Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (Đề số 5)
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng)
Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\(\left[ {7;9} \right)\).
\(\left[ {9;11} \right)\).
\(\left[ {11;13} \right)\).
\(\left[ {13;15} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[n = 2 + 7 + 7 + 3 + 1 = 20\]\( \Rightarrow \frac{n}{2} = \frac{{20}}{2} = 10\).
Suy ra nhóm \(\left[ {9;11} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.
Do đó trung vị của mẫu số liệu thuộc khoảng \(\left[ {9;11} \right)\).
Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số tự nhiên, hai thẻ khác nhau thì ghi các số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.
Biến cố A hợp B được phát biểu như sau:
Số xuất hiện trên thẻ là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4.
Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4.
Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 12.
Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 7.
Đáp án đúng là: B
A B: “Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4”.
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).
\(P = \sqrt x \).
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}\).
\(P = {x^{\frac{1}{9}}}\).
\(P = {x^2}\).
Đáp án đúng là: A
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
Với \(a,b,x\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(x = 3a + 5b\).
\(x = 5a + 3b\).
\(x = {a^5} + {b^3}\).
\(x = {a^5}{b^3}\).
Đáp án đúng là: D
\({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^3} = {\log _2}{a^5}{b^3} \Rightarrow x = {a^5}{b^3}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
\(y = {x^2}\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {x^\pi }\).
\(y = \sqrt x \).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {2^x}\) là hàm số mũ.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng cùng vuông góc gới một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
Đáp án đúng là: A
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Trong không gian mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( P \right)\).
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\).
Tồn tại duy nhất một đường thẳng \(\Delta \) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) vuông góc với \(d\).
Đáp án đúng là: C
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\).
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không vuông góc với nhau. Gọi \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giả sử \(b\) là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b \bot a'\).
Khi đó
Đường thẳng \(a\) luôn luôn chéo \(b\).
Đường thẳng \(a\) luôn luôn cắt \(b\).
\(a//b\).
\(a \bot b\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định lí 3 đường vuông góc suy ra \(a \bot b\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Các góc phẳng nhị diện của một góc nhị diện có số đo phụ thuộc vào vị trí của đỉnh góc.
Số đo góc nhị diện không vượt quá \(90^\circ \).
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của góc nhị diện, hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Góc nhị diện chính là góc giữa hai mặt phẳng.
Đáp án đúng là: C
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của góc nhị diện, hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc. Biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{2}\). Tính \(P\left( B \right)\).
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{3}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}\) bằng
\({6^{ - \sqrt 5 }}\).
\(18\).
\(1\).
\(9\).
Đáp án đúng là: B
\(A = \frac{{{{\left( {2.3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}\)\( = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }}{{.3}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}\)\( = {2.3^2} = 18\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) tâm \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3},OB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) có số đo bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
![Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình thoi cạnh a tâm O , S O ⊥ ( A B C D ) , S O = a √ 6 3 , O B = a √ 3 3 . Góc phẳng nhị diện [ A , B C , S ] có số đo bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1736659257/1736660007-image3.png)
Hạ \(OH \bot BC\) mà \(SO \bot BC\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).
Do đó \(\left[ {A,BC,S} \right] = \widehat {SHO}\).
Có \(OC = \sqrt {B{C^2} - O{B^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Xét \(\Delta BOC\) có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{9}{{3{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Xét \(\Delta SOH\) có \(\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}:\frac{3}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 60^\circ \).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên trong một công ty như sau:
a) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {9;12} \right)\) là 10,5.
b) Trung bình lương các nhân viên là 16,5 triệu đồng.
c) Nhóm chứa trung vị là \(\left[ {15;18} \right)\).
d) Tứ phân vị thứ ba là 15,56.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {9;12} \right)\) là \(\frac{{9 + 12}}{2} = 10,5\).
b) Bảng mẫu số liệu có giá trị đại diện là
Lương (triệu đồng) | \(\left[ {9;12} \right)\) | \(\left[ {12;15} \right)\) | \(\left[ {15;18} \right)\) | \(\left[ {18;21} \right)\) | \(\left[ {21;24} \right)\) |
Giá trị đại diện | 10,5 | 13,5 | 16,5 | 19,5 | 22,5 |
Số nhân viên | 6 | 12 | 4 | 2 | 1 |
Tổng số nhân viên là \(n = 6 + 12 + 4 + 2 + 1 = 25\).
Trung bình lương các nhân viên là \(\frac{{6.10,5 + 12.13,5 + 4.16,5 + 2.19,5 + 1.22,5}}{{25}} = 14,1\).
c) Có \(\frac{n}{2} = \frac{{25}}{2} = 12,5\).
Nhóm \(\left[ {12;15} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 12,5.
Do đó nhóm \(\left[ {12;15} \right)\) là nhóm chứa trung vị.
d) Có \(\frac{{3n}}{4} = 18,75\).
Nhóm \(\left[ {15;18} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 18,75.
Do đó nhóm \(\left[ {15;18} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ ba.
Ta có \({Q_3} = 15 + \frac{{18,75 - 18}}{4}.3 \approx 15,56\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Gọi \(H,K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các cạnh \(SB,SC\). Khi đó:
a) \(SA \bot BC\).
b) Tam giác \(SBC\) cân tại \(B\).
c) \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
d) Giả sử \(HK\) cắt \(BC\) tại \(D\). Khi đó \(\left( {AC,AD} \right) = 90^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
b) Ta có \(BC \bot AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)) và \(BC \bot SA\)
Suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SB\). Do đó \(\Delta SBC\) vuông tại \(B\).
c) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
d) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AH \bot SC\).
Mà \(AK \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
Lại có \(AD \subset \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot AD\)(1).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AD\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(AD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AD \bot AC \Rightarrow \left( {AD,AC} \right) = 90^\circ \).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Anh Toàn được tuyển dụng vào một công ty đầu năm 2013. Công ty trả lương cho anh theo nguyên tắc. Lương khởi điểm anh nhận là 6 triệu đồng/tháng và cứ sau 3 năm công ty lại tăng lương cho anh thêm 25% số lương đang hưởng. Hiện nay (năm 2024) anh đang được hưởng lương là bao nhiêu triệu đồng một tháng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 11,7
Số tiền anh Toàn nhận được sau \(n\) lần tăng lương là \({S_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\) trong đó:
\(A\) là số tiền lương tháng đầu tiên người đó nhận được
\(r\) là số % lương người đó được tăng
\(n\) là kì hạn người đó được tăng lương.
Từ năm 2013 đến năm 2024 anh Toàn được 3 lần tăng lương.
Do đó số tiền anh nhận được ở năm 2024 là \(6{\left( {1 + 25\% } \right)^3} \approx 11,7\) triệu đồng.
Cho \(a\) là số thực dương \(a \ne 1\). Tính \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 9
Ta có \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3} = \frac{{\log {a^3}}}{{\log \sqrt[3]{a}}} = \frac{{3\log a}}{{\frac{1}{3}\log a}} = 9\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, tam giác \(SAD\) là tam giác đều. Góc giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(SA\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 60
Vì \(BC//AD\) nên \(\left( {SA,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right) = \widehat {SAD} = 60^\circ \) (do \(\Delta SAD\) đều).
Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có độ dài cạnh đáy khoảng 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m. Gọi \(\varphi \) là số đo của góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. Tính \(\tan \varphi \) (tính chính xác đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1,28
Giả sử kim tự tháp có dạng hình chóp \(S.ABCD\) như hình vẽ
Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Khi đó \(OH \bot CD,SH \bot CD\).
Do đó góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là góc \(\widehat {SHO}\).
Vì \(\Delta SCD\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot CD\).
Có \(SH = \sqrt {S{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{115}^2}} \approx 186,4\).
Có \(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {186,{4^2} - {{115}^2}} \approx 146,7\).
Xét \(\Delta SOH\) có \(\tan \varphi = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{146,7}}{{115}} \approx 1,28\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Rút gọn biểu thức \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\) với \(x > 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( = {\log _3}\frac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}}\)\( = {\log _3}\frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = {\log _3}x\).
Lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mở rộng ra từ một đám mây dông xuống tới mặt đất. Các cơn lốc xoáy thường có sức tàn phá rất lớn. Tốc độ của gió (đơn vị: dặm/giờ) gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức \(S = k.\log d + 65\) (Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage) trong đó \(d\)(đơn vị: dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy di chuyển được. Biết tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là 10 dặm là 158 (dặm/giờ). Hãy tính tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là 12 dặm.
Hướng dẫn giải
Theo đề \(d = 10\) thì \(S = 158\). Do đó \(158 = k.\log 10 + 65\)\( \Leftrightarrow k = 93\).
Khi đó \(S = 93.\log d + 65\).
Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là 12 dặm là
\(S = 93.\log 12 + 65 \approx 165\)(dặm/giờ).
Một lô hàng có 20 sản phẩm giống nhau trong đó có 4 sản phẩm không đạt chất lượng còn lại là sản phẩm đạt chất lượng tốt. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để lấy ra được ít nhất một sản phẩm tốt.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn được 2 sản phẩm không đạt chất lượng là: \(C_4^2 = 6\) (cách).
Xác suất để chọn được 2 sản phẩm không đạt chất lượng là \(\frac{6}{{C_{20}^2}} = \frac{3}{{95}}\).
Suy ra xác suất để chọn được ít nhất một sản phẩm tốt là: \(1 - \frac{3}{{95}} = \frac{{92}}{{95}}\).
