Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền \(y\) (đồng) phải chi trả và số bút \(x\) (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là
\(y = 5000x\);
\(y = 5000 + x\);
\(x = 5000y\);
\(y = 5x\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền \(y\) (đồng) phải chi trả và số bút \(x\) (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là \(y = 5000x\) (đồng).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho bởi bảng dưới:
\(x\) | – 1 | – 2 | 1 | 1,5 |
\(y\) | 3 | 5 | 3 | 2 |
Giá trị hàm số tại \(x = 1,5\) là
3;
2;
5;
1.
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng ta thấy, tại \(x = 1,5\) giá trị \(y\) tương ứng là 2. Do đó, giá trị hàm số tại \(x = 1,5\) là 2.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho bởi hình dưới:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(\left( {3;\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {4 - 2x} \) là
\(D = \left( { - \infty ;0} \right)\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\);
\(D = \left( { - \infty ;2} \right)\);
\(D = \left( { - \infty ;2} \right]\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của hàm số \(y = \sqrt {4 - 2x} \) là: \(4 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 4 \Leftrightarrow x \le 2\).
Vậy, tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {4 - 2x} \) là \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\).
Giá trị của hàm số \(y = 6x - 3{x^3} + 2023\) tại \(x = 0\) là
2023;
2022;
0;
1.
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 0\) vào công thức của hàm số \(y = 6x - 3{x^3} + 2023\) ta có:
\(y = 6.0 - {3.0^3} + 2023 = 2023\)
Vậy tại \(x = 0\) thì giá trị của hàm số là 2023.
Hàm số nào sau đây không phải là hàm số bậc hai ?
\(y = 6{x^2} - {x^3} + 20\);
\(y = {x^2} - 3x + 23\);
\(y = {x^2} - 4\);
\(y = {x^2} - x\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Như vậy, hàm số \(y = 6{x^2} - {x^3} + 20\) không phải hàm số bậc hai.
Khẳng định nào về đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) là đúng ?
Đồ thị là một đường thẳng;
Đồ thị là một đường parabol có bề lõm hướng lên trên;
Đồ thị là một đường parabol có bề lõm hướng xuống dưới;
Đồ thị song song với trục hoành.
Đáp án đúng là: C
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) có dạng hình parabol với bề lõm hướng xuống dưới.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\) là
\(y = \frac{{ - b}}{{2a}}\);
\(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\);
\(y = \frac{b}{{2a}}\);
\(x = \frac{b}{{2a}}\).
Đáp án đúng là: B
Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} - 2x + 5\) là
\(\frac{1}{4}\);
\( - \frac{1}{4}\);
\(\frac{{19}}{4}\);
\( - \frac{{19}}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Đồ thị hàm số \(y = 4{x^2} - 2x + 5\) là parabol có bề lõm hướng lên trên (do \(a = 4 > 0\)) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh parabol.
Hoành độ đỉnh parabol là: \(x = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.4}} = \frac{1}{4}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \({y_{\min }} = 4.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 2.\frac{1}{4} + 5 = \frac{{19}}{4}\).
Hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(C\left( {7;9} \right)\) là
\(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{1}{9}\);
\(y = f\left( x \right) = \frac{{18}}{{11}}{x^2} - \frac{3}{{18}}x - \frac{{11}}{9}\);
\(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} - \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\);
\(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\).
Đáp án đúng là: D
Gọi hàm số bậc hai có dạng \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Đồ thị hàm số đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(C\left( {7;9} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + c = 2\\a{.4^2} + b.4 + c = 5\\a{.7^2} + b.7 + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2\\16a + 4b + c = 5\\49a + 7b + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{18}}\\b = \frac{{13}}{{18}}\\c = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\).
Như vậy, hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước;
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số nguyên cho trước (với \(a \ne 0\)).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)).
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\](với \(a \ne 0\)), khi nào thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\) ?
Khi \(\Delta > 0\);
Khi \(\Delta < 0\);
Khi \(a > 0\);
Khi \(a < 0\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] (với \(a \ne 0\)), khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là
\(a = 2\), \(b = 0\), \(c = 1\);
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\);
\(a = - 1\), \(b = 1\), \(c = - 2\);
\(a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 2\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là:
\(a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 2\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\mathbb{R}\);
\(\left( { - \infty ;0} \right)\);
\(\left( {0; + \infty } \right)\);
Các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 = - 7 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] không thể mang dấu âm trên tập số thực.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là
\(S = \left[ { - 1;4} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - 1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4\)
\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1\)
Như vậy, \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là \(S = \left[ { - 1;4} \right]\).
Cho phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = 2x - 5\), giá trị nào sau đây không thể là một nghiệm của phương trình trên?
\(x = 1\);
\(x = 6\);
\(x = 3\);
\(x = 4\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 1\) vào vế phải của phương trình ta có: \(2.1 - 5 = - 3 < 0\)
Mà vế trái \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \ge 0\) với mọi số thực \(x\)
Do đó, \(x = 1\) không thể là một nghiệm của phương trình đã cho.
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 3} = x - 5\) là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(x = 3\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 1\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{1^2} + 1 + 3} = \sqrt 5 \ne 1 - 5 = - 4\)
Thay \(x = 2\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3 \ne 2 - 5 = - 3\)
Thay \(x = 3\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{3^2} + 3 + 3} = \sqrt {15} \ne 3 - 5 = - 2\)
Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x - 6} = \sqrt {4{x^2} - 3x + 1} \) là
\(S = \mathbb{R}\);
\(S = \emptyset \);
\(S = \left\{ {1; - 1} \right\}\);
\(S = \left\{ {2; - 2} \right\}\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x - 6} = \sqrt {4{x^2} - 3x + 1} \) ta được:
\({x^2} + 4x - 6 = 4{x^2} - 3x + 1\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x + 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow x \in \emptyset \)
Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x - 6} = \sqrt {4{x^2} - 3x + 1} \) vô nghiệm.
Cô giáo yêu cầu bốn bạn Lan, Hoa, Hiếu, Hùng dự đoán số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \). Lan dự đoán phương trình có 1 nghiệm, Hoa dự đoán phương trình vô nghiệm, Hiếu dự đoán phương trình có 2 nghiệm, Hùng dự đoán phương trình có 3 nghiệm. Bạn nào dự đoán đúng ?
Lan;
Hoa;
Hiếu;
Hùng.
Đáp án đúng là: C
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có:
\(2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.\)
Thay \(x = 3 + \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Thay \(x = 3 - \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {5;8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {0;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2;5 - 3} \right) = \left( {1;2} \right)\).
Đường thẳng \(d:4x - y + 2 = 0\) đi qua điểm nào sau đây ?
\(A\left( {1; - 2} \right)\);
\(B\left( {1;2} \right)\);
\(C\left( { - 1;2} \right)\);
\(D\left( { - 1; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét điểm \(D\left( { - 1; - 2} \right)\) ta có: \(4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right) + 2 = 0\)
Do đó, điểm \(D\left( { - 1; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \(d:4x - y + 2 = 0\) hay đường thẳng \(d:4x - y + 2 = 0\) đi qua điểm \(D\left( { - 1; - 2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là
\(4x - 3y = 0\);
\(4x + 3y + 5 = 0\);
\(4x - 3y + 5 = 0\);
\(4x - 3y - 5 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
\(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 5 = 0\).
Cho điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và điểm \(D\left( { - 5;3} \right)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là
\(7x + y + 18 = 0\);
\(x - 7y + 26 = 0\);
\(x - 7y - 18 = 0\);
\(7x + y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(CD\) đi qua hai điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và \(D\left( { - 5;3} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 5 - 2;3 - 4} \right) = \left( { - 7; - 1} \right)\).
Do đó, \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 7} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y + 26 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 1 + 7t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Xét điểm \(M\left( {1;1} \right)\) ta thấy \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 7} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {7;4} \right)\).
Phương trình tham số của \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), biết \({d_1}\,{\rm{v\`a }}\,{d_2}\)vuông góc với nhau, khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm;
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) vô nghiệm;
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có duy nhất một nghiệm;
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: C
Cho hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), biết \({d_1} \bot {d_2}\) hay \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại 1 điểm, do đó, hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có duy nhất một nghiệm.
Góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\) được xác định bởi công thức nào dưới đây ?
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {am + bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\];
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {am - bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\];
\[\cos \alpha = \frac{{am + bn}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\];
\[\cos \alpha = \frac{{am + bn}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} .\sqrt {{m^2} - {n^2}} }}\].
Đáp án đúng là: A
Góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\) được xác định bởi công thức:
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {am + bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\].
Cho đường thẳng \(\Delta :3x + 2y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\), khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là
\(\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2;4} \right)\), \(B\left( {1;2} \right)\), \(C\left( {3;4} \right)\), khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\) là
\( - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\);
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\);
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\);
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\left( {1;2} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;2 - 4} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:
\(2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\) là:
\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là
\(M\left( {\frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( {\frac{{10}}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y + 4 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = - 4\\x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{{11}}{4}\end{array} \right.\).
Vậy giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là: \(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 14 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 16 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 13 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\).
Xét phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\) có:
\(a = 2\); \(b = - 3\); \(c = - 7\) và \({2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 7} \right) = 20 > 0\)
Do đó, phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\) là phương trình đường tròn.
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là
\(I\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(R = 9\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = 9\);
\(I\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(R = 3\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = 3\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm và bán kính là:
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 9 = 3\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {3;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {3;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là:
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) nên có bán kính là: \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.5 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\).
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 52\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) có bán kính là:
\(R = AB = \sqrt {{{\left( {4 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt {13} \)
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) là:
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
Bác Trung có một tấm lưới dài 30 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn 3 mặt áp lên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để nuôi gà. Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)
Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)
Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 30x\) (m2).
Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:
\(S\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a = - 2 < 0\)
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)
\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)
Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).
Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} + 1 = 2x\).
Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} + 1 = 2x\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1\).
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1\) ta được:
\(2{x^2} + 5x - 3 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 = 4{x^2} - 4x + 1\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Xét phương trình (*) có:
\(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.4 = 49 > 0\)
Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {49} }}{{2.2}} = 4\);
\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {49} }}{{2.2}} = \frac{1}{2}\).
Thay \(x = 4\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1\) ta thấy giá trị \(x = 4\) thỏa mãn là một nghiệm của phương trình.
Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1\) ta thấy giá trị \(x = \frac{1}{2}\) thỏa mãn là một nghiệm của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{1}{2};4} \right\}\).
Cho tam giác \(ABC\) với tọa độ đỉnh \(C\left( {4; - 1} \right)\), đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_1}} \right):2x - 3y + 12 = 0\) và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\). Lập phương trình tổng quát các đường thẳng \(AB\), \(AC\), \(BC\).
Vì \(BC\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) nên đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {3;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).
Điểm \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AC\) là:
\(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), khi đó điểm \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) và \(BC\)
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)\).
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) = - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {11; - 9} \right)\) là vectơ chỉ phương và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {9;11} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình của đường thẳng \(AB\) là:
\(9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0\).
