Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Đề số 2)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m - n}}\).
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}\).
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}\).
Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\log \left( {ab} \right) = \log a.\log b\).
\(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\).
\(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\).
\(\log \frac{a}{b} = \log b - \log a\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\).
Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = 0,{5^x}\).
\(y = {x^2}\).
\(y = {\log _2}x\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có \(a = 2 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên tập xác định của nó.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều. Góc giữa \(BC\) và \(SA\) là
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(BC//AD\) nên \(\left( {SA,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right) = \widehat {SAD} = 60^\circ \) (do \(\Delta SAD\) đều).
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\). Gọi \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Đường thẳng \(d \bot SO\left( {d\not \subset \left( {ABC} \right)} \right)\). Khi đó
\(d//\left( {ABC} \right)\).
\(d \bot \left( {SBC} \right)\).
\(SO//AC\).
\(SA//OC\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(d \bot SO\) nên \(d//\left( {ABC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai.
\(\left( {SBC} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(SA\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\) mà \(SA \subset \left( {SAB} \right),SA \subset \left( {SAC} \right),SA \subset \left( {SAD} \right)\).
Do đó \(\left( {SAB} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\); \(\left( {SAD} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\); \(\left( {SAC} \right)\, \bot \,\left( {ABCD} \right)\).
Viết biểu thức \(P = \frac{{{a^2}{a^{\frac{5}{2}}}\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^7}}}}}\), (\(a > 0\)) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
\(P = {a^5}\).
\(P = {a^{\frac{{14}}{3}}}\).
\(P = {a^4}\).
\(P = {a^{\frac{{13}}{3}}}\).
Đáp án đúng là: B
\(P = \frac{{{a^2}{a^{\frac{5}{2}}}\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^7}}}}} = \frac{{{a^2}{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}}}}{{{a^{\frac{7}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{35}}{6}}}}}{{{a^{\frac{7}{6}}}}} = {a^{\frac{{14}}{3}}}\).
Mức cường độ âm \(L\) đo bằng decibel (viết tắt là dB, đọc là đề - xi – ben) của âm thanh có cường độ \(I\) (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là \({\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)) được định nghĩa \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\), trong đó \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe). Xác định mức cường độ âm của âm thanh giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I = {10^{ - 3}}{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(90\).
\(130\).
\(110\).
\(150\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\)\( = 10\log \frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} = 10\log {10^9} = 90\) (dB).
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {a^x};y = {b^x};y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(a < b < c\).
\(a < c < b\).
\(b < c < a\).
\(c < a < b\).
Đáp án đúng là: B
Từ đồ thị suy ra \(0 < a < 1;b > 1,c > 1\).</>
Khi \(x > 0\) thì \({b^x} > {c^x} \Rightarrow b > c\).
Vậy \(a < c < b\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) và các cạnh bên bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(SD\). Số đo góc \(\left( {MN,SC} \right)\) bằng
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\).
Vì \(N,E\) lần lượt là trung điểm của \(SD,CD\) nên \(NE//SC\) và \(NE = \frac{1}{2}SC = \frac{a}{2}\).
Do đó \(\left( {MN,SC} \right) = \left( {MN,NE} \right) = \widehat {MNE}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \) mà \(ME = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tương tự \(MN = \frac{a}{2}\).
Vì \(M{E^2} = M{N^2} + N{E^2}\) nên \(\Delta MNE\) vuông tại \(N\). Do đó \(\widehat {MNE} = 90^\circ \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chọn khẳng định sai?
\(\left( {AC,B'D'} \right) = 90^\circ \).
\(\left( {B'D',AA'} \right) = 60^\circ \).
\(\left( {AD,B'C} \right) = 45^\circ \).
\(\left( {A'C',BD} \right) = 90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left( {B'D',AA'} \right) = \left( {B'D',DD'} \right) = 90^\circ \) vì \(DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot B'D'\).
Hai mái nhà trong hình là hai hình chữ nhật, biết \(AB = AC = 2,8{\rm{m}}\), \(BC = 5{\rm{m}}\). Số đo của góc giữa hai mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà đó gần bằng bao nhiêu?
\(125^\circ \).
\(126^\circ 28'\).
\(130^\circ 30'\).
\(150^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Góc giữa hai mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà đó là góc \(\widehat {BAC}\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{2,{8^2} + 2,{8^2} - {5^2}}}{{2.2,8.2,8}} = - \frac{{233}}{{392}} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 126^\circ 28'\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho bất phương trình \({\log _{\frac{e}{3}}}2x < {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {9 - x} \right)\).
a) Điều kiện xác định của bất phương trình \(0 < x < 9\).
b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình \(2x < 9 - x\).
c) Tập nghiệm bất phương trình là \(\left( {3;9} \right)\).
d) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 3.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x > 0\\9 - x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 9\).
b) Ta có \({\log _{\frac{e}{3}}}2x < {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {9 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x > 9 - x\).</>
c) \({\log _{\frac{e}{3}}}2x < {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {9 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x > 9 - x\)\( \Leftrightarrow x > 3\).</>
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {3;9} \right)\).
d) Tập các nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{ {4;5;6;7;8} \right\}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,K\) theo thứ tự là hình chiếu của \(A\) trên các cạnh \(SB,SD\).
a) \(BC \bot SA\).
b) Tam giác \(SCD\) vuông.
c) \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
d) \(HK \bot SC\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Vì
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\left( {{\rm{do}}\;SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD\) hay tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\).
c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA(\;{\rm{do}}\;SA \bot \left( {ABCD} \right))\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\left( {{\rm{do}}\;BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)(1).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot CD\left( {{\rm{do}}\;CD \bot \left( {SAD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot SC\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
d) Vì \(SC \bot \left( {AHK} \right)\) mà \(HK \subset \left( {AHK} \right)\) nên \(HK \bot SC\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 17.
Với \(x > 0\), giả sử \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{m}{n}}}\). Tính \(m + n\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}\). Suy ra \(m = 1;n = 2\). Do đó \(m + n = 3\).
Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1,5
\(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\)\( = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] + 2{\log _{{2^{ - 2}}}}b\)\( = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - {\log _2}b\)\( = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
![Cho log 3 a = 2 và log 2 b = 1 2 . Tính I = 2 log 3 [ log 3 ( 3 a ) ] + log 1 4 b 2 . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1736685235/1736685984-image8.png)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SC \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SB = 2a\). Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(DC\)bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 63,4
Vì \(AB//CD\) nên \(\left( {SA,DC} \right) = \left( {SA,AB} \right) = \widehat {SAB}\).
Vì \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot AB\) mà \(AB \bot BC\) nên \(AB \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB \bot SB\).
Xét tam giác vuông \(SBA\) có \(\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2 \Rightarrow \widehat {SAB} \approx 63,4^\circ \).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(a \ne 1\) và \({\log _a}b = 2\). Tính giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{{{{\log }_a}\left( {a{b^2}} \right)}}{{{{\log }_a}{a^2}}}\)\( = \frac{{{{\log }_a}a + {{\log }_a}{b^2}}}{2}\)\( = \frac{{1 + 2{{\log }_a}b}}{2}\)\( = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\).
Dân số thế giới được tính theo công thức \(S = A.{e^{n.r}}\) trong đó \(A\) là dân số của năm lấy làm mốc tính, \(S\) là dân số sau \(n\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47% một năm. Như vậy nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?
Hướng dẫn giải
Ta có \(S = A.{e^{nr}} \Leftrightarrow {e^{nr}} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln \frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln \frac{S}{A}\).
Với S = 93713000 người; \(A = 80902400\) người; \(r = \frac{{1,47}}{{100}} = 0,0147/\)năm.
Suy ra \(n = \frac{1}{{0,0147}}\ln \frac{{93713000}}{{80902400}} \approx 10\).
Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.
Bạn Sơn mua một mô hình kim tự tháp Ai Cập thu nhỏ để tặng sinh nhật bạn. Mô hình này có đáy là hình vuông, cạnh đáy bằng 10 cm, cạnh bên bằng nhau và có độ dài 10 cm. Bạn Sơn muốn cho mô hình này vào một hộp quà hình hộp chữ nhật. Em hãy giúp bạn Sơn chọn hộp quà có chiều cao tối thiểu bao nhiêu để cho vừa kim tự tháp trên.
Hướng dẫn giải
Giả sử mô hình kim tự tháp Ai Cập được mô tả như hình chóp đều \(S.ABCD\).
Có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Có \(OB = \frac{{BD}}{2} = 5\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SOB\) vuông tại \(O\), có
\(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \approx 7,1\) cm.
Vậy hộp quà có chiều cao tối thiểu bằng chiều cao của kim tự tháp là khoảng 7,1 cm.
