Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {2;\,\,3} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;\,\,3} \right)\). 

Đáp án đúng là: B

Thay \(x = 1\) vào hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3\) ta được: \(f\left( 1 \right) = {1^3} - {3.1^2} + 3 = 1\).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {5 - x} }}{{{x^2} - 5x - 6}}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}5 - x \ge 0\\{x^2} - 5x - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\x \ne 6\\x \ne  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\x \ne  - 1\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\,5} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Parabol \(y =  - 2{x^2} - 6x + 3\) có hoành độ đỉnh là \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - 2} \right)}} =  - \frac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Với \(a > 0\) ta có bảng biến thiên:

\(x\)	\( - \infty \)                              \( - \frac{b}{{2a}}\)                                \( + \infty \)
\(y\)	\( + \infty \)                                                                      \( - \infty \)   \( - \frac{\Delta }{{4a}}\)

Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a > 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;\,\,3} \right)\) vào \(\left( P \right):y = {x^2} + bx + 1\) ta được:

\(3 = {\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow b =  - 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4 - 3{x^2} = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) - 4x + 4 =  - 4x + 4\) không là một tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + 1 \ge 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2\), \({x_2} = \frac{1}{2}\).

Mặt khác có hệ số \(a =  - 2 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:

\(x\)	\( - \infty \)                   \( - 2\)                      \(\frac{1}{2}\)                 \( + \infty \)
\(f\left( x \right)\)	–             0            +           0           –

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Do \(\frac{1}{2} < 1\) nên bất phương trình đã cho có không có nghiệm nguyên dương nào.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7}  = x - 2\) ta được: 

\(3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 2x + 3}  = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] ta được:

\( - {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 6x = 0\). Từ đó suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 3\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \( S = \left\{0;\,3\right\} \). Khi đó ta có: \({0^2} + {3^2} = 9\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - \frac{1}{2}t\\y =  - 10 + 3t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)\), do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 7;\,\,8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), do đó \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {8;\,\,7} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(8\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y + 6} \right) = 0\) hay \(8x + 7y + 58 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d:5x + 2y - 4 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {5;\,\,2} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 5} \right)\). Các vectơ chỉ phương của đường thẳng này đều có dạng \(k\overrightarrow u \), nên ta loại đáp án A và D.

Lại có \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\) nhưng không thuộc đường thẳng \(d\) nên loại đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 9 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;\,\, - 5} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 12t\\y = 5 + 10t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 12;\,10} \right)\), nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {10;\,\,12} \right)\).

Nhận thấy: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 6.10 + \left( { - 5} \right).12 = 0\). Do đó, hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d\left( {A,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 5} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt 5 }} = 4\sqrt 5 \). 

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \({d_1}:2x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 1 - y \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Lại có \({\sin ^2}\varphi  + {\cos ^2}\varphi  = 1 \Rightarrow \sin \varphi  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi }  = \sqrt {1 - \frac{9}{{10}}}  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\,\)(do \(\varphi \) là góc nhọn).

Vậy \(A = \sin \varphi  + \cos \varphi  = \frac{3}{{\sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(\Delta :x - y = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\, - 1} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\left( {1;\,\,2} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \), vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( {t;\,\,t} \right)\).

Vì \(MH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {MH}  \bot \overrightarrow u  \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow t - 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\).

Vậy \(H\left( {\frac{3}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 2} \right)x - 2.3y - 3 = 0\).

Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - \left( { - 3} \right)}  = \sqrt {16}  = 4\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {8;\,\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 7\) là

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = {4^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 10y + 18 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 3x + 7y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\frac{3}{4}x - 2.\left( { - \frac{7}{4}} \right) + \frac{1}{2} = 0\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \[I\left( {\frac{3}{4};\,\, - \frac{7}{4}} \right)\].

Lại có: \({2.1^2} + {2.0^2} - 3.1 + 7.0 + 1 = 0\)\( \Rightarrow M\left( {1;\,0} \right) \in \left( C \right)\).

Do đó, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {\frac{1}{4};\,\,\frac{7}{4}} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là \(\frac{1}{4}\left( {x - 1} \right) - \frac{7}{4}\left( {y - 0} \right) = 0\) hay \(x - 7y - 1 = 0\).

Gọi \(x\)(nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa \(\left( {x \ge 0} \right)\).

Số cốc trà sữa bán được sau khi tăng giá thêm \(x\)(nghìn đồng) là: \(2\,200 - 100x\) (cốc).

Số tiền lãi thu được là:

\(\left( {30 + x - 22} \right)\left( {2\,\,200 - 100x} \right) = \left( {8 + x} \right)\left( {2\,200 - 100x} \right) =  - 100{x^2} + 1\,400x + 17600\) (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì phải tìm được \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) =  - 100{x^2} + 1400x + 17600\) lớn nhất.

Hàm số này là hàm số bậc hai có \(a =  - 100 < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) =  - 100{x^2} + 1400x + 17600\) là \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{1400}}{{2.\left( { - 100} \right)}} = 7\) (thỏa mãn \[x \ge 0\]).

Khi đó số tiền phải tăng lên để lợi nhuận lớn nhất là 7 nghìn đồng hay chính là bán ra một cốc trà sữa với giá 30 + 7 = 37 (nghìn đồng).

Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá 37 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.

a) Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 3x + 5}  = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} \) ta được:

\(4{x^2} - 3x + 5 = 2{x^2} + 3x + 1\).

Thu gọn ta được: \({x^2} - 3x + 2 = 0\).Từ đó suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

b) \(\sqrt {3{x^2} + 2 - 5x}  - 4 =  - 3x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 5x + 2}  = 4 - 3x\)

\( \Rightarrow 3{x^2} - 5x + 2 = 16 - 24x + 9{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 19x + 14 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{7}{6}\end{array} \right.\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = \frac{7}{6}\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {\frac{7}{6}} \right\}\).

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\).

Do đó, \({\Delta _1} \cap {\Delta _2} = O\left( {0;0} \right)\). Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là hai tiếp điểm của \(\left( {C'} \right)\) với \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)

Ta có tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và \(K\) thuộc đường phân giác của \(\widehat {AOB}\).

Mặt khác, ta chứng minh được phương trình đường phân giác của \(\widehat {AOB}\) là:

\(\frac{{x - y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =  \pm \frac{{x - 7y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y = 0\\x - 2y = 0\end{array} \right.\) .

Vì \(K \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của các hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\,\)  (Vô nghiệm)  và  \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).  

Vậy \(K\left( {\frac{8}{5};\,\frac{4}{5}} \right).\)