Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
24 câu hỏi
Trong các công thức sau, công thức nào biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\)?
\({x^2} + y = 3\);
\(x + {y^4} = 1\);
\(x + {y^2} = 4\);
\({x^2} + {y^2} = 5\).
Đáp án đúng là: A
Công thức ở các đáp án A: \({x^2} + y = 3\), với mỗi giá trị của \(x\), ta tìm được một giá trị của \(y\) tương ứng. Do đó, công thức này biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\).
Cho bảng sau biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\):
\(x\) | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(y\) | 3 | 2 | \(\frac{5}{3}\) | \(\frac{3}{2}\) |
Khẳng định nào sau đây đúng?
Giá trị của hàm số tại \(x = 3\) là \(y = 3\);
Giá trị của hàm số tại \(x = 3\) là \(y = 2\);
Giá trị của hàm số tại \(x = 4\) là \(y = \frac{3}{5}\);
Giá trị của hàm số tại \(x = 4\) là \(y = \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Từ bảng trên ta thấy, giá trị của hàm số tại \(x = 3\) là \(y = 2\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^2}}}\) là
\(\left( { - \infty ;\,\frac{5}{2}} \right)\);
\(\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\);
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\);
\(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^2}}}\) là \(2x - 5 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{5}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 3x + 2\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( { - \frac{3}{2};\,\frac{{35}}{4}} \right)\);
\(I\left( {\frac{3}{2};\,\frac{1}{4}} \right)\);
\(I\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{4}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{3}{2};\, - \frac{1}{4}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Parabol\(\left( P \right):y = {x^2} - 3x + 2\) có: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 3}}{{2.1}} = \frac{3}{2}\) và \(y\left( {\frac{3}{2}} \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\frac{3}{2} + 2 = - \frac{1}{4}\).
Vậy đỉnh của parabol \(\left( P \right)\) là \(I\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{4}} \right)\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số bậc hai?
\(y = - 3{x^2} + 2x + 1\);
\(y = x\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\);
\(y = x\left( {2x - 3} \right)\);
\(y = 8 - x - {x^2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = x\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = {x^3} + 2{x^2} - 3x\), đây không phải là hàm số bậc hai.
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Biết đồ thị của hàm số có đỉnh \(I\left( {1;\,\,1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2;\,\,3} \right)\). Tính tổng \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) ta được kết quả là
29;
1;
3;
4.
Đáp án đúng là: A
Vì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đỉnh \(I\left( {1;\,\,1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\2a + b = 0\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.\).
Do đó, \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {2^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {3^2} = 29\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) có tổng các hệ số là
– 2;
8;
– 3 ;
7.
Đáp án đúng là: A
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) có các hệ số \(a = 1,\,\,b = 2,\,c = - 5\).
Ta có: \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 5} \right) = - 2\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(b\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\), nếu \(\Delta = {b^2} - 4ac = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\) là
\[S = \left( { - \infty ;\,\, - 3} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\];
\(S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\);
\(S = \left[ { - 3;\,\,2} \right]\);
\(S = \left( { - 2;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2\), \({x_2} = 3\).
Mặt khác có hệ số \(a = 1 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 2 3 \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).
Phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4\) có số nghiệm nguyên là
0;
1;
2;
4.
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4\) ta được:
\(57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(6{x^2} + 17x - 14 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - \frac{7}{2}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = \frac{2}{3}\) thỏa mãn.
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\). Mà \(\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\). Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6} \) có tập nghiệm là
\(S = \left\{ { - \frac{5}{4}} \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}\);
\(S = \left\{ {\,7} \right\}\);
\(S = \left\{ {\frac{5}{4};\,\, - 7} \right\}\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6} \) ta được:
\(5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(4{x^2} - 23x - 35 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - \frac{5}{4}\) hoặc \(x = 7\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}\).
Cho đường thẳng \(d:5x + 3y - 8 = 0\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
\[\left( {3;\,\,5} \right)\];
\(\left( { - 5;\,\, - 3} \right)\);
\(\left( {5;\,\,3} \right)\);
\(\left( {3;\, - 5} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d:5x + 3y - 8 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5;\,\,3} \right)\).
Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {4;\, - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2;\, - 3} \right)\) là
\(6x + y - 22 = 0\);
\(x - 6y - 16 = 0\);
\(6x - y - 22 = 0\);
\(x - 6y + 16 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\). Do đó, đường thẳng \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 6} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:
\(1\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(x - 6y - 16 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 6 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d:x + 2y - 6 = 0\) nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)\). Do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Lại có điểm \(A\left( {0;\,\,3} \right) \in d\). Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{d_1}\] và \({d_2}\) song song với nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) trùng nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\, - 2} \right)\).
Ta thấy \(\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0\).
Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( {5;\,\,1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :x - 8y + 8 = 0\) bằng
\(\frac{1}{{13}}\);
\(\frac{5}{{\sqrt {65} }}\);
\(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\);
\(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}\).
Góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:x + \sqrt 3 y = 0\) và \({d_2}:x + 10 = 0\) bằng
\(30^\circ \);
\(45^\circ \);
\(90^\circ \);
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đường thẳng \({d_1}:x + \sqrt 3 y = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:x + 10 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,0} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\varphi = 60^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {4;\,5} \right),\,\,C\left( { - 3;\,\,2} \right)\). Phương trình tổng quát đường cao \(BH\) của tam giác \(ABC\) là
\(5x - 3y - 5 = 0\);
\(3x + 5y - 37 = 0\);
\(3x - 5y - 13 = 0\);
\(3x + 5y - 20 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Do \(BH \bot AC\) nên đường cao \(BH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {CA} = \left( {5;\,\, - 3} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường cao \(BH\): \(5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(5x - 3y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\). Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?
\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\);
\(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 5\);
\(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( C \right)\) không đi qua điểm \(B\left( {4;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là : D
Ta có: \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\).
Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5\), do đó đáp án A và B đúng.
Ta có: \({\left( { - 1 + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 3} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} = 25 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right) \in \left( C \right)\), do đó đáp án C đúng.
\({\left( {4 + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 3} \right)^2} = {5^2} = 25 \Rightarrow B\left( {4;3} \right) \in \left( C \right)\), do đó đáp án D sai.
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
\({\left( {x + 5} \right)^2} - {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\);
\({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\);
\(2{\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\);
\({\left( {x + 5} \right)^2} + 2{\left( {y - 7} \right)^2} = 144\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {3;\, - 4} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\) là
\(x - y + 7 = 0\);
\(x - y - 7 = 0\);
\(3x + 4y - 14 = 0\);
\(3x + 4y + 14 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.1x - 2.\left( { - 2} \right)y - 3 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\, - 2} \right)\).
Lại có: \({3^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 2.3 + 4.\left( { - 4} \right) - 3 = 0\)\( \Rightarrow M\left( {3;\, - 4} \right) \in \left( C \right)\).
Do đó, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {3;\, - 4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;\,\, - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là \(2\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0\) hay \(x - y - 7 = 0\).
Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là \(x\) (cm) \(\left( {0 < x < 15} \right)\).
Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là \(4x\) (cm).
Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là \(60 - 4x\) (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là \(r = \frac{{60 - 4x}}{{2\pi }} = \frac{{30 - 2x}}{\pi }\) (cm).
Diện tích hình vuông được uốn thành là \({S_1} = {x^2}\) (cm2).
Diện tích hình tròn được uốn thành là
\({S_2} = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\frac{{30 - 2x}}{\pi }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {30 - 2x} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right)\) (cm2).
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:
\(S = {S_1} + {S_2} = {x^2} + \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right) = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\) (cm2).
Nhận thấy \(S\) là hàm số bậc hai của \(x\), do đó \(S\) nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số \(S = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\).
Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\frac{{ - 120}}{\pi }}}{{2\left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right)}} = \frac{{60}}{{4 + \pi }}\) (cm).
Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng \(4x = 4.\frac{{40}}{{4 + \pi }} \approx 33,61\) (cm).
Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình: \(x + 3y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 2;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) là VTPT của \(\Delta \) \(\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).
Đường thẳng \(\left( d \right)\): \(x + 3y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,3} \right)\).
Để \(\Delta \) tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \) thì:
\(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B = - 2A\end{array} \right.\) .
+ Với \(A = 2B\), chọn \(B = 1 \Rightarrow A = 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,2x + y + 4 = 0\).
+ Với \(B = - 2A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B = - 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,x - 2y + 2 = 0\).
Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) và \[x - y + z = 3\] . Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{x + y - 2}}{{z + 2}}\).
Từ điều kiện ta có \({x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}\).
Do đó \({\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\).
Dễ thấy \(z \ne - 2\). Ta có \(P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y\).
Do đó \({\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}\)
\( \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0\)
Phương trình ẩn \(z\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta '_z} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\) (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).
Ta có \(P = 0\) khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\] và \(P = - \frac{{36}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y = - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 0 tại \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\].
