Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Trong các công thức sau, công thức nào không biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\)?
\(3x + 4y = 10\);
\(\sqrt {x - 1} + y = 6\);
\(y = \sqrt {{x^2} - 2} \);
\(3{x^2} - 2{y^2} = 0\).
Đáp án đúng là: D
Xét công thức \(3{x^2} - 2{y^2} = 0\):
Với \(x = 1\), ta có: \({y^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \).
Vậy công thức \(3{x^2} - 2{y^2} = 0\) không biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\).
Cho hàm số dưới dạng bảng như sau:
\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
\(y\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
Giá trị của hàm số \(y\) tại \(x = 3\) là
9;
4;
3;
16.
Đáp án đúng là: A
Từ bảng đã cho, ta thấy tại \(x = 3\) thì \(y = 9\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
\(\left( { - \infty ;\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Từ hình vẽ trên thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\) nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\).
Tập hợp \(D = \left( { - \infty ;\,\,3} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\) là tập xác định của hàm số nào sau đây?
\[y = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 3\\7 - 2x - {x^2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 3\end{array} \right.\];
\(y = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}\);
\(y = \frac{{4x - 1}}{{\sqrt {x - 3} }}\);
\(y = \frac{{x - 3}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \[y = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 3\\7 - 2x - {x^2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 3\end{array} \right.\] xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\). Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\} = \left( { - \infty ;\,\,3} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{4x - 1}}{{\sqrt {x - 3} }}\) xác định khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\).
Hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{3}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6\). Chọn phương án sai.
\(f\left( 3 \right) = 0\);
\(f\left( 2 \right) = 0\);
\(f\left( { - 4} \right) = - 24\);
\(f\left( 1 \right) = 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(f\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^3} - 6.{\left( { - 4} \right)^2} + 11.\left( { - 4} \right) - 6 = - 210 \ne - 24\);
\(f\left( 2 \right) = {2^3} - {6.2^2} + 11.2 - 6 = 0\);
\(f\left( 1 \right) = {1^3} - {6.1^2} + 11.1 - 6 = 0\);
\(f\left( 3 \right) = {3^3} - {6.3^2} + 11.3 - 6 = 0\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?
\(y = 2x - 1\);
\(y = - {x^2} + {2^3}x - 5\);
\(y = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2{x^2} - 2\);
\(y = {3^2}x + 51\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = - {x^2} + {2^3}x - 5 = - {x^2} + 8x - 5\), đây là hàm số bậc hai.
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a < 0,\,\,b < 0,\,c < 0\);
\(a < 0,\,\,b = 0,\,c < 0\);
\(a > 0,\,\,b > 0,\,c < 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,c < 0\).
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Lại có đồ thị cắt trục tung tại điểm phía dưới trục hoành nên \(c < 0\).
Đỉnh của đồ thị nằm bên phải trục tung nên \( - \frac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow b > 0\).
Đỉnh của \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\) được xác định bởi công thức nào?
\(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{b}{a};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\);
\(I\left( {\frac{b}{a};\,\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{2a}}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đỉnh của \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + x\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) được xác định bởi công thức \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
Hàm số nào sau đây đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{3}{4}\)?
\(y = 4{x^2} - 3x + 1\);
\(y = - {x^2} + 3x + 1\);
\(y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\);
\(y = {x^2} - \frac{3}{2}x + 1\).
Đáp án đúng là: C
Các hàm số đã cho đều là hàm số bậc hai, mà hàm số bậc hai tồn tại giá trị lớn nhất khi hệ số \(a < 0\), loại đáp án A và D.
Hàm số \(y = - {x^2} + 3x + 1\) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Ta có hoành độ đỉnh \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{3}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{3}{2} \ne \frac{3}{4}\), loại đáp án B.
Xét đáp án C: \(y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\). Ta có: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\frac{3}{2}}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{3}{4}\). Vậy hàm số \(y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{3}{4}\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 2\), biết rằng parabol đó đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\,5} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,\,8} \right)\). Parabol đó có phương trình là
\(y = {x^2} - 4x + 2\);
\(y = - {x^2} + 2x + 2\);
\(y = 2{x^2} + x + 2\);
\(y = 2{x^2} + x + 1\).
Đáp án đúng là: C
Vì parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,5} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,\,8} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5 = a{.1^2} + b.1 + 2\\8 = a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\2a - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} + x + 2\).
Biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = {x^2} - {x^3} + 1\);
\(f\left( x \right) = 2x - 2\);
\(f\left( x \right) = {3^2}\);
\(f\left( x \right) = 2023{x^2} - 2022x + 55\).
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \(f\left( x \right) = 2023{x^2} - 2022x + 55\) là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Điều kiện để \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là
\(a < 0,\,\Delta \le 0\);
\(a < 0,\,\Delta \ge 0\);
\(a < 0,\,\Delta < 0\);
\(a > 0,\,\Delta < 0\).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Điều kiện để \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là \(a < 0,\,\Delta < 0\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 1 3 \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | – 0 + 0 – |
Hỏi \(f\left( x \right)\) là tam thức nào dưới đây?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\);
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3\);
\(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng xét dấu ta thấy \(f\left( { - 1} \right) = 0\) và \(f\left( 3 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1\) và \(x = 3\), do đó loại đáp án C và D.
Lại có \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;\,\,3} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).
Vậy ta chọn đáp án A: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\) do có hệ số \(a = - 1 < 0\) (trong trái ngoài cùng).
Số giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
3;
4;
5;
6.
Đáp án đúng là: C
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = \frac{9}{2}\).
Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 1 \(\frac{9}{2}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\).
Các giá trị nguyên trong khoảng \(\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\) là 0; 1; 2; 3; 4 (có 5 giá trị).
Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của \(S\)?
\(\left[ { - 1;\,\,7} \right]\);
\(\left[ { - 7;\,\,\,1} \right]\);
\(\left( {0;\,\,6} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,7} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7\).
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1;\,\,7} \right]\).
Ta thấy \(\left[ { - 7;\,\,1} \right] \not\subset S\).
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\] là tập nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\];
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\] thỏa mãn bất phương trình \(dx + e \ge 0\);
Mọi nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\] đều là nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\];
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\]thỏa mãn bất phương trình \(a{x^2} + bx + c \ge 0\).
Đáp án đúng là: B
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\]thỏa mãn bất phương trình \(dx + e \ge 0\).
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\];
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập nghiệm của phương trình \[{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} = {\left( {d{x^2} + ex + f} \right)^2}\];
Mọi nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\] đều là nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \];
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\] thỏa mãn bất phương trình \(a{x^2} + bx + c \ge 0\) (hoặc \(d{x^2} + ex + f \ge 0\)).
Đáp án đúng là: D
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\] thỏa mãn bất phương trình \(a{x^2} + bx + c \ge 0\) (hoặc \(d{x^2} + ex + f \ge 0\)).
Phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] có số nghiệm là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] ta được
\( - {x^2} + 4x = 4{x^2} - 8x + 4\).
Sau khi thu gọn ta được \(5{x^2} - 12x + 4 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 2\) hoặc \(x = \frac{2}{5}\).
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là \(x = 2\).
Cho phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì \(m \in \left[ {a;\,\,b} \right]\). Giá trị \({a^2} + {b^2}\) bằng
2;
4;
1;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì \(1 \le 2m + 3 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 1;\,\,0} \right]\).
Suy ra \(a = - 1,\,\,b = 0\), do đó \({a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {6;\,\, - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)\), do đó nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\).
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\Delta :3x + 5y - 7 = 0\)?
\(A\left( {1;\,\,1} \right)\);
\(B\left( {0;\,\,\frac{3}{5}} \right)\);
\(C\left( { - \frac{3}{2};\,\,0} \right)\);
\(D\left( {0;\,\,\frac{7}{5}} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(3.0 + 5.\frac{7}{5} - 7 = 0\). Do đó \(D\left( {0;\,\,\frac{7}{5}} \right) \in \Delta \).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 4;\,\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 4t\\y = - 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 5 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 4;\,\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {1;\,\, - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là
\(2x - 7y + 2 = 0\);
\( - 2x + y - 7 = 0\);
\(2x - y - 7 = 0\);
\( - 2x - y + 7 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {1;\,\, - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là \( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x - y - 7 = 0\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát: \(x + 2y - 3 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d:x + 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,2} \right)\), do đó nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\), suy ra loại đáp án B và D.
Ở đáp án C, ta thấy khi \(t = 0\) thì \(x = 2\) và \(y = 1\), thay vào phương trình \(d\) ta thấy không thỏa mãn nên loại đáp án C, vậy chọn đáp án A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 6;\,\,2} \right)\). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3t\\y = t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Cách 1. Thay tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.
Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chỉ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.\). Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng đã cho.
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)song song với nhau;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)trùng nhau;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)vuông góc;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)cắt nhau nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,\,3} \right)\).
Nhận thấy \(\overrightarrow {{u_1}} = - 2\overrightarrow {{u_2}} \). Do đó hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
Lại có \(A\left( {1;\,\,4} \right)\) thuộc \({\Delta _2}\) nhưng không thuộc \({\Delta _1}\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
Cho điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {x_0^2 + y_0^2} }}\];
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {x_0^2 + y_0^2} }}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
Góc giữa hai đường thẳng \(a:2x - y - 10 = 0\) và \(b:x - 3y - 9 = 0\) bằng
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).
Đường thẳng \(a:2x - y - 10 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\);
Đường thẳng \(b:x - 3y - 9 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\varphi = 45^\circ \).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1\) là
\(\frac{{24}}{5}\);
\(\frac{{24}}{{25}}\);
\(\frac{1}{{10}}\);
\(\frac{{12}}{{25}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1\)\( \Leftrightarrow 24\left( {\frac{x}{6} + \frac{y}{8}} \right) = 24 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến \(\Delta \) là \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}\).
Đường thẳng đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 2 = 0\) là
\(x - y + 3 = 0\);
\(3x - 2x - 4 = 0\);
\(2x + 3y - 7 = 0\);
\(4x + 6y - 11 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 2 = 0\).
Khi đó, \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,3} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x + 3y - 7 = 0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
\({x^2} + 2{y^2} - 7x + 8y - 9 = 0\);
\(2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0\);
\(2{x^2} + 3{y^2} - 6x - 1 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 10 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Loại ngay đáp án A và C vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau.
Xét đáp án B: \(2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x - 10y - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 3} \right)x - 2.5y - 2 = 0\).
Ta có: \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2} - \left( { - 2} \right)} = \sqrt {36} = 6 > 0\).
Do đó, \(2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;\,\,5} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
Xét đáp án D: \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 10 = 0\), đây không phải phương trình đường tròn do \({\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - 10 = - 8 < 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\). Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là
\( I(-3;\,4),\ R = 25 \)
\( I(-3;\,4),\ R = 5 \)
\( I(3;\,-4),\ R = 5 \)
\( I(3;\,-4),\ R = 25 \)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 4} \right)} \right)^2} = {5^2}\).
Do đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \( I(3;\,-4) \) và bán kính \(R = 5\).
Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( {1;\,\,2} \right)\), bán kính bằng 5?
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( {1;\,\,2} \right)\), bán kính bằng 5 là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn có tâm \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {4;\,\,0} \right)\) có phương trình là
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 5\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 25\);
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\);
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn cần lập có tâm \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {4;\,\,0} \right)\) nên có bán kính là
\(R = MN = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = 5\).
Phương trình đường tròn cần lập là \({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\,\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và điểm \(A\left( {0;\,\,1} \right)\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có phương trình là
\(x - 2y + 2 = 0\);
\( - x + 4y - 4 = 0\);
\(y + 2 = 0\);
\(y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5\), do đó \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) có tâm là \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {0;\,\,1} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;\, - 2} \right)\), nên có phương trình
\(1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(x - 2y + 2 = 0\).
Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm, bộ phận sản xuất ước tính rằng với \(q\) sản phẩm được sản xuất một tháng thì tổng chi phí sẽ là \(C\left( q \right) = 4{q^2} + 36q - 1\,\,234\)(đơn vị tiền tệ). Giá của mỗi sản phẩm được công ty bán với giá \(R\left( q \right) = 120 - 2q\). Hãy xác định số sản phẩm công ty A cần sản xuất trong một tháng (giả sử công ty này bán hết được số sản phẩm đã làm ra) để thu về lợi nhuận cao nhất ?
Lợi nhuận của công ty trong một tháng khi bán hết \(q\) sản phẩm là:
\(L\left( q \right) = q.R\left( q \right) - C\left( q \right) = q\left( {120 - 2q} \right) - \left( {4{q^2} + 36q - 1\,\,234} \right)\)\( = - 6{q^2} + 84q + 1\,234\).
Để lợi nhuận công ty thu về là cao nhất, tức cần tìm \(q\) để \(L\left( q \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Lại có \(L\left( q \right) = - 6{q^2} + 84q + 1\,234\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = - 6 < 0\), nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Ta có: \(q = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{84}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 7\). Do đó, \(L\left( q \right)\)đạt giá trị lớn nhất tại \(q = 7\).
Vậy công ty A cần sản xuất 7 sản phẩm trong một tháng để thu về lợi nhuận cao nhất.
Cho các số thực \(x,\,y\) thỏa mãn bất phương trình
\(5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\).
Do \[S = x + 3y \Rightarrow x = S - 3y\], thay vào giả thiết \(5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0\) và viết theo hệ số của biến \(y\) ta thu được
\(50{y^2} - 30Sy + 5{S^2} - 5S + 8 \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\).
Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi \(y\) nên ta có \(\Delta \ge 0\), tức là
\(900{S^2} - 4.50.(5{S^2} - 5S + 8) \ge 0\).
Biến đổi tương đương ta thu được \( - 100{S^2} + 1000S - 1600 \ge 0\)
hay \(100{S^2} - 1000S + 1600 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le S \le 8\).
Khi \[S = 2\] thay vào (*) được \(50{y^2} - 60y + 18 \le 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}\) nên \(x = S - 3y = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) là 2 tại \(x = \frac{1}{5},\,\,y = \frac{3}{5}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\,1} \right),\,B\left( {0;\,\,2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 8 \), khoảng cách từ điểm \(B\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 2 \).
Giả sử đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0\).
Ta có: \(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \). Suy ra \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \).
Lại có: \(d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \). Suy ra \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \) (*).
Do đó, \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|\)
Trường hợp 1: \( - a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3 - b\).
Thay \(a = 3 - b\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10} \)
\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4\).
Suy ra \(a = 3 - 4 = - 1\).
Vậy \(d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0\).
Trường hợp 2: \( - a + b - 1 = - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3b - 5\).
Thay \(a = 3b - 5\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26} \)
\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)\)\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0\) (vô nghiệm).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) cần lập có dạng: \(x + y - 4 = 0\).
