Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (Đề số 2)
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:
Nhóm chứa mốt là nhóm nào.
\(\left[ {150;155} \right)\).
\(\left[ {155;160} \right)\).
\(\left[ {165;170} \right)\).
\(\left[ {170;175} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\). Do đó nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\).
Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m - n}}\).
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}\).
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}\).
Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\log \left( {ab} \right) = \log a.\log b\).
\(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\).
\(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\).
\(\log \frac{a}{b} = \log b - \log a\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\).
Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = 0,{5^x}\).
\(y = {x^2}\).
\(y = {\log _2}x\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có \(a = 2 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên tập xác định của nó.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều. Góc giữa \(BC\) và \(SA\) là
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(BC//AD\) nên \(\left( {SA,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right) = \widehat {SAD} = 60^\circ \) (do \(\Delta SAD\) đều).
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\). Gọi \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Đường thẳng \(d \bot SO\left( {d\not \subset \left( {ABC} \right)} \right)\). Khi đó
\(d//\left( {ABC} \right)\).
\(d \bot \left( {SBC} \right)\).
\(SO//AC\).
\(SA//OC\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(d \bot SO\) nên \(d//\left( {ABC} \right)\).
Một chiếc máy có hai chiếc động cơ I và II chạy độc lập nhau. Xác suất để động cơ I và II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Xác suất để cả hai động cơ chạy tốt là
\(0,24\).
\(0,94\).
\(0,14\).
\(0,56\).
Đáp án đúng là: D
Xác suất để cả hai động cơ chạy tốt là: \(P = 0,8.0,7 = 0,56\).
Viết biểu thức \(P = \frac{{{a^2}{a^{\frac{5}{2}}}\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^7}}}}}\), (\(a > 0\)) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
\(P = {a^5}\).
\(P = {a^{\frac{{14}}{3}}}\).
\(P = {a^4}\).
\(P = {a^{\frac{{13}}{3}}}\).
Đáp án đúng là: B
\(P = \frac{{{a^2}{a^{\frac{5}{2}}}\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^7}}}}} = \frac{{{a^2}{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}}}}{{{a^{\frac{7}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{35}}{6}}}}}{{{a^{\frac{7}{6}}}}} = {a^{\frac{{14}}{3}}}\).
Mức cường độ âm \(L\) đo bằng decibel (viết tắt là dB, đọc là đề - xi – ben) của âm thanh có cường độ \(I\) (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là \({\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)) được định nghĩa \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\), trong đó \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe). Xác định mức cường độ âm của âm thanh giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I = {10^{ - 3}}{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(90\).
\(130\).
\(110\).
\(150\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\)\( = 10\log \frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} = 10\log {10^9} = 90\) (dB).
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {a^x};y = {b^x};y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(a < b < c\).
\(a < c < b\).
\(b < c < a\).
\(c < a < b\).
Đáp án đúng là: B
Từ đồ thị suy ra \(0 < a < 1;b > 1,c > 1\).</>
Khi \(x > 0\) thì \({b^x} > {c^x} \Rightarrow b > c\).
Vậy \(a < c < b\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) và các cạnh bên bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(SD\). Số đo góc \(\left( {MN,SC} \right)\) bằng
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\).
Vì \(N,E\) lần lượt là trung điểm của \(SD,CD\) nên \(NE//SC\) và \(NE = \frac{1}{2}SC = \frac{a}{2}\).
Do đó \(\left( {MN,SC} \right) = \left( {MN,NE} \right) = \widehat {MNE}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \) mà \(ME = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tương tự \(MN = \frac{a}{2}\).
Vì \(M{E^2} = M{N^2} + N{E^2}\) nên \(\Delta MNE\) vuông tại \(N\). Do đó \(\widehat {MNE} = 90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\), có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Biết cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (tham khảo hình vẽ).
Số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) bằng
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(AM \bot BC\) mà \(SA \bot BC\) (do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Do đó \(\left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SMA}\).
Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) mà \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên tam giác \(SAM\)vuông cân tại \(A\).
Suy ra \(\widehat {SMA} = 45^\circ \).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(0 < a \ne 1\) và xét biểu thức \(M = a\sqrt[3]{a}\).
a) \(M = {a^{\frac{4}{3}}}\).
b) \({\log _a}M = 3\).
c) \(M > 1\) khi \(a > 1\).
d) \({M^{{{\log }_a}8}} = 16\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(M = a\sqrt[3]{a} = a.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{4}{3}}}\).
b) \({\log _a}M = {\log _a}{a^{\frac{4}{3}}} = \frac{4}{3}\).
c) Để \(M > 1\)\( \Leftrightarrow {a^{\frac{4}{3}}} > 1\) thì \(a > 1\).
d) \[{M^{{{\log }_a}8}} = {a^{\frac{4}{3}{{\log }_a}8}} = {8^{\frac{4}{3}}} = 16\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,K\) theo thứ tự là hình chiếu của \(A\) trên các cạnh \(SB,SD\).
a) \(BC \bot SA\).
b) Tam giác \(SCD\) vuông.
c) \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
d) \(HK \bot SC\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Vì
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\left( {{\rm{do}}\;SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD\) hay tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\).
c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA(\;{\rm{do}}\;SA \bot \left( {ABCD} \right))\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\left( {{\rm{do}}\;BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)(1).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot CD\left( {{\rm{do}}\;CD \bot \left( {SAD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot SC\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
d) Vì \(SC \bot \left( {AHK} \right)\) mà \(HK \subset \left( {AHK} \right)\) nên \(HK \bot SC\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Với \(x > 0\), giả sử \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{m}{n}}}\). Tính \(m + n\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}\). Suy ra \(m = 1;n = 2\). Do đó \(m + n = 3\).
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 71
Ta có \(n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\).
Ta có \(\frac{{3.n}}{4} = \frac{{3.42}}{4} = 31,5\). Suy ra nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 31,5.
Ta có tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 60 + \frac{{31,5 - 26}}{{10}}.20 = 71\).
Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1,5
\(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\)\( = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] + 2{\log _{{2^{ - 2}}}}b\)\( = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - {\log _2}b\)\( = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SC \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SB = 2a\). Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(DC\)bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 63,4
Vì \(AB//CD\) nên \(\left( {SA,DC} \right) = \left( {SA,AB} \right) = \widehat {SAB}\).
Vì \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot AB\) mà \(AB \bot BC\) nên \(AB \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB \bot SB\).
Xét tam giác vuông \(SBA\) có \(\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2 \Rightarrow \widehat {SAB} \approx 63,4^\circ \).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(a \ne 1\) và \({\log _a}b = 2\). Tính giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{{{{\log }_a}\left( {a{b^2}} \right)}}{{{{\log }_a}{a^2}}}\)\( = \frac{{{{\log }_a}a + {{\log }_a}{b^2}}}{2}\)\( = \frac{{1 + 2{{\log }_a}b}}{2}\)\( = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\).
Một hộp có 10 quả bóng bàn trong đó có 6 quả mới. Người ta lấy ra ngẫu nhiên 5 quả để thi đấu. Tính xác suất của biến cố lấy được ít nhất 2 quả bóng mới.
Hướng dẫn giải
Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được 1 quả bóng mới”.
Xác suất để lấy được 1 quả bóng mới là: \(P\left( A \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_{10}^5}} = \frac{1}{{42}}\).
Do đó xác suất của biến cố lấy được ít nhất 2 quả bóng mới là: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{42}} = \frac{{41}}{{42}}\).
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính cosin góc giữa \(AC\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) suy ra \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Hạ \(AH \bot SO\) (1).
Ta có \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SA\) suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\). Do đó \(BD \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBD} \right)\). Suy ra \(\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AC,SO} \right) = \widehat {SOA}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Suy ra \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAB\) có \(SA = AB.\tan \widehat B = 2a.\tan 60^\circ = 2a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SAO\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt {14} \).
Suy ra \(\cos \widehat {SOA} = \frac{{AO}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\).
