Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng: \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Đồ thị đi qua điểm \(A\left( {0;0} \right)\) nên ta có: \(a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\).

Đồ thị đi qua điểm \(B\left( { - 1;5} \right)\) nên ta có: \(a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 5 \Leftrightarrow a - b = 5\).

Đồ thị có trục đối xứng \(x = \frac{3}{4}\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4} \Rightarrow 6a + 4b = 0\).

Từ những điều trên, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\6a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\a = 2\end{array} \right.\).

Như vậy, \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x\).

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Như vậy, \(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\) không phải là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc  hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta  \ge 0\). Khi đó, \(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực hay \(f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x\) có các hệ số là: \(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 0\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) có: \(a = 1 > 0\) và \(b =  - 2022\) và \(c = 0\).

\(\Delta  = {\left( { - 2022} \right)^2} - 4.0.1 = {2022^2} > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 2022\)

Do đó, \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0\) có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0\)

Như vậy, \(f\left( x \right)\) mang dấu âm trên khoảng \(\left( {0;2022} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1\) có:

\(a =  - 4 < 0\)

\(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) =  - 12 < 0\)

Do đó, \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\)

Hay \(2x - 4{x^2} < 1\) với mọi số thực \(x\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là: \(S = \mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: – 3 – 2 = – 5 < 0, do đó khi \(x =  - 3\) thì vế phải của phương trình âm, mà vế trái luôn không âm. Vậy giá trị \(x =  - 3\) không thể là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: C

Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2 do bạn chưa thử lại các giá trị \(x\) đã tìm được có thỏa mãn phương trình đã cho hay không mà đã kết luận nghiệm.

Dễ thấy, \(x =  - 2\) không thỏa mãn vì – 2 – 1 = – 3 < 0, và \(x = 5\) thỏa mãn, do đó, tập nghiệm đúng của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9}  = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) ta được:

\(2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9}  = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x}  = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) ta được:

\({x^2} - 5x = 3{x^2} - x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 - \sqrt 3 \\x =  - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Thay \(x =  - 1 - \sqrt 3 \) vào hai vế phương trình đã cho ta có:

\(\sqrt {{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - 5.\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}  = \sqrt {3.{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) - 4} \,\,\,\,\left( { = \sqrt {9 + 7\sqrt 3 } } \right)\).

Do đó, \(x =  - 1 - \sqrt 3 \) thỏa mãn.

Thay \(x =  - 1 + \sqrt 3 \) vào hai vế phương trình đã cho ta thấy:

\({\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 5.\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = 9 - 7\sqrt 3  < 0 \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - 5\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)} \) không tồn tại, do đó, \(x =  - 1 + \sqrt 3 \) không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x}  = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) là: \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0\) là: \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm \(B\left( { - 2;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng ta có:

\( - 2 - 2.3 + 8 = 0\)

Do đó, điểm \(B\left( { - 2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 8 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là \(1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CB}  = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)\), do đó, \(d\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {6;5} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(A\left( {5;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;2} \right)\), do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;4} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 2.\left( { - 1} \right) + 3.4 = 10\);

\(\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \);

\(\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)là: \[\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {17} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\].

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{9}{{13}}\\y =  - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\).

Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\), do đó, \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

\({d_1}:2x - y + 12 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\).

\({d_2}:4mx + my - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m;m} \right)\).

Để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau thì:

\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) có tâm và bán kính lần lượt là:

\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = \sqrt {16}  = 4\).

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;9} \right)\) và bán kính \(R = 16\) có phương trình là:

\({\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = {16^2}\) hay \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) không phải phương trình đường tròn vì phương trình đường tròn có dạng:

\({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\);

Hoặc \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với \(R > 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \)

Do \(M\left( {1;0} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\) nên bán kính: \(R = IM = 3\sqrt 2  \Rightarrow {R^2} = 18\).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18\).

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 1\).

Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;0} \right)\) nên \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow {IA}  = \left( {0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( {2;0} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là: \(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\).

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ sau:

Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Ta có:\(AH = 4 \Rightarrow OH = \frac{{200}}{2} - 4 = 96\,\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(MH = 12 - 10 = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(OA = OB = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Do đó, \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\).

Do parabol đi qua ba điểm \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 100} \right)^2} + b.\left( { - 100} \right) + c = 0\\a{.100^2} + b.100 + c = 0\\a.{\left( { - 96} \right)^2} + b.\left( { - 96} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{392}}\\b = 0\\c = \frac{{1250}}{{49}}\end{array} \right.\).

Do đó, phương trình parabol là: \(y =  - \frac{1}{{392}}{x^2} + \frac{{1250}}{{49}}\).

Đỉnh parabol có hoành độ \(x = 0\) (từ hình vẽ) nên có tung độ là: \(y = \frac{{1250}}{{49}} \approx 25,5\).

Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.

Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6}  = 3x - 1\) ta được:

\(4{x^2} - 5x + 6 = {\left( {3x - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 5x + 6 = 9{x^2} - 6x + 1\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} - x - 5 = 0\,\,\left( * \right)\)

Xét phương trình \(\left( * \right)\) có:

\(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.5.\left( { - 5} \right) = 101 > 0\)

Do đó, phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {101} }}{{2.5}} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}\);\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {101} }}{{2.5}} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}\).

Thay \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}\) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6}  = 3x - 1\) ta có: \(\sqrt {4.{{\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right)}^2} - 5.\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right) + 6}  = 3.\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right) - 1\), do đó, \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}\) thỏa mãn.

Thay \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}\) vào phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6}  = 3x - 1\) ta thấy:

\(3.\left( {\frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}} \right) - 1 < 0\), do đó, \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}\) không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6}  = 3x - 1\) là: \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right\}\).

Bởi vì người \(I\) sống trên Trái Đất nên điểm \(I\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) bán kính \(R = 1\). Phương trình đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = 1\).

Khoảng cách \(IM = 3\); \(IN = \sqrt {34} \).

Gọi đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(M\) bán kính \(IM\), ta có phương trình đường tròn: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\).

Gọi đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là đường tròn tâm \(N\) bán kính \(IN\), ta có phương trình đường tròn: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\).

Điểm \(I\) thuộc cả ba đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) nên ta có tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vì hệ có nghiệm nên có thể xác định tọa độ của người \(I\) trên hệ thống GPS là \(\left( {1;0} \right)\).