Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
20 câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 1}}\;{\rm{khi}}\;x \ge 2\\{x^2} + 1\;{\rm{khi}}\;x < 2\end{array} \right.\). Khi đó, \(f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right)\) bằng
7.
\(4\).
\(\frac{8}{3}\).
\( - 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 1}}\;{\rm{khi}}\;x \ge 2\\{x^2} + 1\;{\rm{khi}Đáp án đúng là: A
Có \(f\left( 2 \right) = \frac{2}{{2 - 1}} = 2;f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 5\).
Do đó \(f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = 7\).
Cho hàm số \(y = - 3{x^2} - 4x + 3\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Trục đối xứng của \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình là
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = - \frac{4}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Trục đối xứng của \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình là \(x = - \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 3} \right)}} = - \frac{2}{3}\).
Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),\Delta < 0\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(a \le 0\).
\(a < 0\).
\(a > 0\).
\(a \ge 0\).
Đáp án đúng là: C
Để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt {3 - x} \) là
\(x = \frac{3}{4}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Thay các nghiệm \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = \frac{4}{3}\) là nghiệm.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;7} \right)\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là:
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 3;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)\).
Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;4} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Đáp án đúng là: B
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0\) là
\(R = 36\).
\(R = 6\).
\(R = 14\).
\(R = \sqrt {14} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 36\).
Suy ra bán kính của đường tròn là \(R = 6\).
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của \(\left( E \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\({c^2} = 12\).
\({c^2} = 16\).
\({c^2} = 20\).
\({c^2} = 4\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^2} = 16;{b^2} = 4\). Khi đó \(2c = 2\sqrt {16 - 4} = 4\sqrt 3 \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \Rightarrow {c^2} = 12\).
Cho hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là parabol như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập số thực là
\( - 4\).
\(1\).
\( - 3\).
\( - 1\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4 khi \(x = - 1\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({x^2} - 3x + 2 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < x < 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;2} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm cosin góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0\), \({d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{5}\).
\( - \frac{3}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) là
\(\left( {5;2} \right)\).
\(\left( { - 1;7} \right)\).
\(\left( {2;5} \right)\).
\(\left( {10;25} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2x + 3y - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\\t = - 10\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) là \(\left( {2;5} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\)b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số bậc hai \(\left( P \right):y = 2{x^2} + x - 3\).
a) Điểm \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( P \right)\).
b) Đồ thị hàm số bậc hai \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh là \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng .
d) Có 5 giá trị nguyên dương \(m \in \left[ { - 3;10} \right)\) để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Thay \(x = 0;y = 3\) vào phương trình của hàm số \(\left( P \right)\) ta thấy không thỏa mãn.
b) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:
Vậy tọa độ đỉnh của hàm số bậc hai là \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).
c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\):
\(2{x^2} + x - 3 = - \left( {m + 1} \right)x - m - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\) (*).
Để phương trình \(\left( * \right)\)có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung thì ta có điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 12 > 0\\\frac{{m - 1}}{2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 1\).
Mà \(m \in \left[ { - 3;10} \right),m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\).
Vậy có 8 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài.
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 7 = 0\). Khi đó
a) \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
b) Đường kính của đường tròn có độ dài bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
c) Phương trình đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\).
d) Đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ lớn hơn 0.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
b) Đường kính của đường tròn bằng \(2d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
c) Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\).
d) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x - 2y + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} - 28y + \frac{{196}}{5} = 0\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{14}}{5}\\x = - \frac{7}{5}\end{array} \right.\).
Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0\).
Trả lời: 11
Điều kiện \(x \ge 4\).
Ta có \(\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = 1\;\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + 6 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
+) Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được \(x - 4 = 1\)\( \Leftrightarrow x = 5\).
Thay \(x = 5\) vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.
+) Giải (2).
Ta có \({x^2} - 7x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 6\) hoặc \(x = 1\).
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {5;6} \right\}\).
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 11.
Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) có đường chuẩn \(\Delta \) song song và cách đường thẳng \(d:x = 2\) một khoảng bằng 5. Khi đó giá trị của p bằng bao nhiêu?
Trả lời: 6
Phương trình đường chuẩn có dạng \(x = - \frac{p}{2}\left( {p \ne - 4} \right)\).
Vì khoảng cách giữa đường chuẩn \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x = 2\) bằng 5 nên \(d\left( {M,d} \right) = 5\) với \(M\left( { - \frac{p}{2};0} \right) \in \Delta \).
Ta có \(\frac{{\left| { - \frac{p}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| { - \frac{p}{2} - 2} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{p}{2} - 2 = 5\\ - \frac{p}{2} - 2 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = - 14\\p = 6\end{array} \right.\).
Vì \(p > 0\) nên \(p = 6\).
Lợi nhuận một tháng \(p\left( x \right)\) của một quán ăn phụ thuộc vào giá trị trung bình \(x\) của các món ăn theo công thức \(p\left( x \right) = - 30{x^2} + 2100x - 15000\), với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán thấp nhất là bao nhiêu nghìn đồng.
Trả lời: 20
Theo đề ta có \(p\left( x \right) = - 30{x^2} + 2100x - 15000 \ge 15000\)\( \Leftrightarrow - 30{x^2} + 2100x - 30000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 20 \le x \le 50\).
Vậy để thu được lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng thì giá bán thấp nhất là 20 nghìn đồng.
Chuyển động của vật thể\(M\) được thể hiện trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vật thể \(M\) khởi hành từ điểm \(A\left( {5;3} \right)\) và chuyển động thẳng đều với vận tốc là \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\). Hỏi khi vật thể \(M\)chuyển động được 5 giây thì vật thể \(M\) chuyển động được quãng đường dài bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời: 11,2
Vật thể \(M\) chuyển động trên một đường thẳng. Đường thẳng đó đi qua \(A\left( {5;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Khi vật thể \(M\) chuyển động được 5 giây thì vật ở vị trí \(B\) có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5 = 10\\y = 3 + 2.5 = 13\end{array} \right.\).
Quãng đường vật thể \(M\) đi được là \(AB = \sqrt {{{\left( {10 - 5} \right)}^2} + {{\left( {13 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 5 \approx 11,2\)
Biểu đồ dưới đây cho biết số người bị nhiễm Covid-19 của một tỉnh trong một tháng của năm 2021.
a) Số người bị nhiễm Covid-19 trong mỗi tháng tương ứng có là một hàm số không?
b) Gọi \(y\) là số người bị nhiễm Covid-19 theo tháng, \(x\) là tháng tương ứng (\(x,y\) nguyên dương). Hàm số theo biểu đồ trên có dạng \(y = f\left( x \right)\). Tìm tập giá trị của hàm số.
c) Tính \(f\left( 1 \right)\).
a) Ứng với mỗi tháng trong năm, ta chỉ có đúng một số lượng người nhiễm Covid-19 trong tỉnh đó. Vậy mối liên hệ này chính là một hàm số.
b) Tập giá trị của hàm số là \(T = \left\{ {10;32;35;42;57;58;60;77;78;90} \right\}\).
c) Ta có \(f\left( 1 \right) = 10\).
Một doanh nghiệp tư nhân \(A\) chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future với chi phí mua vào một chiếc xe là 27 triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong 1 năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất (đơn vị triệu đồng).
Gọi \(x\)là số tiền mà doanh nghiệp \(A\) dự định giảm giá (\(0 \le x \le 4\)) (triệu đồng).
Khi đó:
Lợi nhuận bán 1 cái xe là \(31 - x - 27 = 4 - x\) (triệu đồng).
Số xe mà doanh nghiệp bán được trong 1 năm là \(600 + 200x\) chiếc.
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là
\(f\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {600 + 200x} \right) = - 200{x^2} + 200x + 2400\).
Bài toán trở thành tìm \(x \in \left[ {0;4} \right]\) để \(f\left( x \right)\) lớn nhất.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 200{x^2} + 200x + 2400\) có bảng biến thiên trên \(\left[ {0;4} \right]\).
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(2450\) khi \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.
