Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Đề số 3)

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\sqrt[{14}]{a} = {a^{\frac{1}{{14}}}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \({3^x} = 1\)\( \Leftrightarrow {3^x} = {3^0} \Leftrightarrow x = 0\).

Đáp án đúng là: A

\(\frac{{{{\log }_3}5.{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}3 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}6}} - {\log _6}b = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _6}a = 2 + {\log _6}b\)\( \Leftrightarrow {\log _6}a = {\log _6}36 + {\log _6}b\)\( \Leftrightarrow {\log _6}a = {\log _6}36b\)\( \Leftrightarrow a = 36b\).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: \(\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 6\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số \(y = \log \left[ {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).

Suy ra \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{{5 + 3}}{{8 - 12}} = - 2\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\). (1)

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\) nên \(MN//AC\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot BD\).

Đáp án đúng là: D

Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\)trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(\Delta ABC,\Delta BCD\) đều nên \(AH \bot BC,DH \bot BC\).

Do đó \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right) = \widehat {AHD}\).

Có \(AH = DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta AHD\) có \(\cos \widehat {AHD} = \frac{{A{H^2} + D{H^2} - A{D^2}}}{{2.AH.DH}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{3{a^2}}}{2}}} = \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(A'D \bot AD'\) và \(A'D \bot C'D'\). Suy ra \(A'D \bot \left( {AD'C'} \right) \Rightarrow A'D \bot AC'\) (1).

Ta có \(A'B \bot AB'\) và \[A'B \bot B'C'\]. Suy ra \(A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AC' \bot \left( {A'BD} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 1 \Rightarrow \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}} \Rightarrow \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{ - 1}}\).

b) \({\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 4x}} > {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{5 - 2x}} \Leftrightarrow {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 4x}} > {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{2x - 5}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x < 2x - 5\).

c) \({x^2} - 4x < 2x - 5 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 5\)

Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên là 2; 3; 4.

d) Tổng các nghiệm nguyên là \(2 + 3 + 4 = 9\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(SA \bot BC\) (do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)) và \(BC \bot AB\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot SB\).

c) Vì \(AB \bot BC,SB \bot BC\) và \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\).

Do đó \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AB,SB} \right) = \widehat {SBA}\).

d) Ta có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: −1

Ta có \({\log _6}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{a}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{a}{{1 + {{\log }_2}5.{{\log }_5}3}} = \frac{a}{{1 + \frac{a}{b}}}\).

Suy ra \(m = 1;n = 1\). Do đó \(S = m - 2n = - 1\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 9

Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

\({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 9\).

Trả lời: 60

Hướng dẫn giải

Ta có \(AD//BC\).

Do đó \(\left( {SA,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right) = \widehat {SAD}\).

Mà tam giác \(SAD\) đều nên \(\widehat {SAD} = 60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,1

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC,SA \bot AD\).

Ta có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).

Có \(\frac{{SC}}{{SD}} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }} \approx 1,1\).

Hướng dẫn giải

\(P = {\log _a}{a^3}{\log _a}b\)\( = 3{\log _a}b\).

Hướng dẫn giải

Lãi suất năm là 8% nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là \(r = 4\% = 0,04\).

Thay \(P = 100;r = 0,04;A = 120\) vào công thức \(A = P{\left( {1 + r} \right)^t}\) ta được:

\(120 = 100{\left( {1 + 0,04} \right)^t} \Rightarrow 1,2 = 1,{04^t} \Rightarrow t = {\log _{1,04}}1,2 \approx 4,65\).

Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức là sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Vì \(\left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABMN} \right) = AB\), \(AD \bot AB,AN \bot AB\) nên \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {ABMN} \right)} \right) = \widehat {DAN}\).

Do đó góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà đó là góc \(\widehat {DAN}\).

Xét \(\Delta DAN\) có \(\cos \widehat {DAN} = \frac{{A{N^2} + A{D^2} - D{N^2}}}{{2.AN.AD}}\)\( = \frac{{{3^2} + {4^2} - {5^2}}}{{2.3.4}} = 0\).

Suy ra \(\widehat {DAN} = 90^\circ \).