Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (Đề số 3)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối 11 của một trường như sau:
Số học sinh nữ cao từ 150 cm đến 155 cm là
\(20\).
\(65\).
\(34\).
\(45\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào mẫu số liệu ta thấy số học sinh nữ cao từ 150 cm đến 155 cm là 45.
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4”, \(B\) là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4”. Tập hợp mô tả biến cố \(AB\) là
\(\left\{ {\left( {2;2} \right)} \right\}\).
\(\left\{ {\left( {1;3} \right),\left( {3;1} \right),\left( {2;2} \right)} \right\}\).
\(\left\{ {\left( {1;3} \right),\left( {3;1} \right)} \right\}\).
\(\left\{ {\left( {3;1} \right),\left( {2;2} \right)} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB = \left\{ {\left( {2;2} \right)} \right\}\).
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \(\sqrt[{14}]{a}\) bằng
\({a^{\frac{1}{{14}}}}\).
\({a^{\sqrt {14} }}\).
\({a^{14}}\).
\(\sqrt {{a^{14}}} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\sqrt[{14}]{a} = {a^{\frac{1}{{14}}}}\).
Cho \(a,b\) là các số thực dương tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b\).
\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Với hai số thực dương \(a,b\) tùy ý và \(\frac{{{{\log }_3}5.{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
\(a = 36b\).
\(a = b{\log _6}3\).
\(2a + 3b = 0\).
\(a = b{\log _6}2\).
Đáp án đúng là: A
\(\frac{{{{\log }_3}5.{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}3 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}6}} - {\log _6}b = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _6}a = 2 + {\log _6}b\)\( \Leftrightarrow {\log _6}a = {\log _6}36 + {\log _6}b\)\( \Leftrightarrow {\log _6}a = {\log _6}36b\)\( \Leftrightarrow a = 36b\).
Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số \(y = \log \left[ {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]\)?
\(7\).
\(8\).
Vô số.
\(9\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: \(\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 6\).
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số \(y = \log \left[ {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]\).
Cho \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\). Biểu thức \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\) có giá trị bằng
\(P = \frac{3}{2}\).
\(P = - \frac{5}{2}\).
\(P = 2\).
\(P = - 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).
Suy ra \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{{5 + 3}}{{8 - 12}} = - 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(MN \bot BD\).
\(MN \bot SD\).
\(MN \bot SA\).
\(MN \bot SB\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\). (1)
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\) nên \(MN//AC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot BD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
Hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là
\(SB\).
\(BC\).
\(AB\).
\(AC\).
Đáp án đúng là: D
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\)trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập. Biết \(P\left( A \right) = 0,4\) và \(P\left( B \right) = 0,5\). Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là:
\(0,9\).
\(0,7\).
\(0,5\).
\(0,2\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,5 = 0,2\).
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7\).
Hai mái nhà trong hình là hai hình chữ nhật, biết \(AB = AC = 2,8{\rm{m}}\), \(BC = 5{\rm{m}}\). Số đo góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà đó bằng bao nhiêu?
\(125^\circ \).
\(126^\circ 28'\).
\(130^\circ 30'\).
\(150^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà đó là góc \(\widehat {BAC}\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{2,{8^2} + 2,{8^2} - {5^2}}}{{2.2,8.2,8}} = - \frac{{233}}{{392}} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 126^\circ 28'\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 12 đến câu 13. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x,y = {\log _c}x\) được cho trong hình vẽ bên
a) Hàm số \(y = {\log _c}x\) là hàm nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\).
c) Hàm số \(y = {\log _a}x\) có cơ số \(a > 1\).
d) \(c < a < b\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Dựa vào đồ thị hàm số \(y = {\log _c}x\) ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) là hàm nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\).
c) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến nên \(a > 1\).
d) Hàm số \(y = {\log _c}x\) là hàm nghịch biến nên \(0 < c < 1\).
Hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\) đồng biến nên \(a > 1,b > 1\).
Với \(x > 1\) thì \({\log _a}x > {\log _b}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).
Do đó \(c < a < b\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) và \(SA = SC,SB = SD\).
a) \(SO \bot AC\).
b) \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
c) \(AC \bot \left( {SBD} \right)\).
d) \(\left( {AC,SB} \right) = 60^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Tam giác \(SAC\) có \(SA = SC\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(S\).
Vì \(\Delta SAC\) cân tại \(S\) nên \(SO \bot AC\).
b) Ta có \(SO \bot AC\). Tương tự \(SO \bot BD\). Suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
c) Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) mà \(AC \bot SO\) nên \(AC \bot \left( {SBD} \right)\).
d) Vì \(AC \bot \left( {SBD} \right)\)nên \(AC \bot SB\). Suy ra \(\left( {AC,SB} \right) = 90^\circ \).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 14 đến câu 17.
Cho \(a = {\log _2}5,b = {\log _3}5\). Biểu diễn \({\log _6}5\) theo \(a\) và \(b\) ta thu được kết quả dạng \(\frac{a}{{m + \frac{{n.a}}{b}}}\) với \(m;n\) là các số tự nhiên. Tính giá trị \(S = m - 2n\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: −1
Ta có \({\log _6}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{a}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{a}{{1 + {{\log }_2}5.{{\log }_5}3}} = \frac{a}{{1 + \frac{a}{b}}}\).
Suy ra \(m = 1;n = 1\). Do đó \(S = m - 2n = - 1\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Số đo góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng bao nhiêu độ?
Trả lời: 60
Ta có \(AD//BC\).
Do đó \(\left( {SA,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right) = \widehat {SAD}\).
Mà tam giác \(SAD\) đều nên \(\widehat {SAD} = 60^\circ \).
Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tìm giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {20;40} \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 30
Giá trị đại diện của nhóm là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Tính xác suất biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,63
Xác suất để lần thứ 1 lấy được viên bi xanh và lần thứ 2 cũng lấy được viên bi xanh là:
\({P_1} = \frac{5}{8}.\frac{4}{7} = \frac{5}{{14}}\).
Xác suất để lần thứ 1 lấy được viên bi đỏ và lần thứ 2 cũng lấy được viên bi xanh là:
\({P_1} = \frac{3}{8}.\frac{5}{7} = \frac{{15}}{{56}}\).
Do đó xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi xanh là: \(P = {P_1} + {P_2} = \frac{5}{{14}} + \frac{{15}}{{56}} = \frac{5}{8} \approx 0,63\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho \(a > 0,b > 0,a \ne 1\). Rút gọn \(P = {\log _a}{a^3}{\log _a}b\).
Hướng dẫn giải
\(P = {\log _a}{a^3}{\log _a}b\)\( = 3{\log _a}b\).
Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9, hai tấm thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ từ hộp. Xét các biến cố sau A: “Cả hai tấm thẻ đều đánh số chẵn”, B: “Chỉ có một tấm thẻ đánh số chẵn”, C: “Tích hai số đánh trên hai tấm thẻ là một số chẵn”. Tính xác suất để biến cố \(C\) xảy ra (làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Biến cố A: “Cả hai tấm thẻ đều đánh số chẵn” nên ta có \(n\left( A \right) = C_4^2\).
Biến cố B: “Chỉ có một tấm thẻ đánh số chẵn” nên ta có \(n\left( B \right) = C_5^1.C_4^1\).
Biến cố C: “Tích hai số đánh trên hai tấm thẻ là một số chẵn” nên ta có \(n\left( C \right) = C_4^2 + C_5^1.C_4^1\).
Ta có \(P\left( C \right) = \frac{{C_4^2 + C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} = \frac{{13}}{{18}} \approx 0,72\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \). Tính góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\). (đơn vị đo góc là độ, làm tròn đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải
Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot SO\).
Lại có \(CO \bot BD\), suy ra \(\widehat {SOC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\).
Có \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta SAC\) có \(SC = \frac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\cos 60^\circ }} = 2a\sqrt 2 \), \(SA = AC\tan \widehat {SCA} = a\sqrt 2 .\tan 60^\circ = a\sqrt 6 \).
Xét \(\Delta SAO\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {6{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {26} }}{2}\).
Xét \(\Delta SOC\) có \(\cos \widehat {SOC} = \frac{{S{O^2} + O{C^2} - S{C^2}}}{{2.SO.OC}} = \frac{{\frac{{{a^2}.26}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4} - 8{a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt {26} }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {13} }}\)\( \Rightarrow \widehat {SOC} \approx 106^\circ \).
