Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
24 câu hỏi
Cho bảng dưới đây mô tả đại lượng \(y\) là hàm số của đại lượng \(x\).
\(x\) | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 |
\(y\) | – 2 019 | – 4 036 | – 20 100 | – 51 844 | – 98 500 |
Tập giá trị của hàm số trên là
{0; 1; 3; 5; 7};
\(\mathbb{R}\);
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {0;\,\,1;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}\);
{– 98 500; – 51 844; – 20 100; – 4 036; – 2019}.
Đáp án đúng là: D
Từ bảng đã cho, ta suy ra tập giá trị của hàm số \(y\) theo biến số \(x\) là
{– 98 500; – 51 844; – 20 100; – 4 036; – 2019}.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\, + \infty } \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\,2} \right)\);
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;\,\,0} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\), do đó hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \left( {2x - 3} \right)\sqrt {3 - 2x} + \frac{1}{{x - 1}}\) là
\(D = \left( { - \infty ;\,\,\frac{3}{2}} \right]\);
\(D = \left( {1;\,\,\frac{3}{2}} \right]\);
\(D = \left( { - \infty ;\,\,\frac{3}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của hàm số \(y = \left( {2x - 3} \right)\sqrt {3 - 2x} + \frac{1}{{x - 1}}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2x \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ;\,\,\frac{3}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(I\left( { - \frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\);
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\);
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra tung độ đỉnh là: \(y = 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\).
Nếu hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\) thì đồ thị của nó có dạng
;
;
;
.
Đáp án đúng là: B
Vì \(c > 0\) nên đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục hoành, loại đáp án A và C.
Mặt khác, \(a > 0,\,b < 0\) nên \( - \frac{b}{{2a}} > 0\), do đó trục đối xứng của đồ thị nằm phía bên phải trục tung, vậy loại đáp án D, chọn đáp án B.
Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau:
Phương trình của parabol này là
\(y = {x^2} - 2x - 1\);
\(y = {x^2} + 2x - 2\);
\(y = 2{x^2} - 4x - 2\);
\(y = {x^2} + 2x - 1\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát hình vẽ ta thấy parabol cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng – 1 nên loại đáp án B và C.
Hoành độ của đỉnh là \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên ta loại đáp án D và chọn đáp án A.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
\(f\left( x \right) = 2 + {5^2}x - 3{x^2}\) là tam thức bậc hai;
\(f\left( x \right) = {3^2}x + 4\) là tam thức bậc hai;
\(f\left( x \right) = {2^3}x + {4^2}x + 10\) là tam thức bậc hai;
\(f\left( x \right) = {\left( {2{x^2}} \right)^2} - 5{x^2} + 7\) là tam thức bậc hai.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = 2 + {5^2}x - 3{x^2} = - 3{x^2} + 25x + 2\) là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a > 0\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\). Khi đó
\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\) thì \(f\left( x \right) > 0\) (cùng dấu với hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) là
\(S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\);
\(S = \left[ {1;\,\,4} \right]\);
\(S = \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0\).
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4\) có hai nghiệm là \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Mặt khác có hệ số \(a = 1 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) 1 4 \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) là
\(S = \left\{ 1 \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{3}{7};\,1} \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{3}{7}} \right\}\);
\(S = \emptyset \).
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) ta được:
\(4 - 3{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(7{x^2} - 4x - 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = - \frac{3}{7}\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = 1\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} + 5x - 17} \) có số nghiệm là
0;
1;
2;
4.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} + 5x - 17} \) ta được:
\(2{x^2} - 3x - 5 = {x^2} + 5x - 17\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \({x^2} - 8x + 12 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 6\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = 6\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là
\(\left( {5;\,\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 5;\,3} \right)\);
\(\left( {\frac{1}{2};\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)\), nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
Do đó, nó cũng có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = 2\overrightarrow n = 2\left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right) = \left( {6;\,\,1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và \(B\left( {2;\,\,5} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 0t\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(4x - 5y - 7 = 0\) ;
\(4x + 5y - 17 = 0\);
\(4x - 5y - 17 = 0\);
\(4x + 5y + 17 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - x}}{5}\\t = \frac{{y - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3 - x}}{5} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) là
\[\left( {\frac{{21}}{{29}};\,\frac{9}{{29}}} \right)\];
\[\left( {\frac{9}{{29}};\,\, - \frac{{21}}{{29}}} \right)\];
\[\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)\];
\[\left( { - \frac{9}{{29}};\,\, - \frac{{21}}{{29}}} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 3 = 0\\5x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{29}}\\y = \frac{{21}}{{29}}\end{array} \right.\).
Giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là \[\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 1 = 0\) bằng
1;
\(\frac{1}{5}\);
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}\).
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\). Số đo \(\alpha \) là
\(30^\circ \);
\(45^\circ \);
\(60^\circ \);
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)\), do đó đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,\,6} \right)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.5 + \left( { - 5} \right).6 = 0\). Do đó, hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Vậy \(\alpha = 90^\circ \).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:3mx + 2y - 6 = 0\) và \({d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0\). Giá trị của \(m\) để hai đường thẳng đã cho song song với nhau là
\(m = 1;\,\,m = - 1\);
\(m \in \emptyset \);
\(m = 2\);
\(m = - 1\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({d_1}:3mx + 2y - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3m;\,\,2} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{m^2} + 2;\,\,2m} \right)\).
Với \(m = 0\) ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,0} \right)\), khi đó hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) không song song với nhau. Vậy \(m = 0\) không thỏa mãn.
Với \(m \ne 0\), \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2}}{{3m}} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\)\( \Leftrightarrow m = \pm 1\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
\({x^2} + 3{y^2} - 4x + 8y - 9 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\);
\(5{x^2} + {y^2} - 10x - 8y + 2 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại đáp án A và C.
Ta có : \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = - 3\) vô lí, loại đáp án B.
Lại có : \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn. Vậy chọn đáp án D.
Đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là
\(I\left( { - 1;\,\,2} \right),\,R = \sqrt 2 \);
\(I\left( {1;\,\, - 2} \right),\,\,R = 2\sqrt 2 \);
\(I\left( { - 1;\,\,2} \right),\,R = 2\sqrt 2 \);
\(I\left( {1;\,\, - 2} \right),\,R = \sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}\).
Do đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {1;\,\,5} \right)\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có phương trình là
\(y + 5 = 0\);
\(y - 5 = 0\);
\(x + y - 5 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} = 9\) (luôn đúng). Vậy \(A \in \left( C \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\,2} \right)\).
Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;\,\,3} \right)\), do đó nó có phương trình là \(0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(y - 5 = 0\).
Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth\), trong đó \(t\) là thời gian, kể từ khi quả bóng được đá lên, \(h\) là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h\) theo thời gian \(t\) và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
Tại \(t = 0\), ta có: \(y = h = 1,2\); tại \(t = 1\), ta có\(h = 8,5\); tại \(t = 2\), ta có \(y = h = 6\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oth\) như hình vẽ.
Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = a{t^2} + bt + c\), với \(a \ne 0\).
Theo bài ra ta có: \(A\left( {0;\,\,1,2} \right) \in \left( P \right),\,\,B\left( {1;\,\,8,5} \right) \in \left( P \right),\,\,C\left( {2;\,\,6} \right) \in \left( P \right)\).
Vậy ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a = - 4,9\\b = 12,2\end{array} \right.\).
Vậy hàm số cần tìm có dạng: \(y = - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).
Cho điểm \[M\left( {2;5} \right)\] và đường thẳng \[\Delta :x + 2y - 2 = 0\].
a) Tìm tọa độ điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] qua \[\Delta \];
b) Viết phương trình đường thẳng \[\Delta '\] đối xứng với \[\Delta \] qua \[M\].
a) Ta có: \(2 + 2.5 - 2 = 10 \ne 0 \Rightarrow M \notin \Delta \).
Đường thẳng \[d\] qua \[M\] và vuông góc \[\Delta \] có dạng: \[2x - y + m = 0\].
Do \[M\left( {2;5} \right) \in d \Rightarrow 4 - 5 + m = 0 \Rightarrow m = 1\].
Phương trình \[d:2x - y - 1 = 0\].
Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \)và \(d\) là \(H\). Tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\].
Vì \[M\] và \[M'\] đối xứng qua \[H\] nên \[H\] là trung điểm của \[MM'\].
\[\left. \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \frac{8}{5} - 2 = - \frac{2}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \frac{6}{5} - 5 = - \frac{{19}}{5}\end{array} \right\} \Rightarrow M'\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)\].
b) Cho \[x = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow I\left( {0;1} \right) \in \Delta \];
Cho \[x = 1 \Rightarrow 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow J\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in \Delta \].
Gọi \[I'\] là điểm đối xứng của \[I\] qua \[M,\,\,J'\] là điểm đối xứng của \[J\] qua \[M\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_M} - {x_I} = 4 - 0 = 4\\{y_{I'}} = 2{y_M} - {y_I} = 10 - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {4;9} \right)\];
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_{J'}} = 2{x_M} - {x_J} = 4 - 1 = 3\\{y_{J'}} = 2{y_M} - {y_J} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( {3;\frac{{19}}{2}} \right)\].
Phương trình \[\Delta ' \equiv \] phương trình \[I'J':\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 9}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x + 2y - 22 = 0\].
Một cái cổng cầu vồng hình bán nguyệt ở công viên rộng 6,8 m, cao 3,4 m như hình vẽ. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.
a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.
b) Một chiếc xe tải rộng 2,4 m và cao 2,5 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?
a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng cầu vồng hình bánh nguyệt có tọa độ \(\left( {0;\,\,0} \right)\) và đỉnh của cổng có tọa độ \(M\left( {0;\,3,4} \right)\).
Cổng hình bán nguyệt là nửa hình tròn với tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính là \(R = 3,4\) m.
Ta có phương trình mô phỏng của cổng là: \({x^2} + {y^2} = {3,4^2}\)\(\left( {y > 0} \right)\).
b) Gọi \(OABC\) là thiết diện của xe tải. Theo bài ra ta có: \(OA = 2,4\,{\rm{m}};\,\,OC = 2,5\,\,{\rm{m}}\).
Từ định lí Pythagore ta suy ra: \(OB = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{2,4}^2} + {{2,5}^2}} \approx 3,5 > R = 3,4\) (m).
Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng.
