Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
20 câu hỏi
Cho bảng các giá trị tương ứng của hai đại lượng \(x,y\)
Tìm mệnh đề đúng
\(y\left( 5 \right) = - 7\).
\(y\left( { - 3} \right) = 1\).
\(y\left( 8 \right) = - 3\).
\(y\left( { - 1} \right) = 3\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng giá trị ta có \(y\left( 5 \right) = - 7\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 4x\). Trục đối xứng của đồ thị là
\(x = - 2\).
\(x = 0\).
\(x = 2\).
\(x = 4\).
Đáp án đúng là: A
Trục đối xứng của đồ thị là \(x = - \frac{4}{{2.1}} = - 2\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\) có phương trình tham số là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\) có phương trình tham số là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2t\end{array} \right.\).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:3x - 2y - 6 = 0\) và \({d_2}:6x - 2y - 8 = 0\).
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1},{d_2}\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.
Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \ne 0\) nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không vuông góc với nhau.
Tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) là
\(I\left( {1; - 1} \right),R = 9\).
\(I\left( {1; - 1} \right),R = 3\).
\(I\left( { - 1;1} \right),R = 3\).
\(I\left( { - 1;1} \right),R = 9\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), parabol \(\left( P \right)\) có phương trình chính tắc \({y^2} = 8x\) có tọa độ tiêu điểm là
\(F\left( {0;2} \right)\).
\(F\left( {2;0} \right)\).
\(F\left( {4;0} \right)\).
\(F\left( {0;4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Có \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\). Suy ra parabol có tiêu điểm là \(F\left( {2;0} \right)\).
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?
\(y = {x^2} - 3x + 1\).
\(y = - {x^2} + 3x - 1\).
\(y = - 2{x^2} + 3x - 1\).
\(y = 2{x^2} - 3x + 1\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Thay tọa độ 2 điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) vào đáp án D ta thấy thỏa mãn.
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) âm khi
\(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
\(x \in \left[ { - 4;2} \right]\).
\(x \in \left( { - 1;4} \right)\).
\(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 4\).
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) là
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(x - 1 = {x^2} - 6x + 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 5\) hoặc \(x = 2\).
Thay lần lượt hai giá trị của \(x\) vào phương trình ta được \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.
Suy ra phương trình có 1 nghiệm nguyên dương.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và tiếp xúc với trục \(Ox\) có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,Ox} \right) = 2\).
Ta có phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).
Cho elip \(\left( E \right)\) đi qua 2 điểm \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 2} \right)\). Phương trình nào là phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\)?
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Đáp án đúng là: B
Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Vì \(\left( E \right)\) đi qua 2 điểm \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 2} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 4\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
b) Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {0; - 4} \right)\).
c) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu
d) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
b) Dựa vào đồ thị ta có tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {0; - 4} \right)\).
c) Dựa vào đồ thị ta có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
Do đó
.
d) Có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;3} \right),B\left( {1; - 2} \right),C\left( {5;3} \right)\). Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(BC\). Khi đó
a) Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow {CB} \).
b) Phương trình đường cao \(AH\) là \(4x + 5y - 16 = 0\).
c) Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(5x - 4y - 13 = 0\).
d) Độ dài đường cao \(AH\) bằng \(\frac{{10}}{{\sqrt {41} }}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì \(AH \bot CB\) nên \(\overrightarrow {CB} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).
b) Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 4; - 5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 4x - 5\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 15 = 0\).
c) Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(5\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(5x - 4y - 13 = 0\).
d) Ta có \(AH = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {5.0 - 4.3 - 13} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {4^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 1}},x \in \left( { - \infty ;2} \right]\\{x^2} - 1,x \in \left( {2;5} \right]\end{array} \right.\). Tính \(f\left( 3 \right)\).
Trả lời: 8
Ta có \(f\left( 3 \right) = {3^2} - 1 = 8\).
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \).
Trả lời: −3
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\({x^2} + 2x + 4 = 2 - x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - 2\).
Thay lần lượt hai giá trị \(x\) vào phương trình trên ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \[ - 3\].
Tổng chi phí \(P\) (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi biểu thức \(P = {x^2} + 30x + 3300\); giá bán một sản phẩm là \(170\) nghìn đồng. Gọi \(a;b\) lần lượt là số sản phẩm tối thiểu và tối đa mà nhà sản xuất cần sản xuất để không bị lỗ. Tính \(S = a + b\) (giả sử các sản phẩm được bán hết).
Trả lời: 140
Bán hết \(x\) sản phẩm thì số tiền nhà sản xuất thu được là \(170x\) nghìn đồng.
Để nhà sản xuất không bị lỗ thì
\(170x \ge {x^2} + 30x + 3300\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0\)\( \Leftrightarrow 30 \le x \le 110\).
Suy ra \(a = 30;b = 110\). Do đó \(S = 140\).
Một gương lõm có mặt cắt hình parabol (hình vẽ bên), có tiêu điểm cách đỉnh \(5\;{\rm{cm}}\). Cho biết bề sâu của gương là \(45\;{\rm{cm}}\). Tính khoảng cách \(AB\). (theo đơn vị cm).
Trả lời: 60
Ta có \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).
Vì tiêu điểm cách đỉnh \(5\;{\rm{cm}}\) nên \(\frac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10\). Do đó \(\left( P \right):{y^2} = 20x\).
Vì \(A\left( {45;{y_A}} \right) \in \left( P \right)\) nên \(y_A^2 = 20.45 \Leftrightarrow y_A^2 = 900 \Rightarrow {y_A} = 30\).
Do đó \(AB = 2.30 = 60\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 1 = 0\). Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Ta có \({x^2} + {y^2} - 4x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} = 5\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 5\).
Do đó đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;0} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \).
Cổng vào miền Tây (Gateway Arch) ở thành phố St.Louis, nước Mỹ, có hình dạng là một phần của parabol như hình vẽ. Khoảng cách giữa 2 chân cổng \(AB = 160\;{\rm{m}}\). Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 45 m so với mặt đất (tại điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Hãy tính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng.
Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ
Giả sử \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Ta có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên có dạng \(y = a{x^2} + bx\).
Mà \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {10;45} \right),B\left( {160;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 45\\{160^2}a + 160b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{{100}}\\b = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{3}{{100}}{x^2} + \frac{{24}}{5}x\).
\(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( {80;192} \right)\).
Do đó khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổnglà 192 m.
