Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {x - 1 + 2{x^2}}  = 2x - 1\) ta được:

\(x - 1 + 2{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\,2} \right\}\).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} \) ta được:

\(2{x^2} - 3x + 2 = 3{x^2} - 5x - 1\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \({x^2} - 2x - 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 1;\,\,4 - 2} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), nên \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Do đó, đường thẳng \(AB\) cũng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 4} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;\, - 3} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(2x - 3y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d:x + 2y - 6 = 0\) nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,2} \right)\). Do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\). 

Lại có điểm \(A\left( {0;\,\,3} \right) \in d\). Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y + 15 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:x - 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\, - 2} \right)\).

Ta thấy \(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) =  - 4 \ne 0\).

Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}\). 

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:3x + 4y - 2 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;\,4} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {a;\,\, - 2} \right)\), do đó đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;\,\,a} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ  = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }} \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt 2 \left| {3a - 8} \right|\)\( \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 18{a^2} - 96a + 128\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d: - 3x + y - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\). Đường thẳng này có dạng \(x + 3y + m = 0\).

Vì \(M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta \) nên \( - 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m =  - 1\).

Do đó, phương trình của \(\Delta \) là \(x + 3y - 1 = 0\).

Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là : D

Đường tròn tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) có phương trình là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {7^2}\).

Do đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 7\).

Đáp án đúng là: B

Đường tròn có tâm \(I\left( {1;\,\,1} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2 = 0\) có bán kính là

\(R = d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\).

Vậy phương trình đường tròn cần lập là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

Đặt độ dài một cạnh của vườn hoa hình chữ nhật là \(x\) (m) \(\left( {0 < x < 100} \right)\). Vì đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính của hình tròn nên áp dụng định lí Pythagore ta suy ra độ dài cạnh còn lại của vườn hoa hình chữ nhật đó là \(\sqrt {{{100}^2} - {x^2}}  = \sqrt {10\,\,000 - {x^2}} \) (m).

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là:

\(2\left( {\sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  + x} \right) = 280\)  (m).

Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  + x} \right) = 280\) (*).

Ta có: \(2\left( {\sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  + x} \right) = 280\)\( \Leftrightarrow \sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  = 140 - x\)

\( \Rightarrow 10\,000 - {x^2} = 19\,600 - 280x + {x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 4\,800 = 0\)\( \Rightarrow x = 80\) hoặc \(x = 60\).

Thử lại ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm \(x = 80\) (m) hoặc \(x = 60\) (m). Nếu \(x = 80\) (m) thì độ dài cạnh còn lại là 60 m và ngược lại.

Vậy kích thước vườn hoa là 60 × 80 m.

Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 5}}\), do đó hai đường thẳng \[x + 3y - 6 = 0\] và \[2x - 5y - 1 = 0\] cắt nhau.

Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có hai cạnh \[AB:x + 3y - 6 = 0\] và \[AD:2x - 5y - 1 = 0\].

Khi đó, tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\].

Vì tâm của hình bình hành là điểm \[I\left( {3;5} \right)\] nên \[I\] là trung điểm của \[AC\], do đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = {x_A} + {x_C}\\2{y_I} = {y_A} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 3 + {x_C}\\10 = 1 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 9\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow C\left( {3;9} \right)\].

Vì \[DC\,\,{\rm{//}}\,\,AB\] nên phương trình \[DC:x + 3y + n = 0\] \(\left( {n \ne  - 6} \right)\).

\[C\left( {3;9} \right) \in DC \Rightarrow 3 + 27 + n = 0 \Rightarrow n =  - 30\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[DC:x + 3y - 30 = 0\].

Vì \[BC\,\,{\rm{//}}\,AD\] nên phương trình \[BC:2x - 5y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne  - 1} \right)\].

\[C\left( {3;9} \right) \in BC \Rightarrow 6 - 45 + m = 0 \Rightarrow m = 39\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[BC:2x - 5y + 39 = 0\].

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Ta có điểm \(M\)thuộc \(d:x - y + 1 = 0\) nên \(M\left( {a;a + 1} \right)\).

Gọi \(K\) trung điểm của \(MI\)thì \(K\left( {\frac{{a + 1}}{2};\frac{{a - 1}}{2}} \right)\).

Vì \(\Delta MAI\) và \(\Delta MBI\) lần lượt vuông tại \(A\) và \(B\) (định nghĩa tiếp tuyến)  nên \(KA = KB = \frac{1}{2}MI\).

Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(K\), đường kính \(MI\) nên có phương trình

\({\left( {x - \frac{{a + 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a - 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 5}}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\).

Đường thẳng \(AB\)  là giao của hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) nên tọa độ điểm \(A,B\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).

Suy ra đường thẳng\(AB\) có phương trình \(\left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)đến \(AB\) là \(d\left( {N,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - 3a} \right|}}{{2\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {a + 3} \right)}^2}} }} = 1\).

\[ \Rightarrow 2\sqrt {2{a^2} + 4a + 10}  = \left| {1 - 3a} \right|\]

\( \Rightarrow 4\left( {2{a^2} + 4a + 10} \right) = 9{a^2} - 6a + 1\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 22a - 39 = 0 \Leftrightarrow a = 11 \pm 4\sqrt {10} \).

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của \(a\) đều thỏa mãn.

Vậy \(M\left( {11 + 4\sqrt {10} ;12 + 4\sqrt {10} } \right)\) hoặc \(M\left( {11 - 4\sqrt {10} ;12 - 4\sqrt {10} } \right)\).