Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng trên ta thấy, ứng với mỗi giá trị của \(y \in \left\{ {200;282;295;311;339;363;375;394;564} \right\}\) thì có duy nhất một giá trị của \[x \in \left\{ {1995;1996;1997;1998;1999;2000;2001;2002;2004} \right\}\] tương ứng.

Do đó, đại lượng \[x\] là hàm số của đại lượng \(y\).

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng giá trị ta thấy, ứng với giá trị \(x =  - 1\) là giá trị \(y = \frac{1}{2}\).

Như vậy, giá trị của hàm số tại \(x =  - 1\) là \(y = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(y = \sqrt {x - 7}  \ge 0\) với mọi giá trị \(x\) thuộc tập xác định \(D = \left[ {7;\,\, + \infty } \right)\).

Do đó, tập giá trị của hàm số \(y = \sqrt {x - 7} \) là: \(T = \left[ {0; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hàm số \(f\left( x \right)\)  tại \(x = 4 \ne 2\) là: \(f\left( 4 \right) = \frac{{3.4 - 1}}{{2 - 4}} = \frac{{11}}{{ - 2}} = \frac{{ - 11}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai có dạng: \[y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\]

Do đó, hàm số bậc hai có các hệ số \(a = 5\), \(b = 0\), \(c = 1\) là \[y = 5{x^2} + 0.x + 1 = 5{x^2} + 1\].

Đáp án đúng là: A

Hàm số bậc hai \(y = 3{x^2} - 3\) có đồ thị phải đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {0; - 3} \right)\).

Do đó, đồ thị hàm số chỉ có thể là hình (A).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số có tọa độ đỉnh là \(\left( {0; - 3} \right)\) và trục đối xứng là \(x = 0\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y =  - 5{x^2} + 4x + 2\) có: \(a =  - 5 < 0\).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh của đồ thị hàm số.

Đỉnh của đồ thị hàm số có hoành độ là: \(x = \frac{{ - 4}}{{2.( - 5)}} = \frac{2}{5}\).

Tung độ của đỉnh là: \(y =  - 5.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} + 4.\left( {\frac{2}{5}} \right) + 2 = \frac{{14}}{5}\).

Như vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là: \(\frac{{14}}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi công thức của hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = a{x^2} + bx + c\) (\(a \ne 0\)).

Đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\);

\( - 1 = a{.1^2} + b.1 + c \Rightarrow a + b + c =  - 1\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\) nên ta có:

\(1 = a{.0^2} + b.0 + c \Rightarrow c = 1\).

Từ đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b + c =  - 1\\c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 4\\c = 1\end{array} \right.\).

Như vậy hàm số cần tìm là: \(y = 2{x^2} - 4x + 1\).

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).

Như vậy \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\) là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Tam thức \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\] là tam thức bậc hai, do đó điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\) với mọi số thực \(x\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f\left( x \right) = 4{x^2} - 5\, = 4{x^2} + 0x - 5\].

Do đó, các hệ số của tam thức này là: \(a = 4;b = 0;c =  - 5\).

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\,\] có:

\(a = 3 > 0\);

\(\Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 5} \right) = 24 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 2\sqrt 6 \).

Như vậy, \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\, = 0\] có 2 nghiệm là: \({x_1} = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3}\); \({x_2} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}\).

Do đó, \(f\left( x \right) \le 0\) (không dương) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]\).

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6\) có:

\(a = 1 > 0\);

\(\Delta  = {2^2} - 4.1.( - 6) = 28 > 0\).

Có \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 = 0\) có hai nghiệm là:

\({x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {28} }}{{2.1}} =  - 1 - \sqrt 7 \); \({x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {28} }}{{2.1}} =  - 1 + \sqrt 7 \).

Ta có, \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right)\) và \(\left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x - 6 > 0\) là:

\(S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Thay \(x = 2\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5}  = 2x + 1\) có:

\(\sqrt {{{3.2}^2} + 4.2 + 5}  = 5 = 2.2 + 1\)

Như vậy, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5}  = 2x + 1\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  = \sqrt {3{x^2} - 1} \)

\( \Rightarrow {x^2} - 2x + 3 = 3{x^2} - 1\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

\( \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x =  - 2\)

Với \(x = 1\) ta có: \(\sqrt {{1^2} - 2.1 + 3}  = \sqrt 2  = \sqrt {{{3.1}^2} - 1} \), do đó, \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Với \(x =  - 2\) ta có: \(\sqrt {{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 3}  = \sqrt {11}  = \sqrt {3.{{( - 2)}^2} - 1} \), do đó, \(x =  - 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  = \sqrt {3{x^2} - 1} \) có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Thay \(x =  - \frac{1}{2}\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  = x + 2\) ta có:

\(\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 3}  = \frac{3}{2} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2\).

Như vậy \(x =  - \frac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  = x + 2\).

Đáp án đúng là: B

\(\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1} \)

\( \Rightarrow {x^2} - 2x + 1 =  - {x^2} + 3x - 1\)

\( \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với \(x = 2\), ta có: \(\sqrt {{2^2} - 2.2 + 1}  = 1 = \sqrt { - {2^2} + 3.2 - 1} \), do đó, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Với \(x = \frac{1}{2}\), ta có: \(\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\left( {\frac{1}{2}} \right) + 1}  = \frac{1}{2} = \sqrt { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 3.\left( {\frac{1}{2}} \right) - 1} \) , do đó, \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1} \) có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d:x - 3y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\).

Do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {3;1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Xét điểm \(D\left( {4; - 5} \right)\) ta có: \(2.4 - ( - 5) + 3 = 16 \ne 0\)

Do đó, điểm \(D\left( {4; - 5} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {0;3} \right)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;1} \right)\) có phương trình tổng quát là: \(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,y - 5 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3 - 1;5 - 2} \right) = \left( { - 4;3} \right)\), do đó, \(d\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 11 = 0

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 1} \right)\), do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;4} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).

Mà vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) cũng vuông góc với vectơ chỉ phương của \({d_1}\).

Do đó, vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) song song hoặc trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).

Vậy \({d_1}\) song song hoặc trùng với \({d_2}\).

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {d{x_A} + e{y_A} + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).

Đáp án đúng là: D

Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)là: \[\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 3.( - 5) + 5.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \).

Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 6\) có vectơ pháp tuyến có \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:x - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến  \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;0} \right)\).

Ta có: \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {4.1 + ( - 3).0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha  \approx 37^\circ \].

Đáp án đúng là: D

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R > 0\) có dạng: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Vậy \({x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} =  - 4\) không là phương trình đường tròn vì \( - 4 < 0\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {2^2}\).

Do đó, tâm và bán kính của đường tròn đó là: \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 2\).

Đáp án đúng là: C

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) có phương trình là

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).

Đáp án đúng là: D

Tâm \(I\)của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), có tọa độ là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;2} \right)\).

Độ dài đường kính \(AB\) là: \(\sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)

Độ dài bán kính là: \(R = \sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).

Đáp án đúng là: C

Bán kính của đường tròn là: \(R = OC = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2}}  = \sqrt {10} \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {y^2} = 10\).

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 1}  = x - 7\) ta được:

\(4{x^2} - 5x + 1 = {x^2} - 14x + 49\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(3{x^2} + 9x - 48 = 0\). Từ đó suy ra \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {73} }}{2}\,\) hoặc \(x = \frac{{ - 3 - \sqrt {73} }}{2}\).

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \emptyset \).

Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {{u_{AC}}}  = \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 2} \right)\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {2;5} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).

Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)

\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).

Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là \(x\), \(y\) (m).

\(\left( {x,y > 0} \right)\)

Chu vi của bồn trồng hoa là: \(4x\) (m).

Chu vi của bồn trồng cây là: \(4y\) (m).

Tổng chu vi của các bồn là: \(4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0\).

Diện tích của bồn trồng hoa là: \({x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích của bồn trồng cây là: \({y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có: \(S = {x^2} + {y^2}\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt S \)  và đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\).

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).

Ta có: \(OH \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}}  = \left( { - 1;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của  \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.\).

Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.