Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Hàm số \[s\left( t \right)\] mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian \(t\) (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc \(5\) km/h. Công thức của hàm số \[s\left( t \right)\] là
\(s\left( t \right) = 5t\) (km);
\(s\left( t \right) = 5t\) (h);
\(s\left( t \right) = 25t\) (km);
\(s\left( t \right) = 25t\) (h).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[s\left( t \right)\] mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian \(t\) (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc \(5\) km/h.
Công thức của hàm số \[s\left( t \right)\] là: \(s\left( t \right) = 5t\) (km).
(quãng đường của chuyển động thẳng đều bằng vận tốc nhân thời gian).
Cho bảng giá trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
x | – 2 | – 1 | 1 | 2 |
y | 2 | 1 | 1 | 2 |
Giá trị của hàm số tại \(x = 2\) là
\(y = 2\);
\(y = 1\);
\(x = 2\);
\(x = 1\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng giá trị ta thấy, tại \(x = 2\) ta có giá trị \(y\) tương ứng là \(y = 2\).
Vậy giá trị của hàm số tại \(x = 2\) là \(y = 2\).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) được vẽ như hình dưới.
Khoảng đồng biến của hàm số trên là
\(\left( { - \infty ;1} \right)\);
\(\left( {0;1} \right)\);
\(\mathbb{R}\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), do đó, hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}\) là
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}\) là: \(2x - 8 \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 4\).
Do vậy, tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 1\), giá trị của hàm số tại \(x = 4\) là
\(x = 304\);
\(x = 305\);
\(y = 304\);
\(y = 305\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 4\) vào \(y = f\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 1\) ta có:
\(y = f\left( 4 \right) = {5.4^3} - 4.4 + 1 = 305\)
Vậy giá trị của hàm số tại \(x = 4\) là \(y = 305\).
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có các hệ số \(a = 2\); \(b = 1\); \(c = 2022\) là
\(y = f\left( x \right) = 2x + 2022\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + 2022\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + x + 2022\);
\(y = f\left( x \right) = 2022{x^2} + 2\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\)
Như vậy, công thức của hàm số \(y = f\left( x \right)\) có các hệ số \(a = 2\); \(b = 1\); \(c = 2022\) là: \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + x + 2022\).
Đồ thị hàm số bậc hai có dạng:
Đường thẳng;
Đường cong hypebol;
Đường cong parabol;
Đường elip.
Đáp án đúng là: C
Đồ thị hàm số bậc hai có dạng đường cong parabol.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) được vẽ như hình dưới.
Đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là
\(O\left( {0;0} \right)\) và \(x = 0\);
\(O\left( {0;0} \right)\) và \(y = 0\);
\(O\left( {1;1} \right)\) và \(x = 1\);
\(O\left( {1;1} \right)\) và \(y = 1\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là: \(O\left( {0;0} \right)\) và \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 4\), khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\);
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 4\) có: \(a = 1 > 0\), \(b = - 2\), \(c = 4\).
Ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1\).
Như vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đi qua hai điểm \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;5} \right)\)và có trục đối xứng \(x = \frac{3}{4}\) có công thức là
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 1\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 5\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + 3x\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng: \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Đồ thị đi qua điểm \(A\left( {0;0} \right)\) nên ta có: \(a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\).
Đồ thị đi qua điểm \(B\left( { - 1;5} \right)\) nên ta có: \(a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 5 \Leftrightarrow a - b = 5\).
Đồ thị có trục đối xứng \(x = \frac{3}{4}\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4} \Rightarrow 6a + 4b = 0\).
Từ những điều trên, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\6a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\a = 2\end{array} \right.\).
Như vậy, \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x\).
Trong các biểu thức sau, đâu không phải là tam thức bậc hai ?
\(f\left( x \right) = 4x - 5{x^2}\);
\(f\left( x \right) = 2 + 3{x^2} - 2x\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4\);
\(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Như vậy, \(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\) không phải là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta \ge 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(f\left( x \right)\) luôn dương trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn âm trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn không dương trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta \ge 0\). Khi đó, \(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực hay \(f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x\) có các hệ số là
\(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 1\);
\(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 0\);
\(a = 2022\), \(b = 2021\), \(c = 0\);
\(a = 2021\), \(b = 0\), \(c = 2022\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x\) có các hệ số là: \(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 0\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\left( { - \infty ;2022} \right)\);
\(\left( {0;2022} \right)\);
\(\left( {2022; + \infty } \right)\);
\(\left( { - 2022;2022} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) có: \(a = 1 > 0\) và \(b = - 2022\) và \(c = 0\).
\(\Delta = {\left( { - 2022} \right)^2} - 4.0.1 = {2022^2} > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 2022\)
Do đó, \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0\) có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0\)
Như vậy, \(f\left( x \right)\) mang dấu âm trên khoảng \(\left( {0;2022} \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là
\(S = \mathbb{R}\);
\(S\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1\) có:
\(a = - 4 < 0\)
\(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 12 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\)
Hay \(2x - 4{x^2} < 1\) với mọi số thực \(x\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là: \(S = \mathbb{R}\).
Cho phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = x - 2\), giá trị nào sau đây không thể là nghiệm của phương trình ?
– 3;
2;
4;
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có: – 3 – 2 = – 5 < 0, do đó khi \(x = - 3\) thì vế phải của phương trình âm, mà vế trái luôn không âm. Vậy giá trị \(x = - 3\) không thể là nghiệm của phương trình.
Một bạn giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = x - 1\) như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình ta thu được:
\(2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.\).
Bước 2: Kết luận: Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;5} \right\}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Bạn đó giải đúng phương trình;
Bạn đó giải sai phương trình ở bước 1;
Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2;
Bạn đó giải sai ở cả hai bước.
Đáp án đúng là: C
Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2 do bạn chưa thử lại các giá trị \(x\) đã tìm được có thỏa mãn phương trình đã cho hay không mà đã kết luận nghiệm.
Dễ thấy, \(x = - 2\) không thỏa mãn vì – 2 – 1 = – 3 < 0, và \(x = 5\) thỏa mãn, do đó, tập nghiệm đúng của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \), số nghiệm của phương trình này là
1 nghiệm;
2 nghiệm;
3 nghiệm;
0 nghiệm.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) ta được:
\(2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) là
\(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}\);
\(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 3 } \right\}\);
\(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 ;\, - 1 + \sqrt 3 } \right\}\);
\(S = \emptyset \).
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) ta được:
\({x^2} - 5x = 3{x^2} - x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 3 \\x = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Thay \(x = - 1 - \sqrt 3 \) vào hai vế phương trình đã cho ta có:
\(\sqrt {{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - 5.\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)} = \sqrt {3.{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) - 4} \,\,\,\,\left( { = \sqrt {9 + 7\sqrt 3 } } \right)\).
Do đó, \(x = - 1 - \sqrt 3 \) thỏa mãn.
Thay \(x = - 1 + \sqrt 3 \) vào hai vế phương trình đã cho ta thấy:
\({\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 5.\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = 9 - 7\sqrt 3 < 0 \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - 5\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)} \) không tồn tại, do đó, \(x = - 1 + \sqrt 3 \) không thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) là: \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\) là
\(\overrightarrow n = \left( {1;5} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {5;1} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;5} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0\) là: \(\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)\).
Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(x - 2y + 8 = 0\) ?
\(A\left( {1;5} \right)\);
\(B\left( { - 2;3} \right)\);
\(C\left( { - 2;5} \right)\);
\(D\left( {0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm \(B\left( { - 2;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng ta có:
\( - 2 - 2.3 + 8 = 0\)
Do đó, điểm \(B\left( { - 2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 8 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là
\(x - 2y - 2 = 0\);
\(x + 2y - 2 = 0\);
\(x + 2y = 0\);
\(x + 2y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là \(1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\).
Đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có phương trình tổng quát là
\(6x + 5y = 0\);
\(6x - 5y - 7 = 0\);
\(6x + 5y - 7 = 0\);
\(6x + 5y - 17 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)\), do đó, \(d\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {6;5} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0\).
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) có phương trình tổng quát là
\(x - 2y - 7 = 0\);
\(x + 2y + 7 = 0\);
\(x + 2y - 7 = 0\);
\(x + 2y = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(A\left( {5;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 4;2} \right)\), do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;4} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: D
Ta có: hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{3d - 4e + f}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{3d - 4e + f}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).
Có góc \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3} \right)\) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;4} \right)\). Ta có: \[\cos \alpha = ?\]
\[\frac{{10}}{{\sqrt {17} }}\];
\[\frac{{10}}{{\sqrt {13} }}\];
\[ - \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\];
\[\frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) + 3.4 = 10\);
\(\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \);
\(\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \).
Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)là: \[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {17} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\].
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - 5y + 1 = 0\) và \({d_2}:4x + 3y + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{{13}}\\y = - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\).
Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\), do đó, \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - y + 12 = 0\) và \({d_2}:4mx + my - 1 = 0\). Giá trị của \(m\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau là
0;
1;
2;
– 1.
Đáp án đúng là: A
\({d_1}:2x - y + 12 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\).
\({d_2}:4mx + my - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;m} \right)\).
Để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau thì:
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) có tâm và bán kính lần lượt là
\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = 16\);
\(I\left( {1; - 3} \right)\) và \(R = 16\);
\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {1; - 3} \right)\)và \(R = 4\).
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) có tâm và bán kính lần lượt là:
\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = \sqrt {16} = 4\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;9} \right)\) và bán kính \(R = 16\) có phương trình là
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 16\);
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} = 16\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} = 256\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;9} \right)\) và bán kính \(R = 16\) có phương trình là:
\({\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = {16^2}\) hay \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256\).
Phương trình nào sau đây không phải phương trình đường tròn ?
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\);
\({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 8x - 18y + 43 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 10 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) không phải phương trình đường tròn vì phương trình đường tròn có dạng:
\({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\);
Hoặc \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với \(R > 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;0} \right)\) có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 18\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 18\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 18\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \)
Do \(M\left( {1;0} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\) nên bán kính: \(R = IM = 3\sqrt 2 \Rightarrow {R^2} = 18\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18\).
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;0} \right)\) là đường thẳng \(\Delta \). Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là
\(2x - y = 0\);
\(y = 0\);
\(x = 0\);
\(2x + y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 1\).
Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;0} \right)\) nên \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( {2;0} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là: \(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\).
Một con sông rộng 200 m, sâu 10 m, để thuận lợi cho giao lưu buôn bán hai bờ sông, người ta dự định xây dựng cây cầu bắc qua sông. Mỗi bên đầu cầu có một cột trụ (minh họa như hình vẽ), độ dài của mỗi cột trụ là 12 m và khoảng cách từ chân cầu đến cột trụ là 4 m. Tính độ cao của cầu (tính từ mặt sông đến điểm cao nhất của cầu, làm tròn đến hàng phần mười).
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ sau:
Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Ta có:\(AH = 4 \Rightarrow OH = \frac{{200}}{2} - 4 = 96\,\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(MH = 12 - 10 = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(OA = OB = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)\)
Do đó, \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\).
Do parabol đi qua ba điểm \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 100} \right)^2} + b.\left( { - 100} \right) + c = 0\\a{.100^2} + b.100 + c = 0\\a.{\left( { - 96} \right)^2} + b.\left( { - 96} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{392}}\\b = 0\\c = \frac{{1250}}{{49}}\end{array} \right.\).
Do đó, phương trình parabol là: \(y = - \frac{1}{{392}}{x^2} + \frac{{1250}}{{49}}\).
Đỉnh parabol có hoành độ \(x = 0\) (từ hình vẽ) nên có tung độ là: \(y = \frac{{1250}}{{49}} \approx 25,5\).
Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.
Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.
Giải phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1\).
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1\) ta được:
\(4{x^2} - 5x + 6 = {\left( {3x - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 5x + 6 = 9{x^2} - 6x + 1\)
\( \Leftrightarrow 5{x^2} - x - 5 = 0\,\,\left( * \right)\)
Xét phương trình \(\left( * \right)\) có:
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.5.\left( { - 5} \right) = 101 > 0\)
Do đó, phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {101} }}{{2.5}} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}\);\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {101} }}{{2.5}} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}\).
Thay \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}\) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1\) ta có: \(\sqrt {4.{{\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right)}^2} - 5.\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right) + 6} = 3.\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right) - 1\), do đó, \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}\) thỏa mãn.
Thay \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}\) vào phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1\) ta thấy:
\(3.\left( {\frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}} \right) - 1 < 0\), do đó, \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}\) không thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1\) là: \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right\}\).
Trong hệ thống GPS, người ta coi Trái Đất là đường tròn tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) bán kính \(R = 1\) trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], để xác định vị trí một người \(I\) sống trên Trái Đất, hai vệ tinh \(M\) và \(N\) di chuyển đến các điểm có tọa độ lần lượt là \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( { - 2;5} \right)\), vệ tinh \(M\) đo được khoảng cách giữa nó và người đó là 3, vệ tinh \(N\) đo được khoảng cách giữa nó và người đó là \(\sqrt {34} \). Hãy cho biết, tại hai vị trí \(M\) và \(N\) có xác định được tọa độ của người \(I\) qua hệ thống GPS hay không ? Nếu có, tọa độ đó là bao nhiêu ?
Bởi vì người \(I\) sống trên Trái Đất nên điểm \(I\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) bán kính \(R = 1\). Phương trình đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = 1\).
Khoảng cách \(IM = 3\); \(IN = \sqrt {34} \).
Gọi đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(M\) bán kính \(IM\), ta có phương trình đường tròn: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\).
Gọi đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là đường tròn tâm \(N\) bán kính \(IN\), ta có phương trình đường tròn: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\).
Điểm \(I\) thuộc cả ba đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) nên ta có tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).
Vì hệ có nghiệm nên có thể xác định tọa độ của người \(I\) trên hệ thống GPS là \(\left( {1;0} \right)\).
