Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
20 câu hỏi
Biểu thức nào sau đây không là hàm số theo biến \(x\)?
\(y = \sqrt {{x^2} - 1} \).
\({y^4} = {x^3}\).
\(y = 5{x^2} - 3x + 4\).
\(y = x\).
Đáp án đúng là: B
\({y^4} = {x^3}\) không là hàm số theo biến \(x\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Tồn tại \(x\) để \(f\left( x \right) = 0\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\) thì \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).
\(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).
\(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
\(\sqrt {{x^2} - x - 4} = \sqrt {x - 4} \).
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \) ta thấy thỏa mãn. Suy ra \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\). Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là:
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 5;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4;5} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 5;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) được xác định theo công thức
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_1^2 + b_1^2} }}\).
\(\cos \varphi = \sqrt {\frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \).
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
\(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Đáp án đúng là: C
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Tổng khoảng cách từ một điểm \(M\) bất kì trên \(\left( E \right)\) đến hai tiêu điểm là
\(6\).
\(4\).
\(3\).
\(9\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\).
Do đó tổng khoảng cách từ một điểm \(M\) bất kì trên \(\left( E \right)\) đến hai tiêu điểm là\(2a = 6\).
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a > 0,b < 0,c < 0\).
\(a > 0,b < 0,c > 0\).
\(a > 0,b > 0,c > 0\).
\(a < 0,b < 0,c < 0\).
Đáp án đúng là: A
Parabol có bề lõm quay lên \( \Rightarrow a > 0\) loại D.
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\) loại B, C.
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x + 6 > 0\) là
\(\left( { - 1;6} \right)\).
\(\left\{ { - 1;6} \right\}\).
\(\left[ { - 1;6} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
\( - {x^2} + 5x + 6 > 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 6\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;6} \right)\).
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \) là
\(7\).
\( - 7\).
\(6\).
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình ta được \({x^2} + 2x - 3 = 15 - 5x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 7x - 18 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 9\).
Thay 2 giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 2;x = - 9\) đều là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \( - 7\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] và điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) là:
\(x - 3y + 19 = 0\).
\(x + 3y - 17 = 0\).
\(3x - y + 9 = 0\).
\(3x + y - 3 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
Giả sử \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:2x - y - 10 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 9 = 0\) có số đo bằng
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(135^\circ \).
\(45^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 3} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \({d_2}\).
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {5; - 1} \right),B\left( { - 3;7} \right)\). Đường tròn có đường kính \(AB\) có phương trình là
\({x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 22 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 22 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - y + 1 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 6x + 5y + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Tâm \(I\left( {1;3} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right)\)là trung điểm của \(AB\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 + 1} \right)}^2}} }}{2} = 4\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) có phương trình là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 32\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 22 = 0\).
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên
a) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
c) \(c > 0\).
d)\(a < 0;b > 0\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) đồ thị hàm số đi lên. Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
b) Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
c) Vì đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm nằm phía trên trục hoành nên \(c > 0\).
d) Vì bề lõm của \(\left( P \right)\) hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Lại có \(x = - \frac{b}{{2a}} > 0\) mà \(a < 0\) nên \(b > 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {1;3} \right)\).
a) Điểm \(A\) thuộc đường tròn.
b) Điểm \(B\) nằm trong đường tròn.
c)\(x = 1\) phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\).
d) Qua \(B\) kẻ được hai tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) có phương trình lần lượt là \(x = 1\) và \(3x + 4y - 12 = 0\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right);R = 2\).
a) Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2}} = 2 = R\). Suy ra điểm \(A\) thuộc đường tròn.
b) Ta có \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 > R\). Suy ra điểm \(B\) nằm ngoài đường tròn.
c) Có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2;0} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - \left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
d) Giả sử tiếp tuyến qua \(B\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ax + by - a - 3b = 0\;\left( {\rm{d}} \right)\).
Vì \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a.3 + b.\left( { - 1} \right) - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow \left| {2a - 4b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4ab + 4{b^2}} \right) = {a^2} + {b^2}\)\( \Leftrightarrow - 4ab + 3{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow b\left( {3b - 4a} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = \frac{3}{4}b\end{array} \right.\).
TH1: \(b = 0\) chọn \(a = 1\). Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(x - 1 = 0\).
TH2: Chọn \(b = 4 \Rightarrow a = 3\). Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y - 15 = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của \(f\left( 2 \right)\)bằng bao nhiêu?
Trả lời: −1
Dựa vào đồ thị hàm số ta có\(f\left( 2 \right) = - 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\). Biết khoảng cách từ tiêu điểm \(F\) đến đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\) bằng \(2\sqrt 2 \). Tính tổng các giá trị của \(p\) thỏa mãn đề bài.
Trả lời: 48
Ta có \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\).
Ta có \(d\left( {F,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{p}{2} - 12} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\frac{p}{2} - 12} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{p}{2} = 16\\\frac{p}{2} = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 32\\p = 16\end{array} \right.\).
Do đó tổng các giá trị của \(p\) là 48.
Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao 1,6 m so với mặt đất với vận tốc 10 m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 10t + 1,6\). Hỏi bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao nhiêu giây? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: 1,18
Bóng ở độ cao trên 5 m khi \( - 4,9{t^2} + 10t + 1,6 > 5\)\( \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 10t - 3,4 > 0\)\( \Leftrightarrow 0,43 < t < 1,61\).
Vậy bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian 1,18 giây.
Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao 1,6 m so với mặt đất với vận tốc 10 m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 10t + 1,6\). Hỏi bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao nhiêu giây? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: 1,18
Bóng ở độ cao trên 5 m khi \( - 4,9{t^2} + 10t + 1,6 > 5\)\( \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 10t - 3,4 > 0\)\( \Leftrightarrow 0,43 < t < 1,61\).
Vậy bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian 1,18 giây.
Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho điểm \(I\left( { - 2;\;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + 1 = 0.\) Tìm bán kính của đường tròn có tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(\Delta \) tại hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 1,13
Ta có khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là: \(d = \frac{4}{5}.\)
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn.
Theo giả thiết ta có tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\) nên:
\(AB = 2d = \frac{8}{5};\;R = IA = \frac{{AB.\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{5} \approx 1,13.\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\).
