallel AC\)
Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {KGH} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\] là \[Kx\], với \[Kx\]song song\[AC\].
\[Kx\]cắt \[SA\]tại \[E\], \[EG\]cắt \[AB\]tại \[L\].
Xét hai mặt phẳng \[\left( {KGH} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\], có
L là điểm chung;
\(GH\parallel AC\)
Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]và \[\left( {KGH} \right)\]là Ly, với Ly song song với \[AC\].
\[Ly\]cắt \[BM\]tại\[I\], suy ra I là giao điểm của \[BM\]và mp \[\left( {KGH} \right)\]
Từ \[N\]kẻ đường thẳng song song với \[SA\]cắt \[EL\]tại \[Q\]. Suy ra
\(NQ = \frac{1}{2}ES = \frac{1}{6}EA \Rightarrow \frac{{NQ}}{{EA}} = \frac{1}{6}\).
Xét tam giác \(BAM\) có \(LI\parallel AM\), suy ra\[\frac{{IB}}{{IM}} = \frac{{LB}}{{LA}}\]
Xét tam giác \(LAE\) có \(NQ\parallel AE\), suy ra \[\frac{{LN}}{{LA}} = \frac{{NQ}}{{EA}} = \frac{1}{6}\] nên \[\frac{{LB}}{{IA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{IB}}{{IM}} = \frac{2}{3}\].
